一元二次函數(shù)

一元二次函數(shù)一、一元二次函數(shù)的定義形如y=ax2+bx+c(其中a≠0)的函數(shù)稱(chēng)之為一元二次函數(shù)。二、一元二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：y=ax2+bx+c(a≠0)a>0a<0圖像對(duì)稱(chēng)軸x=頂點(diǎn)坐標(biāo)P(,)最值當(dāng)x=時(shí)，y有最小值：ymin=當(dāng)x=時(shí)，y有最大值：ymax=單調(diào)性在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減；在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞增在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞增；在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減一般情況下，我們會(huì)把一元二次函數(shù)改寫(xiě)成：寫(xiě)成這樣的目的主要是：〔1〕可以看出對(duì)稱(chēng)軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)；拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的方程為：x=-頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔-，)〔2〕可以得到最大、小值：當(dāng)a＞0，y取最小值，y=當(dāng)a<0，y取最大值，y=由一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，從而我們可以知道一元二次函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)a>0時(shí)，〔-∞，-]為單調(diào)減區(qū)間；[-，+∞〕為單調(diào)增區(qū)間。當(dāng)a<0時(shí)，[-，+∞〕為單調(diào)減區(qū)間；〔-∞，-]為單調(diào)增區(qū)間〔3〕解答平移問(wèn)題方便。平移的法那么遵循兩條：左加右減，上加下減。題型一：平移圖像，求新的解析式【例題1】：y=x2-2x+3向左移動(dòng)一個(gè)單位，向上移動(dòng)兩個(gè)單位，移動(dòng)后的解析式是什么？解答：y=(x-1)2+2根據(jù)“左加右減〞的原那么，向左移動(dòng)一個(gè)單位，那么有：y=(x-1+1)2+2根據(jù)“上加下減〞的原那么，向上移動(dòng)兩個(gè)單位，那么有y=(x-1+1)2+2+2所以，最終的結(jié)果是：y=x2+4題型二：三點(diǎn)求函數(shù)的解析式——方法：待定系數(shù)法【例題2】一元二次方程y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3),B(2，4),C(3，11),求函數(shù)的解析式。解答：根據(jù)題意有：解上面的方程組，得：所以：y=3x2-8x+8【例題3】函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)為A(-3，0),B(1，0),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔4,21〕，求函數(shù)的解析式。一般情況下，如果告訴你一元二次方程的兩個(gè)解x1，x2；這個(gè)時(shí)候我們?cè)O(shè)：y=a(x-x1)(x-x2)最為方便。解答：設(shè)y=a(x-1)(x+3)因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔4,2〕，所以：21=a(4-1)(4+3)解得：a=1所以：y=(x-1)(x+3)即：y=x2+2x-3注意：最后我們最好將一元二次函數(shù)化為一般式?！纠}4】拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,16〕，并且拋物線與x的交點(diǎn)間的距離為8，求拋物線解析式?！痉治觥坑龅接许旤c(diǎn)坐標(biāo)的題型，我們通常設(shè)y=a(x+m)2+n,這樣由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，我們就可以知道m(xù)、n的值，只需求出a的值即可。解答：設(shè)y=a(x-1)2+16方程a(x-1)2+16=0的兩個(gè)根為：x1=1+,x2=1-所以：x1-x2=2所以：2=8解得：a=-1所以：y=-(x-1)2+16即：y=-x2+2x+15三、給定區(qū)間的一元二次函數(shù)：函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0，且m≤x≤n〕，求最大值最小值的問(wèn)題。以拋物線開(kāi)口向上為例：y=ax2+bx+c〔a≠0，且m≤x≤n〕M、N點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)M、N點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)圖像最大值、最小值最小值：ymin=計(jì)算f(m),f(n);最大值：f(m)、f(n)中的最大值。同在左側(cè)：最大值：f(m)，最小值f(n)；同在右側(cè)：最小值：f(m)，最大值f(n)。【例題】：y=x2-2x-5,其中，-1≤x≤5，求函數(shù)的最值。解：y=x2-2x-5=(x-1)2-6x=1是一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸；因?yàn)?1≤x≤5，在對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)，所以：ymin=-6f(-1)=-2f(5)=10f(5)>f(-1)所以：ymax=10四、一元二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：1.對(duì)于函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕與y軸的交點(diǎn)，是很好求的，其交點(diǎn)是(0,c)。那么，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)呢？實(shí)際上，一元二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，就是一元二次方程的解?？梢苑殖梢韵碌娜N情況。=當(dāng)>0時(shí)，函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)=0時(shí)，函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)<0時(shí)，函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。特別注意的是，在這一種情況下，如果二次項(xiàng)系數(shù)a>0，那么，函數(shù)值恒大于0；如果a<0，函數(shù)值恒小于0。2.如果一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕與x軸有交點(diǎn)，那么，在x的取值范圍內(nèi)，必然會(huì)存在兩個(gè)點(diǎn)M(m,f(m))、N(n,f(n))使得f(m)·f(n)<0，換言之，如果在一元二次函數(shù)上存在兩個(gè)點(diǎn)M(m,f(m))、N(n,f(n))使得f(m)·f(n)<0，那么，在m到n的范圍內(nèi)一元二次方程一定有解；反之，如果一元二次函數(shù)在x的取值范圍內(nèi)任意兩個(gè)點(diǎn)都存在f(m)·f(n)>0，那么，一元二次函數(shù)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，或者說(shuō)這個(gè)一元二次方程無(wú)解。【例題】：方程x2+(a-6)x+a2+5=0有兩個(gè)根，一個(gè)根大于2，一個(gè)根小于2，求a的取值范圍?！痉治觥坑蓤D像可知，如果方程的兩個(gè)根一個(gè)大于2一個(gè)小于2，那么，由于二次項(xiàng)系數(shù)大于0，函數(shù)上必定存在一點(diǎn)Q(q,f(q)),使得f(q)>0，那么必然存在f(2)<0,否那么就是兩個(gè)根都大于2或者兩個(gè)根都小于2。解答：由題意可知：f(2)<0,即有：4+2(a-6)+a2+5<0整理可得：a2+2a-3<0所以：〔a+3)(a-1)<0即：-3<a<1試想一想，如果這里我們把題目改為“兩個(gè)根都大于2〞或者“兩個(gè)根都小于2〞，那么，解得的a的結(jié)果應(yīng)該是什么？答案：都小于2時(shí)，無(wú)解。a不存在。都大于2時(shí)，<a<-3或a>1注意：解一元二次函數(shù)的有關(guān)的題目時(shí)，待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法是我們常用的方法。因此，學(xué)習(xí)一元二次函數(shù)，畫(huà)圖的技能是我們必備的技能，這樣能夠減少計(jì)算的步驟，有效減少失誤和計(jì)算次數(shù)。五、一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：如果存在f(x+m)=f(m-x)，那么，一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸就是x=m；如果存在(p,f(p)),(q,f(p)),那么，一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸就是x=。例如，點(diǎn)(1,3),(3,3)是一元二次函數(shù)的上的點(diǎn)，由于縱坐標(biāo)相等，那么，一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸就是〔1+3〕÷2=2，即：x=2六、一元二次函數(shù)與幾何題的結(jié)合：一元二次函數(shù)與幾何題的結(jié)合已經(jīng)成為現(xiàn)在中考的必考考題，而且是壓軸題。所以，這里，列出專(zhuān)題來(lái)講。從幾何圖形的角度來(lái)說(shuō)，可以結(jié)合相似三角形、圓、平行四邊形等等；從思維角度來(lái)說(shuō)，可以運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論?；谶@些，一元二次函數(shù)與幾何的結(jié)合是必須重視的內(nèi)容。【題型一】一元二次函數(shù)與相似三角形〔黃岡—2023-25〕如圖：拋物線方程C1：y=(x+2)(x-m)〔m>0〕與x軸的交點(diǎn)為B、C，與y軸交于點(diǎn)E,且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)。〔1〕假設(shè)拋物線C1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，2)，求實(shí)數(shù)m的值?！?〕在〔1〕的條件下，求△BCE的面積；〔3〕在〔1〕的條件下，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)H，使得BH+EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；〔4〕在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？假設(shè)存在，求m的值，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由。解答：〔1〕將點(diǎn)M(2，2)代入，得2=〔2+2〕〔2-m〕解得：m=4(2)由〔1〕可知：y=(x+2)(x-4),那么點(diǎn)B(-2，0),C(4，0),E(0，2)所以：BC=6，OE=2，S△BCE=×2×6=6(3)由〔1〕可知，一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，點(diǎn)H在對(duì)稱(chēng)軸上，所以有BH=CH，要使得BH+EH最小，就是要使得EH+HC最小，此時(shí)，E、H、C在一條直線上。設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)F，那么有：HF:EO=CF:CO,由于EO=2，CF=4-1=3，CO=4，解得HF=，從而：點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔1，〕【解法2】：由點(diǎn)E(0,2),C(4，0),解得，經(jīng)過(guò)C、E兩點(diǎn)的解析式為y=-x+2,當(dāng)x=1時(shí)，y=,即：點(diǎn)H的坐標(biāo)為〔1，〕】(4)由于圖像過(guò)定點(diǎn)B(-2，0),E(0，2)，所以有∠EBO=45°；如圖①作BF∥CE交拋物線與點(diǎn)F，如果有BC2=CE·BF，那么就必然有△BEC∽△FCB。作FF’⊥X軸，垂足為F’。此時(shí)，BC=m+2,CE=，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,(x+2)(x-m)),由FF’∥OE知：△EOC∽△FF’B，從而：FF’:BF’=EO:CO，此時(shí)：=解得：x=m+2,即F’(m+2,0)由CO:CE=BF’:BF,得：,從而解得：，由于BC2=CE·BF，所以有：〔m+2〕2=·整理方程得：0=16，此時(shí)無(wú)解。圖①如圖②，BF⊥BE交拋物線與點(diǎn)F，作FF’⊥X軸，此時(shí)，∠EBC=∠CBF=45°，如果BC2=BE·BF，那么：△CEB∽△FCB，設(shè)F(x,(x+2)(x-m)),由于FF’=BF’,所以有：(x+2)(x-m)=x+2,解得：x=2m,所以：F’(2m,0),所以：BF’=2m+2，BF=〔2m+2〕由BC2=BE·BF，得：〔m+2〕2=2·〔2m+2〕,解得：m=2±2因?yàn)閙>0,所以：m=2+2綜合以上，m=2+2【注意】1、第四題比擬繁瑣，計(jì)算的時(shí)候要小心。2、注意到函數(shù)的定點(diǎn)，從而有等腰直角三角形。3、分類(lèi)討論，一個(gè)平行條件，一個(gè)垂直條件，這種題目是近幾年中考的熱點(diǎn)。【題型二】一元二次函數(shù)與等腰三角形〔揚(yáng)州—2023—27〕如圖：拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1，0),B(3，0),C(0,3),直線l是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸?！?〕求拋物線的解析式；〔2〕設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，假設(shè)存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解答：題目〔1〕〔2〕可以參照上題解答。題目〔3〕要求直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)。因?yàn)槭堑妊切危?，?yīng)該有以下幾種可能性：①對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)：AO=OM=1，且CO⊥AM，所以，根據(jù)三線合一，△CAM為等腰三角形。此時(shí)，點(diǎn)M(1，0)。②設(shè)點(diǎn)M(1，m)，由MA=MC可得：MA2=MC2,從而：〔-1-1〕2+m2=(0-1)2+(3-m)2,解得：m=1此時(shí)，點(diǎn)M〔1,1〕③設(shè)點(diǎn)M〔1，m〕，由AM=AC可知：〔-1-1〕2+m2=(-1)2+32解得：m=,此時(shí)，點(diǎn)M(1，)或者M(jìn)〔1，-〕【注意】分類(lèi)討論是解決頂點(diǎn)問(wèn)題的重要的手段，分類(lèi)時(shí)一定要面面俱到，不能有遺漏?！绢}型三】一元二次函數(shù)與直角三角形〔廣州—2023—24〕如圖：拋物線y=x2x+3與x軸相交于點(diǎn)A,B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸相交于點(diǎn)C?！?〕求A,B的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)點(diǎn)D是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。〔3〕假設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)F(4,0),M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A,B,M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且僅有三個(gè)時(shí)，求l的解析式。解答：〔1〕y=x2x+3=〔x+4〕(x-2),從而點(diǎn)A(-4，0),B(2，0),拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-1(2)①如圖①，過(guò)點(diǎn)B作BD∥CA交對(duì)稱(chēng)軸與點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，那么有：△AFE≌△BDE，從而：ED=FE;由于對(duì)稱(chēng)軸∥Y軸，所以：AE:AO=EF:CO=3:4，解得：EF=,所以，點(diǎn)D〔-1，-〕。圖①圖②②如圖②，在對(duì)稱(chēng)軸上取一點(diǎn)D’，使得D’F=FD,此時(shí)，S△AD’C=S△ACD=S△ABC,由于：ED=,ED=EF,所以：D’F=3EF=,此時(shí)，點(diǎn)D’(-1，)〔3〕如圖，過(guò)A點(diǎn)作M1M6⊥X軸，此時(shí)，△ABM1一定為直角三角形，同理，過(guò)點(diǎn)B作M3M4⊥X軸，△ABM1一定為直角三角形。以AB為直徑，點(diǎn)E為圓心作圓，如果圓與l相切與點(diǎn)M2，那么△ABM2也一定是直角三角形，這樣，點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)，以點(diǎn)A，B，M就只能構(gòu)成三個(gè)直角三角形。由A(-4，0),B(2，0),E(-1，0),F(4，0)可知：AF=6，EB=EM2=3,EB=5；從而在直角△FEM2中，F(xiàn)M2==4；由于△FM2E∽△FAM1，從而：EM2：M1A=FM2：AF，解得：M1A=6，所以，點(diǎn)M1(-4，6)，又因?yàn)閘1經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,M1，所以：l1的解析式為y=。同樣的道理，l2的解析式為：【注意】解第三題時(shí)，第一，自己要畫(huà)出函數(shù)圖形，留下關(guān)鍵的點(diǎn)，其他無(wú)關(guān)的線條去掉，這樣可以清楚的看到其中的幾何關(guān)系；第二，E點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，如果有2EM2=AB，那么△ABM2就一定是直角三角形，這時(shí)，點(diǎn)M2就是圓E的切線。畫(huà)出切線的好處就在于，我們知道過(guò)圓外的一點(diǎn)可以作兩條切線，所以第三問(wèn)的答案是兩個(gè)，防止漏解。【題型四】一元二次函數(shù)與平行四邊形〔江西—2023—24〕將拋物線C1:y=x2+沿x軸翻轉(zhuǎn)，得到拋物線C2,如下列圖所示?！?〕請(qǐng)直接寫(xiě)出C2的解析式；〔2〕現(xiàn)將C1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A,B；將拋物線C2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新的拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D,E。①當(dāng)B,D是線段AE的三等分點(diǎn)的時(shí)候，求m的值；②在平移的過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)A,N,E,M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情況？假設(shè)存在，求出此時(shí)m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解答：〔1〕將圖像沿著x軸翻轉(zhuǎn)，就是兩個(gè)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。C2：:y=x2(2)①C1，C2與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)都是〔-1,0〕，〔1,0〕，所以：AB=DE=2如圖一：如果此時(shí)B,D是AE的三等分點(diǎn)，那么，因?yàn)锳E=3，AD=BD=BE=1，又因?yàn)镺D=OB,所以：OD=，即：m=如圖二：如果此時(shí)B,D是AE的三等分點(diǎn)，就有AB=BD=DE=2，B點(diǎn)的原坐標(biāo)為〔1,0〕，現(xiàn)在的坐標(biāo)為〔-1,0〕，所以：m=1-(-1)=2圖一