概率模型的確立基于樣本空間概念的教學(xué)思考 論文

概率模型的確立——基于樣本空間的概率教學(xué)的思考魏乃智(安徽省臨泉第一中學(xué)236400)摘要：一般把樣本點(diǎn)定義為隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)基本結(jié)果.在同一個(gè)試驗(yàn)背景下，能否根據(jù)問題人為規(guī)定樣本點(diǎn)存在著爭議.本文圍繞爭議對象的定義，概念發(fā)展歷史，爭議的本質(zhì)，以及利用樣本點(diǎn)和基本事件兩個(gè)概念定義“結(jié)果”進(jìn)而解決這些矛盾展開研究.在中學(xué)階段，圍繞樣本空間的概率教學(xué)，本文認(rèn)為有必要重新區(qū)別定義基本事件和樣本點(diǎn)：對于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，將無論何觀測角度去觀測，都不能再分解的基本結(jié)果叫作樣本點(diǎn)，把在一定問題情境下不必再分解的基本結(jié)果叫作基本事件，基本事件看作是由樣本點(diǎn)映射而成的事件，基本事件的集合我們稱映射樣本空間或基本事件空間.這樣在同一個(gè)試驗(yàn)背景下，樣本空間唯一確定下來，根據(jù)不同問題，我們可以在樣本空間基礎(chǔ)上找到合適的基本事件空間建立不同的概率模型以方便問題的解決.關(guān)鍵詞：基本事件樣本點(diǎn)樣本空間基本結(jié)果基本事件空間1古典概型計(jì)算的爭議建立不同的概率模型去計(jì)算某一個(gè)隨機(jī)事件的概率.一種觀點(diǎn)認(rèn)為樣本空間是基于隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的，給定了隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，樣本空間就隨之而定.擲一次硬幣樣本空間則為{正面，反面}，拋一次骰子，則樣本空間則為{點(diǎn)數(shù)為1，點(diǎn)數(shù)為2，點(diǎn)數(shù)為3，點(diǎn)數(shù)為4，點(diǎn)數(shù)為5，點(diǎn)數(shù)為6}.6只有兩個(gè)樣本點(diǎn)，若把點(diǎn)數(shù)除3所得得余數(shù)看成一個(gè)基本結(jié)果，則樣本空間有3個(gè)樣本點(diǎn).一般來說有爭議,找定義[1]，樣本空間的定義又是什么？2樣本點(diǎn)沒有統(tǒng)一定義北師大版必修3[2]舊版本中把試驗(yàn)每一個(gè)可能的結(jié)果稱為基本事件.而在新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[3]和本事件.類似定義也可見高等數(shù)學(xué)的教材[4]：點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，樣本空間中的單個(gè)元素組成的子集稱為基本事件。很多教材都是按照上述方式定義的.雖然定義了每一個(gè)可能的試驗(yàn)結(jié)果為樣本點(diǎn)，但是并沒有定義什么才是試驗(yàn)的結(jié)果？試驗(yàn)結(jié)果是基于觀測者的角度還是試驗(yàn)呈現(xiàn)的角度？能否人為規(guī)定？參見另一種定義，在《概率論及其應(yīng)用》[5]一書，則認(rèn)為樣本點(diǎn)猶如幾何中的點(diǎn)一樣是不定義的，而把不可分解的簡單事件（理想）試驗(yàn)的每一個(gè)不可分解的結(jié)果可用一個(gè)且只能用一個(gè)樣本點(diǎn)來表示，試驗(yàn)中一切事件都應(yīng)可以用樣本點(diǎn)來表示.樣本點(diǎn)是隨機(jī)結(jié)果中不可分解的一個(gè)結(jié)果.這種定義方式可以使試驗(yàn)結(jié)果以試驗(yàn)而定下來.以擲一次骰子，結(jié)果只能是6個(gè)，從5個(gè)除顏色不同其它完全相同的小球摸出一球，無論顏色如何結(jié)果也都只能是5個(gè)，樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)定下來了.3追本溯源，從概率起源看定義發(fā)展概率是研究偶然性、隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)理論,人們用概率表示來刻畫一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可必然性在之前都是屬于哲學(xué)的研究范疇.隨著14海運(yùn)保險(xiǎn)公司,人們開始利用隨機(jī)事件發(fā)生可能性進(jìn)行決策研究.因是容易證明計(jì)算結(jié)果的概率.早期的概率計(jì)算是基于代數(shù)計(jì)算、排列組合等計(jì)數(shù)方法為主，這一時(shí)期拉斯給出的，他在《分析概率論》[8]中這樣描述：概率論的要義是：將同一類的所有事件都化簡為一定數(shù)目的等可能情況.即化簡到這樣的程度，我比就是欲求概率的測度.簡而言之，概率是一個(gè)分?jǐn)?shù)，其分子是有利情況的數(shù)目，分母是所有可能情況的數(shù)目.《分析概率論》利用概率研究隨機(jī)事件的固有性質(zhì)，并建立了一套完整的理論體系，它左右了19世紀(jì)概率論的發(fā)展[9].拉普拉斯概率的定義規(guī)定了兩個(gè)先決條件：所有情況的發(fā)生是等可能的，所有可到等可能情況數(shù)目之比.而拉普拉斯的概率定義通常稱為概率的古典定義，而它只適用于古典概型的場合，我們把符合拉普拉斯兩個(gè)條件的概率模型稱為古典概型.這種概率的定義表述不足之處在于不夠清晰和嚴(yán)謹(jǐn)，并試圖把任何一個(gè)概率問題納入到可能模型中去研究.隨著概率應(yīng)用范圍的增廣，人們逐步發(fā)現(xiàn)這種概率定義的局限性，隨后被嚴(yán)格的公理化的概率理論所取代.以俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫發(fā)表概率公理化體系.而概率論的公理化體系一般認(rèn)為都是在拉普拉斯概率體系的基礎(chǔ)上發(fā)展和逐步完善的，都旨在將隨機(jī)事件可能性轉(zhuǎn)化為概率的測度問題.可見，理解古典概型的相關(guān)問題對現(xiàn)代概率論的研究也具有重要意義.而理解古典概型的基本概念之一——樣本點(diǎn)就顯得至關(guān)重要.4.爭議的本質(zhì)是對“結(jié)果”的定義不夠清晰對于古典概型來說，樣本點(diǎn)是基于試驗(yàn)結(jié)果定義的.筆者認(rèn)為，之所以爭議樣本點(diǎn)能否認(rèn)為規(guī)定原因在于“結(jié)果“沒有明確的定義.到底什么才是試驗(yàn)的結(jié)果？至少有兩個(gè)層面，一個(gè)是試驗(yàn)呈現(xiàn)的結(jié)果，還有一個(gè)是為解決問題，人為規(guī)定的一個(gè)結(jié)果，例如擲一次骰子，點(diǎn)數(shù)為1，點(diǎn)數(shù)為2，點(diǎn)數(shù)為3，點(diǎn)數(shù)為6奇數(shù)，偶數(shù)，同樣從有3個(gè)不可辯白球和23個(gè)白球和兩個(gè)黑球編號，將其按照可辯之球來看待，則試驗(yàn)就有五個(gè)結(jié)果.而如何規(guī)定則取決于觀測角度，取決于要研究的問題.而如果試驗(yàn)的結(jié)果是指不能再分解成其它事件的基本事件，則樣本點(diǎn)將隨著試驗(yàn)而確定下來.5.概率論主要議題是概率的測度概率論的本質(zhì)也只是將常識歸結(jié)為計(jì)算[13].對于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們可以從不同的角度選擇把什問題.以口袋依次摸球?yàn)槔诖杏?人依次摸球，求第二個(gè)人摸到白球的概率.將3個(gè)白球標(biāo)記白3，黑球標(biāo)記黑2，如果考慮5個(gè)人的摸球情況，把5個(gè)人的5摸球情況作為一個(gè)基本結(jié)果，則樣本空間共包含A55

=120個(gè)樣本點(diǎn)，而事件“第二個(gè)人摸到白球”包4含3A44

35=72個(gè)樣本點(diǎn)，故所得概率為P=120=.55若只把第二個(gè)人摸球情況看成一個(gè)基本結(jié)果，則共有53個(gè)樣本點(diǎn)，則所得概率為P=3.5不相干，甚至當(dāng)它們可以辯別時(shí)，我們也可以作不辯別來處理.當(dāng)我們具體討論一些具體問題時(shí)，到底是應(yīng)用可辯別還是不可辯別的球的模型，則可以根據(jù)特定的目的和便利性來決定.也就是說樣本空間的確定可以根據(jù)問題來選擇，樣本空間確定后，理論才能開始登場.體系要求的，滿足于此則可以說樣本空間的選取是適恰的.試驗(yàn)的結(jié)果取決于我們準(zhǔn)備研究的模型，是可以基于問題的.從這個(gè)角度來說，根據(jù)研究的問題，選擇一個(gè)適合的觀測角度，確立樣本點(diǎn)是具有普遍意義的.在古典概型的計(jì)算中，在保證有限等可能的情況下應(yīng)盡可能地選取最小樣本空間，這種選取最小樣本空間的思路是有廣泛意義的[7].6.樣本空間應(yīng)與試驗(yàn)有關(guān)而與問題無關(guān)問題本身無關(guān)，很隨意的構(gòu)建樣本空間，會讓樣本空間的表達(dá)變得混亂.考慮兩個(gè)問題，以連續(xù)擲兩次果規(guī)定2為點(diǎn)數(shù)大于3的數(shù)，3為點(diǎn)數(shù)小于等于3于求解概率更會讓原本清晰的問題，因?yàn)闃颖究臻g的表達(dá)不清變得混亂.另一方面觀測角度如果脫離隨機(jī)試驗(yàn)基本背景，隨意確立樣本空間則會引發(fā)隨機(jī)性悖論.如圖1為圓心角為90°的扇形，AB為扇形的弦，C、D為AB的三等分點(diǎn)，在扇形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，求射線OP與線段相交的概率.如圖P在線段ABP在線段1BD上的可能性是相等的，則樣本空間共有三個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)的概率為即射線OP與AC、CD、31DB相交的概率都是.3而事實(shí)上，如果結(jié)合試驗(yàn)背景，是在扇形內(nèi)取隨機(jī)一點(diǎn)，射線OP與AC、CD、DB是否相交取決于點(diǎn)P是否出現(xiàn)在扇形區(qū)域OP與這三個(gè)線段相交取決于三個(gè)扇形區(qū)域的面S扇形AOE

∠AOE積.射線OP與線段AC相交的概率為P1=S扇形AOB=OP與線段CD相交的概率P2=S扇形EOFS扇形AOB

∠COD=∠AOE

=0.410，射線OP與線段DB相交的概率P3=

S扇形FOBS扇形AOB

∠COD=∠AOE=0.295.EPEPCFDA EPCFDO B O B圖1 圖2若不能明晰樣本空間的概念，隨意選取觀測角度確立樣本點(diǎn)，學(xué)生不易體會古典概型的等可能性，不能更好的把握古典概型的本質(zhì)，會對后面概率論的理解產(chǎn)生知識的負(fù)遷移.從概率的概念的發(fā)展歷史以及概率論的公理體系來看，爭議的兩種說法都有各自的合理性和普遍一個(gè)“結(jié)果”：那就是無論從哪個(gè)角度觀測，每一個(gè)基本結(jié)果都不再分解成其它的結(jié)果.而為了更方便的解決問題，我們可以重新選擇觀測角度，利用這些“結(jié)果”方便研究待解決的問題.那么如何定義這些結(jié)果呢？7利用樣本點(diǎn)和基本事件定義“結(jié)果”單元，基本事件是包含樣本點(diǎn)的集合.如果把樣本點(diǎn)和基本事件看成是同一概念，隨意規(guī)定基本事件則則會在求解隨機(jī)事件概率時(shí)變得刻板狹隘，有失靈活.人們往往把樣本點(diǎn)看成是最基本結(jié)果視之為一個(gè)元素，而基本事件則看成是樣本點(diǎn)的集合，所以我們可以把樣本點(diǎn)和基本事件分開看待.我們需要重新定義樣本點(diǎn)和基本事件來刻畫“結(jié)果”.類比幾何中最小單元便是點(diǎn)，屬無定義的概念.所有曲線和面都可看成點(diǎn)的集合.在同一個(gè)隨機(jī)試再分的一個(gè)可能結(jié)果，每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)其中的一種結(jié)果，其它所有事件都可以看成是這些結(jié)果的和，我們把這種結(jié)果，稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，所有的樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間.例如從不辨的55在這5個(gè)球種不放回取球兩次，按有序處理20種結(jié)果，不能再分…，有了這個(gè)特征，樣本空間才能依據(jù)試驗(yàn)定下來，不同模型也可通過樣本空間尋求關(guān)系.一定條件下不能再分的簡單事件.在問題情景中，所有隨機(jī)事件可以轉(zhuǎn)化為基本事件的并，由基本事件構(gòu)成的基本事件空間可以理解為由樣本空間得到的導(dǎo)出樣本空間,樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn)都唯一對應(yīng)一個(gè)基本事件，基本事件空間是樣本空間的映射樣本空間.證樣本空間依據(jù)試驗(yàn)而定，又能再解決具體問題時(shí)可以根據(jù)問題情景重新確定基本事件和基本事件空間，也能通過找到基本事件和樣本點(diǎn)的關(guān)系方便賦概.參考文獻(xiàn)：24~25.[2]嚴(yán)士健.高中數(shù)學(xué)必修3課本教材教科書[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2013:131~135.[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2018：125~126.[4]茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社,2007:2~3.[5]（美）威廉.費(fèi)勒；胡迪鶴譯.概率論及其應(yīng)用[M].北京：人民郵電出版社.2014,第3版：7~11.[6]黃明珍.論概率定義的不斷完善過程[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版,1990,8：60.[7]程學(xué)理.古典概型中樣本空間選取教學(xué)法探