甘肅省天水一中屆高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2017—2018學(xué)年甘肅省天水一中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（理科)一、選擇題:本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（4分)已知A={x｜x2﹣4x﹣5=0}，B={x｜x2=1｝,則A∩B=()A．｛1} B．{1，﹣1，5} C．{﹣1} D．｛1，﹣1,﹣5｝【分析】求出集合A，B，然后求解交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣4x﹣5=0｝=｛﹣1，5},B=｛x｜x2=1｝=｛﹣1，1｝，則A∩B=｛﹣1}．故選:C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的交集的運(yùn)算，是對(duì)基本知識(shí)的考查．2．（4分）sin75°sin15°+cos75°cos15°的值為（）A．1 B．0 C． D．【分析】直接利用兩角和與差的余弦函數(shù)，通過特殊角的三角函數(shù)求解即可．【解答】解：sin75°sin15°+cos75°cos15°=cos(75°﹣15°）=cos60．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),特殊角是三角函數(shù)求值,考查計(jì)算能力．3．（4分）在△ABC中，已知b=40,c=20，C=60°,則此三角形的解的情況是（）A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個(gè)數(shù)不確定【分析】利用正弦定理列出關(guān)系式，將b，c，sinC的值代入求出sinB的值，即可做出判斷．【解答】解：∵在△ABC中，b=40，c=20，C=60°,∴由正弦定理=得：sinB===＞1，則此三角形無解．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．4．(4分）設(shè)a=40.8，b=80。4，c=，則（）A．a(chǎn)＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞d＞b D．a(chǎn)＞b＞c【分析】先將指數(shù)化成都以2為底，然后根據(jù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)性進(jìn)行比較即可．【解答】解:a=40。8=21.6，b=80。4=21.2，c==21.5，根據(jù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增而1.2＜1。5＜1.6∴21.2＜21。5＜21.6，即b＜c＜a故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,解題的關(guān)鍵是將指數(shù)化成同底，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分)定義在實(shí)數(shù)集R上的凼數(shù)f（x）圖象連續(xù)不斷，且f(x）滿足xf′（x）＜0，則必有（）A．f（﹣2）+f(1）＞f（0） B．f（﹣1）+f（1）＞2f(0） C．f（﹣2)+f（1)＜f（0） D．f(﹣1）+f（1）＜2f（0）【分析】先由xf′（x)＜0便可得到，從而根據(jù)極大值的定義即可判斷出f（0）是f(x）的極大值，并是最大值，從而f（﹣1）＜f（0）,f（1）＜f(0)，所以便得到f（﹣1）+f（1）＜2f（0)．【解答】解：由xf′(x）＜0得:x∈(﹣∞，0）時(shí)，f′(x)＞0；x∈（0,+∞)時(shí)，f′(x）＜0;∴f(0）是f（x）的極大值，也是最大值；所以對(duì)于任意x∈R，f（x）≤f（0);∴；所以必有f（﹣1）+f（1)＜2f(0）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查極大值的定義，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷極大值的過程,以及最大值的概念，及其求法．6．（4分）函數(shù)f（x）=lnx的圖象與函數(shù)g(x）=x2﹣4x+4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)f（x）=㏑x與函數(shù)g（x）=x2﹣4x+4=(x﹣2）2的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．【解答】解:在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)f（x）=㏑x與函數(shù)g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的圖象，如圖所示：故函數(shù)f(x)=㏑x的圖象與函數(shù)g(x）=x2﹣4x+4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．7．（4分）國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14％納稅；超過4000元的按全部稿酬的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前）為（）A．2800元 B．3000元 C．3800元 D．3818元【分析】根據(jù)題意求出稿費(fèi)的函數(shù)表達(dá)式，然后利用納稅420元,求出這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前）．【解答】解:設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費(fèi)為x元，則應(yīng)納稅額為分段函數(shù)，由題意得y=．如果稿費(fèi)為4000元應(yīng)納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費(fèi)應(yīng)在800～4000元之間，∴（x﹣800）×14％=420，∴x=3800．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)及其應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題．8．（4分）已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0，若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（﹣1，0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則m的取值范圍（）A． B． C．1＜m＜2 D．2＜m＜3【分析】設(shè)f（x）=x2+2mx+2m+1，問題轉(zhuǎn)化為拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間（﹣1,0)和(1，2）內(nèi)，由根與系數(shù)的關(guān)系得出不等式，解不等式組求得m的范圍．【解答】解：設(shè)f（x）=x2+2mx+2m+1，問題轉(zhuǎn)化為拋物線f(x）=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(﹣1,0)和（1，2）內(nèi),則，解得﹣＜m＜﹣,故m的范圍是(﹣，﹣），故選:A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系,函數(shù)零點(diǎn)判定定理的應(yīng)用；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題．9．（4分）設(shè)函數(shù)若f（x）是奇函數(shù)，則g（2）的值是（）A． B．﹣4 C． D．4【分析】由f（x)是奇函數(shù)得f（x）=﹣f（﹣x)，再由x＜0時(shí)，f(x）=2x，求出g(x)的解析式,再求出g(2）的值．【解答】解：∵f（x）為奇函數(shù),x＜0時(shí)，f（x)=2x，∴x＞0時(shí)，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x=，即，．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用奇函數(shù)的關(guān)系式求函數(shù)的解析式，再求出函數(shù)的值,注意利用負(fù)號(hào)對(duì)自變量進(jìn)行范圍的轉(zhuǎn)化．10．（4分)函數(shù)y=x?2x的部分圖象如下，其中正確的是(）A． B． C． D．【分析】判斷四個(gè)選擇項(xiàng)中哪三個(gè)圖象反映的性質(zhì)與函數(shù)y=x?2x的實(shí)際性質(zhì)不符，即可排除之．【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=0,所以A項(xiàng)不正確;當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)遞增，所以D項(xiàng)不正確；又y′=2x?（1+xln2），顯然x＜0時(shí),導(dǎo)數(shù)符號(hào)可正可負(fù)，函數(shù)有增有減,所以B項(xiàng)不正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力，一般利用排除法求解．二、填空題（每題4分，滿分16分,將答案填在答題紙上）11．（4分）函數(shù),則它的值域?yàn)椋痉治觥肯日砗瘮?shù)的解析式，進(jìn)而設(shè)t=2x，根據(jù)x的范圍確定t的范圍，進(jìn)而求得函數(shù)是關(guān)于t的一元二次函數(shù)，根據(jù)其性質(zhì)及t的范圍求得函數(shù)的最大和最小值．【解答】解:=（2x）2﹣2x+1設(shè)t=2x，∵x∈[﹣3,2]∴≤t≤4∴y=t2﹣t+1=(t﹣)2+，開口向上，對(duì)稱軸為x=，≤t≤4∴≤y≤13故函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的值域．解題的關(guān)鍵是利用了換元法，把函數(shù)解析式整理成一元二次函數(shù)．12．(4分）已知，則的值是．【分析】通過，利用兩角和的正切函數(shù)，求出tanα,然后對(duì)表達(dá)式的分子、分母同除cosα，然后代入即可求出表達(dá)式的值．【解答】解：可得tanα=，因?yàn)?==；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的求值與化簡，注意表達(dá)式的分子、分母同除cosα,是解題的關(guān)鍵．13．（4分)已知f（x）=xex，記f1(x）=f′（x），f2（x)=f1′（x），…fn+1（x）=fn′（x）（n∈N*），則fn（x)=nx+xex(用x表示）．【分析】由已知中f（x）=xex，記f1（x）=f′(x），f2（x）=f1′（x），…fn+1（x）=fn′(x)（n∈N＊）,分析出fn（x）解析式隨n變化的規(guī)律，可得答案．【解答】解：∵f（x）=xex,f1（x）=f′(x)=ex+xex，f2(x）=f1′（x)=2ex+xex,f3（x）=f2′（x）=3ex+xex,…由此歸納可得:fn（x）=fn﹣1′（x）=nx+xex，故答案為：nx+xex．【點(diǎn)評(píng)】歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．14．（4分）給出封閉函數(shù)的定義：若對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)自變量x0，都有函數(shù)值f(x0)∈D,則稱函數(shù)y=f（x)在D上封閉．若定義域D=（0,1)，則函數(shù)①f1(x）=3x﹣1；②f2（x）=﹣x2﹣x+1;③f3（x)=1﹣x;④f4(x）=，其中在D上封閉的是②③④．（填序號(hào)即可)【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域，即可判斷出結(jié)論．【解答】解:定義域D=（0，1)，則函數(shù)①f1（x）=3x﹣1∈（0,2），不是封閉函數(shù);②f2（x）=﹣x2﹣x+1=﹣+∈（0，1），屬于封閉函數(shù);③f3(x）=1﹣x∈（0，1）,是封閉函數(shù)；④f4（x）=∈（0，1）,是封閉函數(shù)．其中在D上封閉的是②③④．故答案為：②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域、封閉函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題（本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（11分)設(shè)集合A={a，a2,b2﹣1｝，B={0,|a|，b｝，且A=B．（1）求a,b的值;（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,并證明．【分析】（1）根據(jù)集合的相等關(guān)系求出a，b的值即可;（2）求出f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可．【解答】解：（1）兩集合相等，觀察發(fā)現(xiàn)a不能為0，故只有b2﹣1=0，得b=﹣1或b=1，當(dāng)b=﹣1時(shí)，故b與a對(duì)應(yīng)，所以a=﹣1，如果b=1，則必有｜a|=1，B不成立;故a=﹣1，b=﹣1．（2)由（1）得,因?yàn)閤∈R，當(dāng)x＞0時(shí)，，當(dāng)x=1時(shí)取得最小值，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞,﹣1],[1，+∞);函數(shù)是奇函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間為（﹣1，0）,(0，1)，①在［1，+∞)上是增函數(shù),任取x1，x2∈[1，+∞），令x1＜x2，=，∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，又x1x2＞1,故,∴，∴f（x1)＜f（x2），故在[1，+∞）上是增函數(shù)．因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以（﹣∞,﹣1]上也是增函數(shù)；②函數(shù)在x∈（0，1）時(shí),任取x1，x2∈（0,1)，令x1＜x2，=，∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，又1＞x1x2＞0，故,∴，∴f(x1）＞f(x2）故在(0，1）上是減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以(﹣1，0）上也是減函數(shù);綜上：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞,﹣1］，[1，+∞)；單調(diào)減區(qū)間為（﹣1,0)，（0,1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的相等,考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查單調(diào)性的定義，是一道中檔題．16．（11分）已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+cos2x+．（1）當(dāng)x∈［﹣,］時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；（2)已知ω＞0，函數(shù)g（x）=f(+）,若函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣，]上是增函數(shù)，求ω的最大值．【分析】(1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦的定義域和值域求得f（x）的值域．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，求得ω的范圍，可得ω的最大值．【解答】解:(1）．∵,∴，∴．∴函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)椋?),當(dāng)，有,∵g(x）在上是增函數(shù)，且ω＞0，∴．即,化簡得，∵ω＞0，∴,k∈Z，∴k=0,解得ω≤1，因此,ω的最大值為1，【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．17．(11分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?,1），且同時(shí)滿足下列條件：（1）f（x）是奇函數(shù)；（2)f（x）在定義域上單調(diào)遞減；（3）f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0．求a的取值范圍．【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)，將不等式f(1﹣a）+f（1﹣a2）＜0轉(zhuǎn)化為f（1﹣a）＜﹣f（1﹣a2)=f（a2﹣1）,然后利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．【解答】解:（1)(3）由f（1﹣a）+f(1﹣a2)＜0得f（1﹣a）＜﹣f(1﹣a2)，∵函數(shù)y=f(x）是奇函數(shù)，∴﹣f(1﹣a2）=f（a2﹣1），即不等式等價(jià)為f（1﹣a）＜f(a2﹣1），∵y=f（x）在定義域(﹣1,1）上是減函數(shù)，∴有，即，∴，解得0＜a＜1．故答案為：0＜a＜1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,利用函數(shù)的奇偶性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵,綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．18．（11分）已知函數(shù)f（x）=[x］+｜sin｜,x∈[﹣1，1]．其中［x］表示不超過x的最大整數(shù)，例如[﹣3.5］=﹣4,［2。1］=2．(Ⅰ）試判斷函數(shù)f(x）的奇偶性，并說明理由;（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域．【分析】（Ⅰ)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可試判斷函數(shù)f(x）的奇偶性；（Ⅱ）求出