【解析】福建省漳州市高三畢業(yè)班第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題

漳州市2020屆高中畢業(yè)班第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè).滿分150分.考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答.若在試題卷上作答，答案無(wú)效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.，集合B滿足，則B可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得到，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】，則，，其他選項(xiàng)不滿足.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的包含關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.M，N分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)和，則向量的模長(zhǎng)為（）A1 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，求得其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量的模的公式，求得模長(zhǎng)【詳解】由M，N分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)和，得，則，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，求其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，還考查了向量的模的公式，屬于容易題.的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，若，則（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】試題分析：由數(shù)列為等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，所以，即，因?yàn)?，所以，解得：，根?jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．考點(diǎn)：1．等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式；2．等差中項(xiàng)．，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，以及冪函數(shù)的性質(zhì)，分別判定的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：，，又冪函數(shù)是增函數(shù)，所以，即.所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查比較指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的大小，熟記指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.的終邊過(guò)點(diǎn)，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解方程求出的值，得點(diǎn)，即得解.【詳解】由題得.所以點(diǎn)，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6.甲、乙等4人排成一列，則甲乙兩人不相鄰的排法種數(shù)為（）A.24 B.12 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】不相鄰排列問(wèn)題，用插空法，先排甲、乙外兩人，再插空排甲、乙，求得排法種數(shù).【詳解】先排甲、乙外兩人共種，再插空排甲、乙共種，故共有種.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了不相鄰排列問(wèn)題，用插空法，屬于容易題.在的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案【詳解】是奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，排除選項(xiàng)A,只有,所以排除選項(xiàng)B取，則，排除選項(xiàng)C;故答案選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，屬于?？碱}(1)運(yùn)用函數(shù)圖象解決問(wèn)題時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容，熟悉圖象所能夠表達(dá)的函數(shù)的性質(zhì).(2)在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與圖象的關(guān)系，結(jié)合圖象研究.8.如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗實(shí)線和粗虛線畫(huà)出了某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的內(nèi)切球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由幾何體的三視圖，可得該幾何體表示一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，結(jié)合三棱錐的體積與表面積公式，求得內(nèi)切球的半徑，最后利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】由幾何體的三視圖，可得該幾何體表示一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體，（其中該正四面體是棱長(zhǎng)為4的正方體的一部分）如圖所示，則該正四面體的體積為，正四面體的表面積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的球心為，半徑為，則，即，解得，所以?xún)?nèi)切球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵，同時(shí)注意球的組合體性質(zhì)的應(yīng)用．9.中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地.中國(guó)茶的發(fā)現(xiàn)和利用已有四千七百多年的歷史，且長(zhǎng)盛不衰，傳遍全球.為了弘揚(yáng)中國(guó)茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，為了解每壺“金萱排骨茶”中所放茶葉量克與食客的滿意率的關(guān)系，通過(guò)試驗(yàn)調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)可選擇函數(shù)模型來(lái)擬合與的關(guān)系，根據(jù)以下數(shù)據(jù)：茶葉量克12345可求得y關(guān)于x的回歸方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所給四個(gè)選項(xiàng)，分別取對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)變形，由線性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，將表中數(shù)據(jù)求得代入即可檢驗(yàn).【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知，，對(duì)于A，化簡(jiǎn)變形可得，同取對(duì)數(shù)可知，將代入可得，而，因而A正確；對(duì)于B，化簡(jiǎn)變形可得，同取對(duì)數(shù)可知，將代入可得，而，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，兩邊同取對(duì)數(shù)可知，而表中所給為的相關(guān)量，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，兩邊同取對(duì)數(shù)可知，而表中所給為的相關(guān)量，所以D錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為A，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，注意利用回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)，可代入回歸方程檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.Q在橢圓上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，計(jì)算，計(jì)算的最小值，再利用面積法·計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，圓的圓心為，半徑，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為，故的最小值為，設(shè)，交于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，且，故，故最小時(shí)，最小為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，利用橢圓的參數(shù)方程是解題的關(guān)鍵.11.如圖，大擺錘是一種大型游樂(lè)設(shè)備，常見(jiàn)于各大游樂(lè)園.游客坐在圓形的座艙中，面向外.通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險(xiǎn).座艙旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，懸掛座艙的主軸在電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下做單擺運(yùn)動(dòng).今年五一，小明去某游樂(lè)園玩“大擺錘”，他坐在點(diǎn)A處，“大擺錘”啟動(dòng)后，主軸在平面內(nèi)繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)，平面與水平地面垂直，擺動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)A在平面內(nèi)繞點(diǎn)B作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持，.已知，在“大擺錘”啟動(dòng)后，給出下列結(jié)論：①點(diǎn)A某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)；②線段在水平地面上的正投影的長(zhǎng)度為定值；③直線與平面所成角的正弦值的最大值為；④與水平地面所成角記為，直線與水平地面所成角記為，當(dāng)時(shí)，為定值.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形逐個(gè)求解，①求解是否為定值，即可判定；②中投影在不斷變化，不是定值；③中求出線面角的最大值即可判定；④中結(jié)合簡(jiǎn)圖可進(jìn)行判定.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A在平面內(nèi)繞點(diǎn)B作圓周運(yùn)動(dòng)，并且始終保持，所以又因?yàn)闉槎ㄖ?，所以也是定值，所以點(diǎn)A在某個(gè)定球面上運(yùn)動(dòng)，故①正確；因?yàn)辄c(diǎn)A在平面內(nèi)繞點(diǎn)B作圓周運(yùn)動(dòng)，所以線段在水平地面上的正投影的長(zhǎng)度也會(huì)變化，故②不正確；設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大；此時(shí)直線與平面所成角的正弦值為，故③正確；作出簡(jiǎn)圖如下，，所以，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查以實(shí)際問(wèn)題為背景的立體幾何問(wèn)題，明確線面關(guān)系，線面角的求解方法是解題關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).的最小正周期為，若在上的最大值為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出的值，取，然后對(duì)函數(shù)在區(qū)間上是否單調(diào)進(jìn)行分類(lèi)討論，利用絕對(duì)值三角不等式結(jié)合輔助角公式可求得的最小值.【詳解】由于函數(shù)的最小正周期為，則，.不妨取，則.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，若函數(shù)在區(qū)間上先增后減，則；若函數(shù)在區(qū)間上先減后增，同理可知的最小值為.，綜上可知，的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上最值的求解，涉及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.，，則與的夾角等于______.【答案】【解析】【分析】求出與的坐標(biāo)，由兩垂直向量的數(shù)量積關(guān)系即可判斷.【詳解】，，，，與的夾角等于.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示、兩垂直向量的數(shù)量積關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.(，)的一條漸近線方程為，則的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可以知道的關(guān)系，再根據(jù)，求出的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為：，所以有，而，所以有故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了已知雙曲線的漸近線方程求離心率，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15.勤洗手、常通風(fēng)、戴口罩是切斷新冠肺炎傳播有效手段.經(jīng)調(diào)查疫情期間某小區(qū)居民人人養(yǎng)成了出門(mén)戴口罩的好習(xí)慣，且選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的概率為p，每人是否選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩是相互獨(dú)立的.現(xiàn)隨機(jī)抽取5位該小區(qū)居民，其中選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的人數(shù)為X，且，，則p的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)求出p的值，再根據(jù)取舍p的值.【詳解】解：，所以，或，因?yàn)?，所以所以，故答案為?【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)分布中概率與方差的有關(guān)計(jì)算，解答的關(guān)鍵是用好公式；基礎(chǔ)題.滿足，，，則______.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)，可得推出，即，再結(jié)合，和求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，而，又因?yàn)?，所?故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的周期性，還考查了轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題、第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，滿足.（1）求的大?。唬?）如圖，若，，D為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角互化思想以及兩角和的正弦公式可求得的值，再結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用余弦定理可求得，利用正弦定理求得，利用誘導(dǎo)公式可求得，并計(jì)算出，然后作，可得出點(diǎn)為的中點(diǎn)，計(jì)算出、，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）在中，，由正弦定理可得，，得，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以；?）在中，，，，所以，所以，由，得，因?yàn)?，在中，，，所以，因?yàn)椋饔邳c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理邊角互化思想求角，同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）條件①：直線與平面所成的角為；條件②：為銳角，三棱錐的體積為.在以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題：若平面平面，______，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，證明出點(diǎn)為的中點(diǎn)，進(jìn)而證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證明出平面；（2）選條件①，取的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，由直線與平面所成的角為，可求得，并證明出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能計(jì)算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值；選條件②，取的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，由三棱錐的體積為計(jì)算出，可得出，并證明出，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能計(jì)算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以，即為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，即平面；?）選擇條件①，解答過(guò)程如下：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋?，所以，所以，所以為直角三角形，所以，且，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，為與平面所成的角，，在中，，，因?yàn)椋?，，所以，所?如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，則，因?yàn)槠矫孑S，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值；選擇條件②，解答過(guò)程如下：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?，，所以，所以，所以為直角三角形，所以，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，所以為三棱錐的高，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，因?yàn)椋詾榈冗吶切危?如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，則，因?yàn)槠矫孑S，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角的余弦值，同時(shí)也考查了線面角定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.C：（）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，.（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交C于點(diǎn)M，N，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，軸交C于點(diǎn)R，且，證明：動(dòng)點(diǎn)T在定直線上.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理逐步求出、，再利用弦長(zhǎng)公式即可求得p，從而得出拋物線方程；（2）設(shè)l方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得到關(guān)于x的二次方程，利用韋達(dá)定理用k表示出、，即可逐步求出點(diǎn)Q、點(diǎn)R的坐標(biāo)，由可求出T點(diǎn)的坐標(biāo)，消去k即可求得點(diǎn)T所在定直線.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)?，所以過(guò)F且斜率為1的直線方程為，代入，得，所以，，所以，解得，所以C方程為.（2）證明：因?yàn)橹本€l斜率k存在，設(shè)l方程為，設(shè)，，，聯(lián)立消y得，所以，，，所以，，即，由點(diǎn)R在曲線E上且軸，，得，R為的中點(diǎn)，所以T為，因?yàn)?，所以T在定直線上.解法二：（1）同解法一（2）設(shè)，，，由，作差得，所以，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，所以直線的斜率，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)R為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)R在C上，代入得，即，所以T在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用、焦點(diǎn)弦公式、軌跡方程的求法，屬于中檔題.20.某工廠的一臺(tái)某型號(hào)機(jī)器有2種工作狀態(tài)：正常狀態(tài)和故障狀態(tài).若機(jī)器處于故障狀態(tài)，則停機(jī)檢修.為了檢查機(jī)器工作狀態(tài)是否正常，工廠隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了該機(jī)器以往正常工作狀態(tài)下生產(chǎn)的1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得出如圖1所示頻率分布直方圖.由統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為這1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)，近似為這1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表）.若產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值全部在之內(nèi)，就認(rèn)為機(jī)器處于正常狀態(tài)，否則，認(rèn)為機(jī)器處于故障狀態(tài).（1）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)從該機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件測(cè)得的質(zhì)量指標(biāo)值：294555636773788793113請(qǐng)判斷該機(jī)器是否出現(xiàn)故障？（2）若機(jī)器出現(xiàn)故障，有2種檢修方案可供選擇：方案一：加急檢修，檢修公司會(huì)在當(dāng)天排除故障，費(fèi)用為700元；方案二：常規(guī)檢修，檢修公司會(huì)在七天內(nèi)的任意一天來(lái)排除故障，費(fèi)用為200元.現(xiàn)需決策在機(jī)器出現(xiàn)故障時(shí)，該工廠選擇何種方案進(jìn)行檢修，為此搜集檢修公司對(duì)該型號(hào)機(jī)器近100單常規(guī)檢修在第i（，2，…，7）天檢修的單數(shù)，得到如圖2所示柱狀圖，將第i天常規(guī)檢修單數(shù)的頻率代替概率.已知該機(jī)器正常工作一天可收益200元，故障機(jī)器檢修當(dāng)天不工作，若機(jī)器出現(xiàn)故障，該選擇哪種檢修方案？附：，，.【答案】（1）可判斷該機(jī)器處于故障狀態(tài)；（2）選擇加急檢修更為適合【解析】【分析】（1）由圖1可估計(jì)1000個(gè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差，所以，，從而得到產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值允許落在的范圍為（28.87，111.13），由于抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值出現(xiàn)了113，不在（28.87，111.13）之內(nèi)，故機(jī)器處于故障狀態(tài)；

（2）方案一：工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為700＋200＝900元；方案二：設(shè)損失收益為元，求出的可能值，然后由圖2可得出每個(gè)的取值所對(duì)應(yīng)的概率，求出數(shù)學(xué)期望，可得工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和，與900對(duì)比，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由圖1可估計(jì)1000個(gè)產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差分別為，，依題意知，，，所以，，所以產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值允許落在的范圍為，又抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值出現(xiàn)了113，不在之內(nèi)，故可判斷該機(jī)器處于故障狀態(tài)；（2）方案一：若安排加急檢修，工廠需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為元；方案二：若安排常規(guī)檢修，工廠需要要支付檢修費(fèi)為200元，設(shè)損失收益為X元，則X的可能取值為200，400，600，800，1000，1200，1400，X的分布列為：X200400600800100012001400P元；故需要支付檢修費(fèi)和損失收益之和為元，因?yàn)?，所以?dāng)機(jī)器出現(xiàn)故障，選擇加急檢修更為適合.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖中的數(shù)字特征、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，及期望的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于基礎(chǔ)題..（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，，結(jié)合和的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而作出證明；（2）先求得是的一個(gè)零點(diǎn)，由，，分類(lèi)、和三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)的存在定理，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以，所以在單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，，綜上可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）當(dāng)時(shí)，，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，由，，（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知僅有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，在（單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以在上存在唯一，使得，?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，有，所以在無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，又，設(shè)（），，，所以在遞增，有，所以在遞增，有，即，因此，在有1個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).（iii）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，在單調(diào)遞增，，所以在無(wú)零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，有，所以在無(wú)零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，又，，所以在有1個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，