最速降線問題課件

約翰.伯努利（JohnBernoulli1667-1748）原來錯(cuò)選了職業(yè)，他起先學(xué)醫(yī)，并在1694年獲得巴塞爾大學(xué)博士學(xué)位，論文是關(guān)于肌肉收縮問題的。但他也愛上了微積分，很快就掌握了它，并用它來解決幾何學(xué)、微分方程和力學(xué)上的許多問題。1695年他任荷蘭戈羅寧根大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授，而在他的哥哥雅可布死后繼任巴塞爾大學(xué)教授。1696年約翰向全歐洲數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)，提出一個(gè)很艱難的問題：“設(shè)在垂直平面內(nèi)有任意兩點(diǎn)，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)受地心引力的作用，自較高點(diǎn)下滑至較低點(diǎn)，不計(jì)摩擦，問沿著什么曲線下滑，時(shí)間最短？”這就是著名的“最速降線”問題。它的難處在于和普通的極大極小值求法不同，它是要求出一個(gè)未知函數(shù)（曲線），來滿足所給的條件。這問題的新穎和別出心裁引起了很大興趣，羅比塔、伯努利兄弟、萊

布尼茨和牛頓都得到了解答。1第1頁(yè)/共17頁(yè)雅可布伯努利（Jacob

Bernoulli

1654-1705）著名數(shù)學(xué)家。約翰.伯努利的哥哥，他自學(xué)了牛頓和萊布尼茨的微積分，并從1687年開始到他去世為止任瑞士巴塞爾大學(xué)數(shù)學(xué)教授。他發(fā)表了無(wú)窮級(jí)數(shù)的論文、研究過許多種特殊曲線、發(fā)明了極坐標(biāo)、引入了在

tan(x)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式中伯努利數(shù)。雅可布在《學(xué)藝》上發(fā)表了一系列重要的論文，微分方程中的“伯努利方程”就是雅可布提出的。1694年他首先給出直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的曲率半徑公式。這也是系統(tǒng)地使用極坐標(biāo)的開始。1690年他提出懸鏈線問題，后來雅可布又改變了問題的條件，解決復(fù)雜的懸鏈問題，

1694年的論文討論了雙紐線的性質(zhì)。“伯努利雙紐線”由此得名。雅可

布對(duì)于對(duì)數(shù)螺線有很深入的研究，他發(fā)現(xiàn)經(jīng)過各種變換之后，結(jié)果還

是對(duì)數(shù)螺線。2第2頁(yè)/共17頁(yè)丹尼爾.伯努利（DanielBernoulli1700-1782）起初也像他叔叔約翰.伯努利一樣學(xué)醫(yī)，寫了一篇關(guān)于肺的作用的論文獲得醫(yī)學(xué)學(xué)位，并且也像他父親一樣馬上放棄了醫(yī)學(xué)而改攻他天生的專長(zhǎng)。他在概率論、偏微分方程、物理和流體動(dòng)力學(xué)上都有貢獻(xiàn)。而最重要的功績(jī)是在流體動(dòng)力學(xué)上，其中的“伯努利定理”就是他的貢獻(xiàn)。他曾經(jīng)榮獲法國(guó)科學(xué)院獎(jiǎng)金１０次之多。２５歲的丹尼爾在彼得堡解決了黎卡提方程的解。并發(fā)表了一系列的科學(xué)論著。１７３３年回到巴塞爾，先后擔(dān)任巴塞爾大學(xué)的植物學(xué)、解剖學(xué)與物理學(xué)教授。以８２歲高齡離開人世，許多人認(rèn)為他是第一位真正的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。3第3頁(yè)/共17頁(yè)1.模型分析：也許有人認(rèn)為速降線應(yīng)是連接A和B的直線段，其實(shí)不然。牛頓做過實(shí)驗(yàn)：在鉛錘平面內(nèi)，取同樣的兩個(gè)球，其中一個(gè)沿圓弧從A滑到B，另一個(gè)沿直線從A滑到B，結(jié)果發(fā)現(xiàn)沿圓弧的球先到B。伽利略也研究過該問題，他認(rèn)為速降線是圓弧線。AoxyB4第4頁(yè)/共17頁(yè)一個(gè)輔助結(jié)論A1A2COD

l如圖，若A1,A2到l

的垂足分別為O,D,

A1,A2

到l的距離分別為a,

b,

OD

=c,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過l于COC=x

那么質(zhì)點(diǎn)由A1到A2需時(shí)間:設(shè)質(zhì)點(diǎn)從A1經(jīng)直線

l

到達(dá)A2，質(zhì)點(diǎn)速度在l

的上側(cè)為v1，下側(cè)為v2，則質(zhì)點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)才最省時(shí)？顯然在l一側(cè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)走直線，因此關(guān)鍵是質(zhì)點(diǎn)何時(shí)越過l

？5第5頁(yè)/共17頁(yè)惟一駐點(diǎn)滿足也即這就是光學(xué)中的Snell折射定律A1A2COD

l6第6頁(yè)/共17頁(yè)2.

建立數(shù)學(xué)模型AB 分割成小段,考慮在第k層與k+1層質(zhì)點(diǎn)在曲線上的下滑，依能量守恒律，可近似認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)在每層內(nèi)的速度不變，于是依輔助結(jié)論知由于上式對(duì)任何k成立，故導(dǎo)出分析：如圖建坐標(biāo)系，若用與x軸平行的直線將AByc

x(常數(shù))第7頁(yè)/共17頁(yè)AByc

xα令平行線的間距趨于零，我們就得到在曲線上任何一點(diǎn)(常數(shù))其中α為該點(diǎn)切線與鉛垂線的夾角。第8頁(yè)/共17頁(yè)據(jù)能量守恒原理，質(zhì)點(diǎn)在一高度處的速度，完全由其到達(dá)該高度處所損失的勢(shì)能確定，而與所經(jīng)路線無(wú)關(guān)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為，重力加速度為，質(zhì)點(diǎn)從A下滑至點(diǎn)時(shí)速度為 ，則或從這里的幾何關(guān)系得9第9頁(yè)/共17頁(yè)這些方程分別來自光學(xué)、力學(xué)、微積分，推導(dǎo)可得這就是最速降線的微分方程數(shù)學(xué)模型。3.

模型求解：我們要求解上面微分方程，將上式變形為10第10頁(yè)/共17頁(yè)令從而，故積分后得到這曲線過原點(diǎn)，故由上面第一式得，時(shí)，于是，。這樣而11第11頁(yè)/共17頁(yè)若令，則聯(lián)立上兩式得的圓這是擺線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，這種曲線是半徑為周上一點(diǎn)沿 軸滾動(dòng)產(chǎn)生的。見圖。yox12第12頁(yè)/共17頁(yè)需指出，使上圖中擺線第一拱通過B點(diǎn)的值只有一從0增到個(gè)，因若讓 ，這一拱弧就逐漸膨大，掃過整個(gè)第一象限，因而若適當(dāng)選取，就能使它通過B。4.

結(jié)論：Ref：尤明慶，最速降線求解和摩擦力影響的研究，河南理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，24（1）13第13頁(yè)/共17頁(yè)5.

模型評(píng)價(jià)：約翰·伯努利對(duì)速降線問題的解法，非常奇妙，表現(xiàn)出驚人的想象能力。速降線問題除內(nèi)在的價(jià)值外，還有巨大的意義。它是變分法的歷史根源，變分法是近代分析的極有用的分支，它深刻揭示出物理世界核心里隱藏的簡(jiǎn)單性。14第14頁(yè)/共17頁(yè)又由弧長(zhǎng)微分得從而整個(gè)下降時(shí)間是的積分，故需取極小值的積分是這是泛函的極值問題.6.

模型的進(jìn)一步思考：用變分法同樣可以得到速降線的數(shù)學(xué)模型。表示曲