加法與乘法原理

加法與乘法原理奧數(shù)輔導(dǎo)講座臨湘市長(zhǎng)塘中學(xué)周應(yīng)利老師制作新知引入引例1：從甲地到乙地，可以乘火車(chē)，也可以乘汽車(chē)，還可以乘輪船。一天中火車(chē)有4班，汽車(chē)有3班，輪船有2班。問(wèn)：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？分析與解：一天中乘坐火車(chē)有4種走法，乘坐汽車(chē)有3種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天中從甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（種）不同走法。2013年1月29日引例2：旗桿上最多可以?huà)靸擅嫘盘?hào)旗，現(xiàn)有紅色、藍(lán)色和黃色的信號(hào)旗各一面，如果用掛信號(hào)旗表示信號(hào)，最多能表示出多少種不同的信號(hào)？分析與解：根據(jù)掛信號(hào)旗的面數(shù)可以將信號(hào)分為兩類(lèi)。第一類(lèi)是只掛一面信號(hào)旗，有紅、黃、藍(lán)3種；第二類(lèi)是掛兩面信號(hào)旗，有紅黃、紅藍(lán)、黃藍(lán)、黃紅、藍(lán)紅、藍(lán)黃6種。所以一共可以表示出不同的信號(hào)

3＋6=9（種）。以上兩例利用的數(shù)學(xué)思想就是加法原理。2013年1月29日歸納總結(jié)：加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類(lèi)做法（注意：選擇任何一類(lèi)做法中的每一種方法都可以獨(dú)立完成任務(wù)），在第一類(lèi)方法中有m1種不同方法，在第二類(lèi)方法中有m2種不同方法……在第n類(lèi)方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：N=m1+m2+…+mn種不同的方法。2013年1月29日在什么情況下才能使用加法原理呢？在做一件事情時(shí)，如果有幾類(lèi)不同的做法（注意：選擇任何一類(lèi)做法中的每一種方法都可以完成任務(wù)），，而每一類(lèi)方法中又有幾種可能的情況，要求一共有多少種不同的方法，這就可用加法原理來(lái)解決；2013年1月29日考考自己1、小紅，小麗，小敏三人去洞庭湖岸邊游玩拍照留念。如果不考慮她們站的先后順序，問(wèn)：共有多少種不同的拍照方法？2、用0、2、3三個(gè)數(shù)字組成不同的三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？3、用1g、2g、5g的砝碼各一個(gè)，那么在天平上可以稱(chēng)出多少種不同質(zhì)量的物體？2013年1月29日考考自己4、從北京到天津的列車(chē)，中途要經(jīng)過(guò)4個(gè)車(chē)站，問(wèn)：從北京到天津，一共要準(zhǔn)備多少種的車(chē)票？5、5個(gè)人進(jìn)行下期比賽，每?jī)蓚€(gè)人之間都要賽一場(chǎng)，問(wèn)：一共要賽多少場(chǎng)？6、一把鑰匙只能開(kāi)一把鎖，現(xiàn)有4把鑰匙與4吧鎖，但不知道哪把鑰匙開(kāi)哪把鎖。問(wèn)：最多要試多少次才能配好全部的鑰匙與鎖？2013年1月29日7、在4×4的方格圖中，一共有多少個(gè)正方形？（如圖所示）2013年1月29日分析：假設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，那么可以按照正方形的邊長(zhǎng)來(lái)分類(lèi)探究：邊長(zhǎng)為1的正方形有多少個(gè)？邊長(zhǎng)為2的正方形有多少個(gè)？邊長(zhǎng)為3的正方形有多少個(gè)？邊長(zhǎng)為4的正方形有多少個(gè)？然后將所有結(jié)果加起來(lái)就可以得到最后的結(jié)果了。回顧剛才所學(xué)的內(nèi)容是什么？加法原理2013年1月29日2013年1月29日再看另外一類(lèi)問(wèn)題吧！新知引入：引例1：從3、5、7、11、13這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母，一共可以組成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)？其中有多少個(gè)真分?jǐn)?shù)？2013年1月29日思路導(dǎo)航：①一個(gè)分?jǐn)?shù)除了分?jǐn)?shù)線(xiàn)外，另外由幾部分組成？②要回答本題的話(huà)，應(yīng)該分幾步思考？思路導(dǎo)航：我們分兩步思考：第一步先從3、5、7、11、13這五個(gè)數(shù)中任意選擇一個(gè)作為分子，一共有5種選法；第二步再?gòu)挠嘞碌?個(gè)數(shù)中任選一個(gè)作為分母，一共有4種選法；那么一共可以組成5×4=20（個(gè)）不同的分?jǐn)?shù)。然而，在這20個(gè)分?jǐn)?shù)中有一半是真分?jǐn)?shù)。

20÷2=10答：一共可以得到20個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，其中有10個(gè)真分?jǐn)?shù)。2013年1月29日2013年1月29日引例2：從2、3、7、11、13、17這六個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母，一共可以組成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)？其中有多少個(gè)真分?jǐn)?shù)？思維導(dǎo)航：從2、3、7、11、13、17這六個(gè)數(shù)中任選有一個(gè)作為分子一共有6種方法；再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)數(shù)中任選一個(gè)作為分母一共有關(guān)5種選法；那么一共可以得到6×5=30（個(gè)）不同的分?jǐn)?shù)。30÷2=15（個(gè)）答：一共可以得到30個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，其中一共有15個(gè)真分?jǐn)?shù)。新知引入：引例3：用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？思維導(dǎo)航：第一步：由于百位上的數(shù)字不能為0，所以百位上的數(shù)字只能從1、2、3、4這四個(gè)數(shù)中任選一個(gè)，從而有4種選法；第二步：從余下的四個(gè)數(shù)中任選一個(gè)作為十位上的數(shù)字，一共有4種選法；第三步：再?gòu)挠嘞碌娜齻€(gè)數(shù)中任選一個(gè)作為個(gè)位上的數(shù)字，一共有3種選法。一共可以組成4×4×3=48（個(gè)）不同的三位數(shù)。2013年1月29日思維點(diǎn)睛：

以上各題在解答方法上有什么共同的特點(diǎn)呢？

做一件事情時(shí)，如果要分幾步來(lái)完成，完成每一步時(shí)又有幾種不同的方法，要求一共有多少種不同的方法？2013年1月29日這個(gè)方法稱(chēng)為：2013年1月29日乘法原理在什么情況下使用乘法原理呢？做一件事情時(shí)，如果要分m步來(lái)完成，其中第一步有m1中方法，第二步有m2種方法……，第m步有mn種方法。（注意：其中任何一步都不能單獨(dú)完成任務(wù)），那么完成這件事情的方法一共有：N=m1×m2×……×mn種。這就是

“乘法原理”。2013年1月29日舉一反三1、從1、2、3、4、5、6、0這七個(gè)數(shù)中任選四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？2、如圖所示，A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色中的某種顏色染色，如果要求相鄰區(qū)域染不同的顏色，問(wèn)：一共有多少種不同的染色方法？ABCD2013年1月29日王牌奧數(shù)題有紅黃綠三種顏色的小旗幟各一面，從中選一面、兩面、或者三面旗從上到下掛在旗桿上表示不同的信號(hào)（從上到下的順序不同時(shí)則表示的信號(hào)就不同），問(wèn)：一共可以表示多少種不同的信號(hào)？2013年1月29日思維導(dǎo)航有紅黃綠三種顏色的小旗幟各一面，從中選一面、兩面、或者三面旗從上到下掛在旗桿上表示不同的信號(hào)（從上到下的順序不同時(shí)則表示的信號(hào)就不同），問(wèn)：一共可以表示多少種不同的信號(hào)？2013年1月29日從題意可知：可以從所掛的小旗的面數(shù)分三類(lèi)探究：第一類(lèi)“選一面小旗作為信號(hào)”，一共有3種選法，即可表示3種不同的信號(hào)；第二類(lèi)“選兩面小旗作為信號(hào)”，運(yùn)用乘法原理分兩步完成：①先選一面掛在上面有3種選法，②再選一面掛在下面有2中選法，一共可以表示3×2=6（種）不同的信號(hào)；第三類(lèi)“選三面小旗作為信號(hào)”，運(yùn)用乘法原理一共可以表示3×2×1=6（種）不同信號(hào)。綜上所述一共可以表示3＋3×2＋3×2×1=15（種）不用的信號(hào)！王牌奧數(shù)題精選1、有紅、黃、綠、藍(lán)四種顏色的小旗幟各一面，從中選一面、兩面、三面或四面小旗從上到下掛在旗桿上表示不同的信號(hào)（從上到下的順序不同時(shí)則表示的信號(hào)就不同），問(wèn)：一共可以表示