簡單曲線的極坐標方程

三、簡單曲線的極坐標方程

在平面直角坐標系中，平面曲線Ｃ可以用方程f(,)=0表示。曲線和方程滿足如下關系：(１)曲線Ｃ上任一點的坐標(所有坐標中至少有一個)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解為坐標的點都在曲線Ｃ上。

那么，在極坐標系中，平面曲線是否可應用方程f(,)=0表示呢？1.圓的極坐標方程探究如圖，半徑為a的圓的圓心坐標為(a,0)(a>0)，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標(,)滿足的條件？xC(a,0)OAM(,)

如圖，圓經過極點O，設圓和極軸的另一個交點為A，那么

即①

可以驗證點O、A的坐標滿足等式①。

于是，等式①就是圓上任意一點的極坐標(,)

滿足的條件。另一方面，可以驗證，坐標符合等式①的點都在這個圓上。

一般的，在極坐標中，如果曲線Ｃ上的點與方程f(,)=0有如下關系(１)曲線Ｃ上任一點的坐標(所有坐標中至少有一個)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解為坐標的點都在曲線Ｃ上。則曲線Ｃ的方程是f(,)=0。因此①就是圓心在C(a,0)，半徑為a的圓的極坐標方程。

可以看出，在求曲線方程是，關鍵是找出曲線上的點滿足的幾何條件，將它用坐標表示，在通過代數變換進行化簡。而且，與求圓的直角坐標方程相比，求它的極坐標方程更加簡便，因為在極坐標系下，圓上點的坐標所滿足的條件更容易表示，代數變換也更加直接。AOxM

例1、已知圓O的半徑為r，建立怎樣的坐標系，可以使圓的極坐標方程更簡單？解：如果以圓心O為極點，從O出發(fā)的一條射線為極軸建立坐標系，那么圓上各點的幾何特征就是它們的極徑都等于半徑r,

設M（

,

）為圓上任意一點，則，即。顯然，使極點與圓心重合時的圓的極坐標方程在形式上比①簡單。題組練習1求下列圓的極坐標方程(１)中心在極點，半徑為2；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半徑為a；

(３)中心在(a,/2)，半徑為a；

(４)中心在Ｃ(

0,

０)，半徑為r。

＝2

＝2acos

＝2asin

2+

0

2-2

0cos(-

０)=r2

極坐標方程分別是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的兩個圓的圓心距是多少練習2１.小結：（１）曲線的極坐標方程概念（２）怎樣求曲線的極坐標方程（3）圓的極坐標方程2.直線的極坐標方程新課引入：思考：在平面直角坐標系中1、過點(3,0)且與x軸垂直的直線方程為;x=3x=32、過點（a,b）且垂直于x軸的直線方程為_______x=a特點：所有點的橫坐標都是一樣，縱坐標可以取任意值。過點(3,3)且與x軸垂直的直線方程為答：與直角坐標系里的情況一樣，求直線的極坐標方程就是找出直線上動點Ｐ的坐標

與

之間的關系，然后列出方程

(,)=0

，再化簡并討論。怎樣求直線的極坐標方程？探究：直線l過極點，從極軸到直線l的角為，求直線l的極坐標方程。oMx﹚如圖，以極點為分界點，直線l上的點的極坐標分成射線OM、射線ON兩部分，先看射線OM。故所求射線的極坐標方程為：新課講授所求的射線上任一點的極角都是，其極徑可以取任意的非負數。射線ON上任意一點對極角都是，因此射線ON的極坐標方程為：故過極點，傾角為的直線的極坐標方程為：

和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？為了彌補這個不足，可以考慮允許通徑可以取全體實數。則上面的直線的極坐標方程可以表示為或例2、求過點A(a,0)(a>0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標方程。解：如圖，設點為直線L上除點A外的任意一點，連接OM,ox﹚AM由有即可以驗證，點A(a,0)的坐標也滿足上式。因此，這就是所求直線的極坐標方程求直線的極坐標方程步驟1、根據題意畫出草圖；2、設點是直線上任意一點；3、連接MO；4、根據幾何條件建立關于的方程，并化簡；5、檢驗并確認所得的方程即為所求。例3設點P的極坐標為，直線過點P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標方程。oxMP﹚﹚解：如圖，設點點P外的任意一點，連接OM為直線上除則由點P的極坐標知設直線