北師大版選擇性123直線與圓的位置關系課件（26張）

2.3直線與圓的位置關系第一章內容索引0102自主預習新知導學合作探究釋疑解惑自主預習新知導學一、直線與圓的位置關系1.直線Ax+By+C=0(A,B不全為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系及判斷表1-2-22.直線x-3y+1=0與圓x2+y2=的位置關系是(

).A.相離

B.相切C.相交且過圓心 D.相交但不過圓心解析:圓心(0,0)到直線x-3y+1=0的距離

,故直線與圓相交,但不過圓心.答案:D二、圓的切線1.(1)經過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為

x0x+y0y=r2.(2)經過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.答案:C合作探究釋疑解惑探究一直線與圓的位置關系的判定【例1】

若直線4x-3y+a=0與圓x2+y2=100有如下關系:(1)相交;(2)相切;(3)相離,試分別求實數a的取值范圍.解法二:(代數法)得25x2+8ax+a2-900=0.Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90

000.(1)當直線和圓相交時,Δ>0,即-36a2+90

000>0,解得-50<a<50,即a的取值范圍為(-50,50).(2)當直線和圓相切時,Δ=0,即-36a2+90

000=0,解得a=50或a=-50.(3)當直線和圓相離時,Δ<0,即-36a2+90

000<0,解得a<-50或a>50,即a的取值范圍為(-∞,-50)∪(50,+∞).直線與圓的位置關系的判斷方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷.(2)代數法:根據直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷.(3)直線系法:若直線恒過定點,可通過判斷點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系,但有一定的局限性,必須是過定點的直線系.探究二直線與圓相切的問題【例2】

過點M(2,4)向圓(x-1)2+(y+3)2=1引切線,求切線的方程.解:由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,因此點M在圓外.當切線斜率存在時,設切線方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,因為直線與圓相切,故所求切線方程為24x-7y-20=0.當切線斜率不存在時,直線x=2與圓相切.綜上所述,所求切線方程為24x-7y-20=0或x=2.在本例中,若所給點M的坐標是(1,-4),圓的方程不變,求切線方程.解:由于(1-1)2+(-4+3)2=1,因此點(1,-4)在圓上,圓心為點(1,-3),所以切線斜率為0,所以切線方程為y=-4,即y+4=0.求圓的切線方程的三種方法(1)幾何法:設出切線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出未知量.此種方程需要注意斜率不存在的情況,要單獨驗證,若符合題意,則直接寫出切線方程.(2)代數法:設出切線方程后與圓的方程聯立消元,利用判別式等于零,求出未知量.若消元后的方程為一元一次方程,則說明要求的切線中,有一條切線的斜率不存在,可直接寫出切線方程.(3)設切點坐標:利用切線的性質求出切點坐標,再利用直線的兩點式寫出切線方程.探究三直線與圓的相交弦問題【例3】

求直線l:3x+y-6=0被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦長.解法二:設直線l與圓C的交點分別為點A,B.圓C的方程x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心坐標為(0,1),半徑2.若本例改為:直線l被圓C:x2+y2-2y-4=0截得的弦AB恰被圓內的點M(1,2)平分,試求直線l的方程.解:由題意知,AB⊥CM,因為直線CM的斜率kCM=1,所以直線l的斜率kAB=-1,故直線l的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0.求直線與圓相交所得弦長的兩種方法

圖1-2-3圖1-2-4

易錯辨析忽視斜率不存在致誤【典例】

已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=4,直線l過點H(2,3)且與圓C交于A,B兩點,且|AB|=2,求直線l的方程.錯解:設直線l的方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.作CM⊥AB于點M,如圖1-2-5.圖1-2-5提示:上述解法的錯誤在于漏掉了斜率不存在的情況,因考慮不全面造成

漏解.正解:當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.作CM⊥AB于點M,如圖1-2-6.圖1-2-6即3x-4y+6