數(shù)值分析第三章小結(jié)

第三章矩陣特征值與特征向量的計算--------學習小結(jié)一、

本章學習體會

本章我們學習了矩陣特征值與特征向量的計算方法即冪法、反冪法、Jacobi方法和QR方法。

下邊介紹一下四種方法各自的特點和適用范圍。冪法：主要用于計算矩陣按模最大的特征值及其相應(yīng)的特征向量；反冪法：主要用于計算矩陣按模最小的特征值及其相應(yīng)的特征向量；Jacobi法：用于求實對稱矩陣的全部特征值和特征向量的方法；QR法：則適用于計算一般實矩陣的全部特征值，尤其適用于計算中小型實矩陣的全部特征值。歸結(jié)起來，這四種方法有一個共同的特點，即都是用了迭代的方法來求矩陣的特征值和特征向量。

還有利用用MATLAB自帶的解法求解特征值和特征向量，其自帶函數(shù)Eig即得到結(jié)果是虛數(shù)也可以算出，并且結(jié)果自動正交化。二、本章知識梳理在工程技術(shù)中，計算矩陣的特征值和特征向量主要使用數(shù)值解法。本章將闡述冪法、反冪法、Jacobi方法、和QR方法，并且只限于討論實矩陣的情況。3.1冪法和反冪法（1）冪法冪法主要用于計算矩陣的按模為最大的特征值和相應(yīng)的特征向量，其思想是迭代。設(shè)實矩陣A具有n個線性無關(guān)的特征向量其相應(yīng)的特征值滿足如下不等式其中現(xiàn)在要求出和相應(yīng)的特征向量。任取一維非零向量，從出發(fā)，按照如下的遞推公式因維向量組線性無關(guān)，故對于向量，必存在唯一的不全為零的數(shù)組，使得=設(shè)。當k充分大時，有迭代公式為在實際計算中，為了避免迭代向量的模過大（當）或過?。ó敚ǔＣ康淮味紝M行規(guī)范化，使其范數(shù)等于1.=1\*GB3①范數(shù)令那么由于，并根據(jù)式可得結(jié)合在一起，得到第一種冪法迭代格式：當（允許誤差）時，迭代終止，以當前的作為的近似值，以作為的屬于的特征向量。=2\*GB3②范數(shù)令這里假設(shè)的第r個分量為模最大的分量，當足夠大之后，r保持定值；是維基基本單位向量，它的第r個分量為1，其余分量為零。由于，可得。把式子結(jié)合起來，得到第二種冪法迭代格式：終止迭代的控制也用，當前的和即分別作為和與其相應(yīng)的特征向量。在迭代格式中，，，。兩種迭代格式相比較前一種格式編制程序容易，迭代一次所需時間較短；第二種格式每迭代一次都要判斷的第幾個分量的模最大，因而所需要的時間較長，但是它在計算過程中舍入誤差的影響比第一種格式小。（2）反冪法目的:計算A的按模最小的特征值與相應(yīng)的特征向量。設(shè)A的特征值：特征向量:的特征值：對用成冪法計算的按模最大的特征值與相應(yīng)的特征向量稱為反冪法。反冪法計算過程1.使用max()2.使用范數(shù)（3）Jacobi方法Jacobi方法的基本思想理論依據(jù)：任一實對稱矩陣正交相似于對角陣。若令，則，令，為初等陣構(gòu)造一系列正交矩陣序列使得迭代公式：且令則P的列為特征向量。（4）QR方法QR方法是求一般矩陣的全部特征值和特征向量的一種迭代。矩陣的QR分解（正交三角分解）即A=QRQ——正交矩陣R——上三角矩陣=1\*GB3①Householder矩陣H為對稱正交矩陣。=2\*GB3②Householder矩陣的性質(zhì)=3\*GB3③矩陣的QR分解QR分解的實現(xiàn)Q的計算:令R的計算：令QR分解的算法記，，本章