大一高數(shù) 自測一答案

第1頁共7頁自測一答案一、填空題（每小題3分，共5×3=15分）1．若函數(shù)在處連續(xù)，則．2．=．3．已知，則=．4．微分方程滿足初始條件的特解為．5．曲線上相應(yīng)于的弧長．（只需寫出定積分表達式，不需計算．）二、單項選擇題(每小題3分，共5×3=15分)1．設(shè)，則（B）.A．；B．；C．；D．．2．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，下列關(guān)系式中，正確的是(B).A．；B．；C．；D．．3．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則(A).A．；B．；C．；D．．4．設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，，下列結(jié)論正確的是（B）.A．在內(nèi)單調(diào)增加；B．在內(nèi)單調(diào)增加；C．在內(nèi)單調(diào)減少；

D．在內(nèi)單調(diào)減少．5．下列結(jié)論中正確的是（A）．A．收斂；B．收斂；C．發(fā)散；

D．收斂．三、計算題（必須要有解題過程）（本大題共6小題，每小題7分，共6×7=42分）1．求極限．解：……(3分)…(6分)………………(7分)2．設(shè)，求．解：………………(3分)………………(6分)．……………(7分)3．求不定積分．解：………(4分)…………………(7分)4．設(shè)求定積分．解：令…………………(1分)…………………(2分)…………………(3分)…………………(4分)…………………(6分)…………………(7分)5．求微分方程的通解．解：原方程化為：，……(1分)……(2分)……(4分)………………(5分)………………(6分)………………(7分)6．求微分方程的通解．解：對應(yīng)的齊次方程為:，……(1分)特征方程為：，解得，……………(2分)齊次方程的通解為：，……(4分)設(shè)，……(5分)則，代入原方程，解得：，……(6分)所求微分方程的通解為：……………(7分)四、[7分]求曲線和它在處的切線，以及所圍成圖形的面積．解：……(4分)……(6分)…………………(7分)五、應(yīng)用題[6分]一個半徑為2m,高為6m的正圓錐形水池內(nèi)充滿了水，要把池內(nèi)的水全部吸盡，需作多少功（計算過程中，水的密度、圓周率和重力加速度的值不要求代入）？解：建立如圖坐標(biāo)系，六、[10分]設(shè)是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直線及所圍成的平面區(qū)域，其中，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積，繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積．試求，使取得最大．解：……(4分)……(8分)，由得唯一的駐點，由實際問題知，的最大值點存在，又駐點唯一，故當(dāng)時，取得最大.……(10分)七、證明題[5分]設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，，則至少存在一點，使得．證明：由積分中值定理，至少存在一點使得，……(2分)又，.對在上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，并注意到，得：；，.在上對應(yīng)用拉格朗日中值定理得．………………(6分)附加題（每小題6分，共2×6=12分）1．設(shè)對于任意，曲線上的點處的切線在軸上的截距等于，求的表達式．證明：曲線上任意處的切線方程是：（1分）令，得到軸上的截距：（2分）由題意，，化簡：（3分）上式兩邊同時對求導(dǎo)，并化簡，（4分）則，得到，即（5分）再積分，得到（6分）2．證明：設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，若，，則在內(nèi)至少存在一點，使得其中．證明：在上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由拉格朗日中值定理，至少存