高等數(shù)學(xué) 課件全套 王文靜 第1-6章 函數(shù)、極限與連續(xù) - 微分方程

第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)

§1.1函數(shù)第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)

§1.2極限概念與運(yùn)算法則第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)

§1.3兩個重要極限以及無窮小與無窮大第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)

§1.4函數(shù)的連續(xù)性2.1導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)在處取得增量(點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi))時,函數(shù)取得增量若極限存在則稱此函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，此極限為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),記作即也可記為若極限不存在，則稱函數(shù)在處不可導(dǎo).例2.1.1

已知函數(shù)在x=1處可導(dǎo)，且f'(1)=3，求下面的極限。（1）；（2）。解

（1）；

例2.1.2求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)及在處的導(dǎo)數(shù)．解（1）;（2）；（3），即，故．例2.1.3

求和的導(dǎo)數(shù).（2）

例2.1.4.求雙曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解所求切線的斜率為：k=(1x)'x=12=(-1x2)x=12=-4切線方程為：y-2=-4(x-12)，即。法線方程為：y-2=14(x-12)，即

例2.1.5

證明函數(shù)在處連續(xù)，但它在處不可導(dǎo)。證因?yàn)?，所以，故函?shù)在處連續(xù)。，，不存在，所以函數(shù)在處不可導(dǎo)，從圖像上看，在點(diǎn)處沒有切線

2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

一、代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)及在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo).即

二、乘法的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)及在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo).即

三、除法的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)及在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處也可導(dǎo).即例2.2.1，求及

解

，．例2.2.2

求的導(dǎo)數(shù)．解

例2.2.3

求的導(dǎo)數(shù)．解

．即

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)定理設(shè)函數(shù)均可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)

也可導(dǎo).且或或例2.2.4設(shè)，求．解

設(shè)，，則例2.2.5

求的導(dǎo)數(shù)．解

設(shè)，，則例2.2.6

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解

.例2.2.7

y=f(sinx)，求．解

y'=f'(sinx)?[(sinx)]'=f'(sinx)?cosx．隱函數(shù)的求法然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo).

一、將兩端對

求導(dǎo),在求導(dǎo)過程中視

為

的函數(shù)二、求導(dǎo)之后得到一個關(guān)于

的方程,解此方程得

的表達(dá)式.在此表達(dá)式中允許含有例2.2.9

求由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解在方程兩邊對求導(dǎo)，

整理得例2.2.10已知方程，求.解在方程的兩端同時對求導(dǎo)，得

整理得因?yàn)闀r，所以對數(shù)求導(dǎo)法(1)、先在函數(shù)的兩邊取自然對數(shù)(2)、等式兩邊分別對求導(dǎo)數(shù),最后解例2.2.11

求的導(dǎo)數(shù).解兩邊取對數(shù)，得在兩邊對求導(dǎo)，注意到是關(guān)于的函數(shù)，得于是例2.2.12

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解兩邊取對數(shù)，化簡得在上式兩邊對求導(dǎo),得有：

高階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).即一般地,若的導(dǎo)數(shù)仍然是可導(dǎo)函數(shù),則一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二記作：類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),叫做三階導(dǎo)數(shù)；三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),叫做四階導(dǎo)數(shù)；分別記作：或：二階及二階以上的導(dǎo)數(shù),統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),叫做階導(dǎo)數(shù).例2.2.13，求．解

，例2.2.14

，求高階導(dǎo)數(shù)和．解，，……，例2.2.15求的階導(dǎo)數(shù)．解

，，，依此類推，可得．同理，可得2.3函數(shù)的微分微分的定義可以表示為如果函數(shù)

在點(diǎn)

處的增量設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的一個鄰域內(nèi)有定義，其中

是不依賴于的常數(shù)。則稱為函數(shù)

在

處的微分，記作

，即這時也稱函數(shù)在點(diǎn)處可微.

例2.3.1

求函數(shù)當(dāng)時的微分．解因?yàn)?/p>

所以：

．例2.3.2

求函數(shù)在點(diǎn)和處的微分．解

；例2.3.3

設(shè)，求．解

3.1微分中值定理與洛必達(dá)法則§4.1不定積分的概念與性質(zhì)4.1.1原函數(shù)與不定積分1.原函數(shù)的概念定義4.1例4.1.1求下列不定積分：4.1.2不定積分的幾何意義xyO圖4.1.1y=F(x)+Cy=F(x)xyO(1,2)y=x2y=x2+1y=x2+C圖4.1.24.1.3不定積分的性質(zhì)與基本公式1.不定積分的性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義直接推出性質(zhì)1.2.不定積分的基本公式4.1.4不定積分的直接積分法例4.1.2

求解§4.2換元積分法4.2.1第一類換元法例4.2.1求解被積表達(dá)式：例4.2.2

求解例4.2.3求解例4.2.4求解4.2.2第二類換元積分法§4.3分部積分法定積分的概念及其性質(zhì)1、定積分的概念設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)有界。任取分點(diǎn)將區(qū)間

分成

個小區(qū)間，

記

個小區(qū)間的長度為令在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)則乘積的和式為

，若不論區(qū)間采取何種分法，也不論在

中如何取法,只要當(dāng)時，定義定積分的概念及其性質(zhì)1、定積分的概念極限存在，則稱函數(shù)在區(qū)間上是可積的。并稱次限值為函數(shù)在

上的定積分。記作2、定積分存在的兩個充分條件定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù),則在區(qū)間

上可積。

定理2設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上有界,且只有有限個第一類間斷點(diǎn)，則

在區(qū)間上可積。定積分的概念及其性質(zhì)3、定積分的幾何意義(1)、若則(2)、若則定積分的概念及其性質(zhì)3、定積分的幾何意義(3)、若函數(shù)在區(qū)間上有正有負(fù)，則定積分的概念及性質(zhì)3、定積分的幾何意義利用定積分的幾何意義，計算：例3解：(1)、如圖oxy1(1,3)1S（1）定積分的概念及性質(zhì)3、定積分的幾何意義解：(2)、oxy11S（2）如圖定積分的概念及性質(zhì)

法則1常數(shù)因子可以提到積分號外.即法則2兩個函數(shù)代數(shù)和的定積分等于它們定積分的代數(shù)和，即

法則3對任意的點(diǎn)c,若函數(shù)在區(qū)間

上均可積，則有(積分區(qū)間的可加性)4、定積分的計算法則定積分的概念及性質(zhì)5、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1(保號性)若函數(shù)

與在區(qū)間上總滿足條件則有例1比較下列各題中兩個積分值的大小與與定積分的計算法則與性質(zhì)5、定積分的性質(zhì)與解：與定積分的概念及性質(zhì)5、定積分的性質(zhì)推論1則推論2若函數(shù)在區(qū)間

上可積，且若函數(shù)在區(qū)間

上可積，則

性質(zhì)2(估值定理)若函數(shù)

在區(qū)間上的最大值與最小值分別為

與

，則定積分的概念及性質(zhì)5、定積分的性質(zhì)試估計定積分值的范圍。解：令在區(qū)間上是增函數(shù)例2定積分的概念及性質(zhì)5、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)3(微分中值定理)一點(diǎn)使得若函數(shù)在區(qū)間

上連續(xù)，則至少存在注意定積分的概念及性質(zhì)定積分的基本定理1、變上限定積分定義定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對于任意的在區(qū)間

上也連續(xù)，故函數(shù)在區(qū)間

上也可積，則定積分的值依賴于上限,該定積分是定義在上的

函數(shù),稱為變上限定積分.為了區(qū)別起見我們把積分變量用字母表示,

積分上限函數(shù)(變上限定積分)即：yxoabx定積分的基本定理2、變上限定積分函數(shù)的重要性質(zhì)若函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，則變上限積分函數(shù)在區(qū)間上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是3、

原函數(shù)存在定理若函數(shù)

在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)

就是在區(qū)間上的一個原函數(shù).定積分的基本定理5、變上限定積分求導(dǎo)例題求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1解：定積分的基本定理6、牛頓—萊布尼茨公式若函數(shù)在區(qū)間

上連續(xù)，是在上的一個原函數(shù)，則例1：計算下列定積分解：定積分的基本定理定積分的基本定理案例應(yīng)用定積分的計算方法1、換元積分法若函數(shù)在區(qū)間

上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足則有定積分換元公式：例1：計算定積分定理定積分的計算解：令，則當(dāng)時，則當(dāng)時，，有：原式令，則當(dāng)時，則當(dāng)時，，有：原式定積分的計算2、分部積分法設(shè)函數(shù)

為上連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分布積分公式：求下列函數(shù)的定積分例2上述公式還可以寫為：定理定積分的計算解：令有定積分的計算3、奇偶函數(shù)的定積分的簡化計算定理若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則為奇函數(shù)為偶函數(shù)求下列函數(shù)的定積分例3定積分的計算解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，且積分區(qū)間對稱，有廣義積分1、無窮區(qū)間上的廣義積分設(shè)函數(shù)在區(qū)間

上連續(xù)，對任意的，將極限稱為在上的廣義積分，若極限存在，則稱廣義積分收斂；定義前面介紹的定積分的區(qū)間都是有限區(qū)間，且被積函數(shù)在積分區(qū)間上都是有界。但實(shí)際問題中還會遇到無窮區(qū)間上的積分或者被積函數(shù)是無界的積分問題，這類積分稱為廣義積分，也把前面介紹的定積分稱為常義積分。記為，即若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散。廣義積分1、無窮區(qū)間上的廣義積分類似地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間

上的廣義積分定義為：設(shè)函數(shù)在區(qū)間

上的廣義積分定義為：上述三種廣義積分統(tǒng)稱為無窮區(qū)間上的廣義積分，簡稱為無窮積分。第四節(jié)廣義積分2、無窮積分的計算若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，并記則上述三種無窮積分利用牛頓—萊布尼茨公式可表示為廣義積分2、無窮積分的計算例1

求解解總需求量為：例2

某產(chǎn)品的需求函數(shù)，計算當(dāng)價格從10變化到，總的需求量為多少？若，且，廣義積分3、無窮函數(shù)的廣義積分設(shè)函數(shù)在區(qū)間

上連續(xù)，且.稱為在上的廣義積分，若極限存在，則稱收斂；定義記為若極限不存在，則稱發(fā)散。取

，將極限，類似地，廣義積分為：若，廣義積分為：無界函數(shù)的廣義積分又稱為瑕積分.廣義積分4、瑕積分的計算例3計算瑕積分解經(jīng)判斷：，所以只在上連續(xù)，那么廣義積分4、瑕積分的計算例4討論瑕積分的斂散性。解可知，是被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)，則有：瑕積分是發(fā)散的。定積分的簡單應(yīng)用1、直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積（1）由一條曲線直線及軸圍成的面積。定積分的簡單應(yīng)用1、直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積和直線圍成的.（2）平面圖形是由兩條曲線oxyAabAoxyba記面積為：（上—下）定積分的簡單應(yīng)用1、直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積（3）由一條曲線直線及軸圍成面積：(4)由曲線及直線圍成的面積為：（右—左）定積分的簡單應(yīng)用1、直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積例1求出拋物線與直線

所圍成的平面圖形的面積.解作草圖，如圖，求拋物線與直線的交點(diǎn)，即解方程組得交點(diǎn)A(2,-2)和B(8,4).xAB-24yy=x-4y2

=2x(8,4)(2,-2)定積分的簡單應(yīng)用2、旋轉(zhuǎn)體的體積這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體圓柱圓錐圓臺定積分的簡單應(yīng)用2、旋轉(zhuǎn)體的體積（1）由連續(xù)曲線直線所圍成的圖形，所成旋轉(zhuǎn)體的體積。xyo繞軸旋轉(zhuǎn)一周，定積分的簡單應(yīng)用2、旋轉(zhuǎn)體的體積（2）由連續(xù)曲線直線所圍成的圖形，所成旋轉(zhuǎn)體的體積。繞軸旋轉(zhuǎn)一周，定積分的簡單應(yīng)用2、旋轉(zhuǎn)體的體積求由曲線與直線

及所圍成的平面圖形繞x軸旋一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解如圖：例2所求的體積為:定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用1、已知總產(chǎn)量變化率求總產(chǎn)量定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用2、由邊際函數(shù)求總量函數(shù)定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用3、平均日庫存率微分方程的概念1、案例引入——求曲線的方程

引例：一曲線通過點(diǎn)（1，2）,且在該曲線上任一點(diǎn)的切線斜率為橫坐標(biāo)的2倍，求該曲線的方程。

解設(shè)所求曲線為由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:即兩端積分,得又曲線通過點(diǎn)（1，2）故所求曲線的方程為微分方程的概念218引例小結(jié)：1.是一個求未知函數(shù)的運(yùn)算。2.導(dǎo)數(shù)形式，積分求解。3.給出了特殊點(diǎn)，確定積分常數(shù)。微分方程的概念219微分方程的基本概念

微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微分)的方程.如常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程微分方程的概念220微分方程的基本概念

1.微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微分)的方程.如2.常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程微分方程的概念2213.微分方程的階：微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).如一階微分方程二階微分方程微分方程的概念三階微分方程2224.微分方程的解：若函數(shù)滿足一個微分方程,則稱它是微分方程的解.如則函數(shù)是微分方程

的解微分方程的概念5.微分方程的通解：若微分方程的解中含有相互獨(dú)立的常數(shù),且常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù)如通解為通解為2232246.初始條件：問題中用于確定通解中的任意常數(shù)的條件.微分方程的概念

如引例中“一曲線通過點(diǎn)（1，2）”就是初始條件。7.特解：利用初始條件確定出通解中的任意常數(shù)后得到的解.如上例中,通解為一個特解:可分離變量的微分方程稱為可分離變量的微分方程形如

或的微分方程1、特點(diǎn)

等式右邊可以分解成兩個函數(shù)之積,其中一個是x的函數(shù),另一個是y的函數(shù).

可分離變量的微分方程2、步驟1.分離變量，將該方程化為一邊只含有x

而另一邊只含有y的函數(shù)2.兩邊積分：3.計算上述不定積分,得通解其中即

可分離變量的微分方程例1求微分方程

的通解解:將原方程分離變量得兩端積分得即從而令故通解為

可分離變量的微分方程例2求微分方程

滿足

的特解.

解:將原方程分離變量得兩端積分即

可分離變量的微分方程例3求微分方程

的通解解:方程可化為：分離變量得兩端積分得即

可分離變量的微分方程的方程稱為一階線性微分方程形如其中P(x)、Q(x)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).

稱為一階線性齊次微分方程，若Q(x)=0，則方程為0，則稱方程為一階線性非齊次微分方程.若Q(x)

一階線性微分方程1.一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程是可分離變量方程.兩邊積分，得所以，方程的通解公式分離變量，得

一階線性微分方程例

1

求方程

y

+(sinx)y=0的通解.

解

所給方程是一階線性齊次方程，且P(x)=sinx，由通解公式即可得到方程的通解為則

一階線性微分方程2.一階線性非齊次方程的解法

一階線性微分方程公式法常數(shù)變易法常數(shù)變易法先求對應(yīng)齊次方程

的通解設(shè)所給線性非齊次方程的解為把

和

代入原方程得: