第十七屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試卷（小中組B卷）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）第十七屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試卷（小中組B卷）一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）若將一個(gè)邊長(zhǎng)為8厘米的正方形蓋在一個(gè)三角形上，則兩個(gè)圖形重疊部分的面積占三角形面積的一半，占正方形面積的四分之三．那么這個(gè)三角形的面積是平方厘米．2．（10分）在如圖的算式中，每個(gè)字母代表一個(gè)1至9之間的數(shù)，不同的字母代表不同的數(shù)字，則A+B+C＝．3．（10分）某水池有A，B兩個(gè)水龍頭．如果A，B同時(shí)打開(kāi)需要30分鐘可將水池注滿(mǎn)．現(xiàn)在A和B同時(shí)打開(kāi)10分鐘，即將A關(guān)閉，由B繼續(xù)注水40分鐘，也可將水池注滿(mǎn)．如果單獨(dú)打開(kāi)B龍頭注水，需要分鐘才可將水池注滿(mǎn)．4．（10分）將六個(gè)數(shù)1，3，5，7，9，11分別填入右圖中的圓圈內(nèi)（每個(gè)圓填一個(gè)數(shù)）使每邊上三個(gè)數(shù)的和都等于19，則三角形三個(gè)的圓圈內(nèi)所填三數(shù)之和為．5．（10分）四年級(jí)一班用班費(fèi)購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為3元、2元、1元的甲、乙、丙三種文具．已知購(gòu)買(mǎi)乙種文具的件數(shù)比購(gòu)買(mǎi)甲種文具的件數(shù)少2件，且購(gòu)買(mǎi)甲種文具的費(fèi)用不超過(guò)總費(fèi)用的一半．若購(gòu)買(mǎi)的三種文具恰好共用了66元，那么甲種文具最多購(gòu)買(mǎi)了件．6．（10分）如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿正方棱爬到頂點(diǎn)B，要求行走的路線(xiàn)最短，那么螞蟻有種不同的走法．7．（10分）每枚正方體骰子相對(duì)面的點(diǎn)數(shù)和都是7．如圖擺放的三枚骰子，你只能看到七個(gè)面的點(diǎn)數(shù)，那么你從該圖中看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和是．8．（10分）十個(gè)不同奇數(shù)的平方之和的最小值與這個(gè)最小值被4除的余數(shù)之差是．（注：相同的兩個(gè)自然數(shù)的乘積叫做這個(gè)自然數(shù)的平方，如1×1＝12，2×2＝22，3×3＝33，類(lèi)推）二、簡(jiǎn)答題（每題15分，共60分，要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程）9．（15分）商店進(jìn)了一批鋼筆，如果用零售價(jià)7元賣(mài)出20支與用零售價(jià)8元賣(mài)出15支所賺的錢(qián)數(shù)相同．那么每支鋼筆的進(jìn)貨價(jià)是多少元？10．（15分）十個(gè)互不相同的非零自然數(shù)之和等于102，那么其中最大的兩個(gè)數(shù)之和的最大值等于多少？其中最小的兩個(gè)數(shù)之和的最小值等于多少？11．（15分）如圖是一個(gè)凈化水裝置，水流方向?yàn)閺腁先流向B，再流到C．原來(lái)容器A﹣B之間有10個(gè)流量相同的管道，B﹣C之間有10個(gè)流量相同的管道．現(xiàn)調(diào)換了A﹣B與B﹣C之間的一個(gè)管道后，流量每小時(shí)增加了30立方米．問(wèn)：通過(guò)調(diào)整管道布局，從A到C的流量最大可增加多少立方米？12．（15分）稱(chēng)四位數(shù)是四位數(shù)的反序數(shù)．如1325是5231的反序數(shù)，2001是1002的反序數(shù)．問(wèn)：一個(gè)四位數(shù)與它的反序數(shù)的差能等于1008嗎？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出一例；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．

第十七屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試卷（小中組B卷）參考答案與試題解析一、填空題（每小題10分，共80分）1．（10分）若將一個(gè)邊長(zhǎng)為8厘米的正方形蓋在一個(gè)三角形上，則兩個(gè)圖形重疊部分的面積占三角形面積的一半，占正方形面積的四分之三．那么這個(gè)三角形的面積是96平方厘米．【分析】根據(jù)正方形的面積公式S＝a×a求出正方形的面積，再根據(jù)“占正方形面積的三分之二，”求出兩個(gè)圖形重疊部分的面積，進(jìn)而求出三角形面積．【解答】解：8×8×÷，＝48×2，＝96（平方厘米），答：這個(gè)三角形的面積是96平方厘米；故答案為：96．2．（10分）在如圖的算式中，每個(gè)字母代表一個(gè)1至9之間的數(shù)，不同的字母代表不同的數(shù)字，則A+B+C＝18．【分析】根據(jù)減法各部分間的關(guān)系可得：DEF+HIJ＝ABC，又因?yàn)?～9這9個(gè)數(shù)字的和是45，假設(shè)個(gè)位與十位相加都進(jìn)位，則可得：F+J＝10+C，E+I＝10+B﹣1＝9+B，D+H＝A﹣1，則D+E+F+H+I+J＝10+C+9+B+A﹣1＝A+B+C+18，所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+18＝45，即A+B+C＝，不符合題意；則假設(shè)只有個(gè)位數(shù)字相加進(jìn)位，則F+J＝10+C，E+I＝B﹣1，D+H＝A，則D+E+F+H+I+J＝10+C+B﹣1+A＝A+B+C+9，所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+9＝45，即A+B+C＝18，符合題意；假設(shè)只有十位數(shù)字相加進(jìn)位得到的結(jié)果與假設(shè)個(gè)位數(shù)字相加進(jìn)位得到的結(jié)果相同，據(jù)此即可解答．【解答】解：根據(jù)題得：DEF+HIJ＝ABC，又因?yàn)?+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，假設(shè)個(gè)位與十位相加都進(jìn)位，則可得：F+J＝10+C，E+I＝10+B﹣1＝9+B，D+H＝A﹣1，則D+E+F+H+I+J＝10+C+9+B+A﹣1＝A+B+C+18，所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+18＝45，即A+B+C＝，不符合題意；則假設(shè)只有個(gè)位數(shù)字相加進(jìn)位，則F+J＝10+C，E+I＝B﹣1，D+H＝A，則D+E+F+H+I+J＝10+C+B﹣1+A＝A+B+C+9，所以A+B+C+D+E+F+H+I+J＝2（A+B+C）+9＝45，即A+B+C＝18，符合題意；答：A+B+C＝18．故答案為：18．3．（10分）某水池有A，B兩個(gè)水龍頭．如果A，B同時(shí)打開(kāi)需要30分鐘可將水池注滿(mǎn)．現(xiàn)在A和B同時(shí)打開(kāi)10分鐘，即將A關(guān)閉，由B繼續(xù)注水40分鐘，也可將水池注滿(mǎn)．如果單獨(dú)打開(kāi)B龍頭注水，需要60分鐘才可將水池注滿(mǎn)．【分析】我們把水池的容量看作單位“1”，先求出B水管的工作效率，然后用單位“1”除以B的工作效率就是單獨(dú)打開(kāi)B龍頭注水，需要的時(shí)間．【解答】解：1÷[（1﹣）÷40]，＝1÷，＝60（分鐘）；答：?jiǎn)为?dú)打開(kāi)B龍頭注水，需要60分鐘才可將水池注滿(mǎn)．故答案為：60．4．（10分）將六個(gè)數(shù)1，3，5，7，9，11分別填入右圖中的圓圈內(nèi)（每個(gè)圓填一個(gè)數(shù)）使每邊上三個(gè)數(shù)的和都等于19，則三角形三個(gè)的圓圈內(nèi)所填三數(shù)之和為21．【分析】由于三角形三個(gè)頂點(diǎn)上3個(gè)數(shù)重復(fù)加了一遍，所以各邊數(shù)字之和減去所填入數(shù)字和等于重復(fù)多加的各頂點(diǎn)之和，即19×3﹣（1+3+5+7+9+11）＝21，所以頂點(diǎn)上三個(gè)數(shù)的和是21．【解答】解：19×3﹣（1+3+5+7+9+11），＝19×3﹣36，＝21；這個(gè)幻方可以是：故答案為：21．5．（10分）四年級(jí)一班用班費(fèi)購(gòu)買(mǎi)單價(jià)分別為3元、2元、1元的甲、乙、丙三種文具．已知購(gòu)買(mǎi)乙種文具的件數(shù)比購(gòu)買(mǎi)甲種文具的件數(shù)少2件，且購(gòu)買(mǎi)甲種文具的費(fèi)用不超過(guò)總費(fèi)用的一半．若購(gòu)買(mǎi)的三種文具恰好共用了66元，那么甲種文具最多購(gòu)買(mǎi)了11件．【分析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲文具為x元，則乙為（x﹣2）元，由于甲、乙、丙三種文具恰好用了66元錢(qián)，則買(mǎi)甲、乙兩種文具的錢(qián)≤66，再根據(jù)購(gòu)買(mǎi)甲文具的費(fèi)用不超過(guò)總費(fèi)用的一半，列不等式解答．【解答】9解：設(shè)買(mǎi)甲種文具數(shù)量為x，丙種文具數(shù)量為y，則乙種文具數(shù)量為（x﹣2），則3x+2（x﹣2）+y＝66，即y＝70﹣5x，又3x≤，解得x≤11，所以甲文具最多購(gòu)買(mǎi)11件，答：甲種文具最多購(gòu)買(mǎi)了11件．故答案為：11．6．（10分）如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿正方棱爬到頂點(diǎn)B，要求行走的路線(xiàn)最短，那么螞蟻有6種不同的走法．【分析】本題可以這樣想：因?yàn)锳點(diǎn)是相鄰的三個(gè)正方形的面的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)面各有一條最短路線(xiàn)，這樣有3種選擇，接下來(lái)再?gòu)钠渲幸粋€(gè)面到B個(gè)面又有相鄰的兩個(gè)面可供選擇，所以根據(jù)乘法原理，可得共有：3×2＝6種不同的走法；據(jù)此解答．【解答】解：根據(jù)分析可得，共有：3×2＝6（種），答：螞蟻有6種不同的走法．故答案為：6．7．（10分）每枚正方體骰子相對(duì)面的點(diǎn)數(shù)和都是7．如圖擺放的三枚骰子，你只能看到七個(gè)面的點(diǎn)數(shù)，那么你從該圖中看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和是41．【分析】此圖中共三枚正方體骰子，從上到下編為①②③．因?yàn)槊棵墩襟w骰子相對(duì)面的點(diǎn)數(shù)和都是7，即每個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和有3個(gè)7構(gòu)成．因此①看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和為7×3﹣（4+3+2）＝9；②看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和為7×3﹣（5+1）＝15；③看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和為7×3﹣（3+1）＝17．所以，從該圖中看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和為9+15+17＝41．【解答】解：①看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和為：7×3﹣（4+3+2）＝9；②看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和為：7×3﹣（5+1）＝15；③看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和為：7×3﹣（3+1）＝17．所以，從該圖中看不見(jiàn)的所有面的點(diǎn)數(shù)和為9+15+17＝41．故答案為：41．8．（10分）十個(gè)不同奇數(shù)的平方之和的最小值與這個(gè)最小值被4除的余數(shù)之差是1328．（注：相同的兩個(gè)自然數(shù)的乘積叫做這個(gè)自然數(shù)的平方，如1×1＝12，2×2＝22，3×3＝33，類(lèi)推）【分析】十個(gè)不同奇數(shù)的平方之和的最小值，即從1開(kāi)始，到19結(jié)束，求出1～19的10個(gè)不同奇數(shù)的平方之和，然后求出這個(gè)最小值被4除的余數(shù)，然后用10個(gè)不同奇數(shù)的平方之和減去這個(gè)最小值被4除的余數(shù)即可．【解答】解：12+32+52+72+92+112+132+152+172+192，＝1+9+25+49+81+121+169+225+289+361，＝1330，1330÷4＝332…2，1330﹣2＝1328；故答案為：1328．二、簡(jiǎn)答題（每題15分，共60分，要求寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程）9．（15分）商店進(jìn)了一批鋼筆，如果用零售價(jià)7元賣(mài)出20支與用零售價(jià)8元賣(mài)出15支所賺的錢(qián)數(shù)相同．那么每支鋼筆的進(jìn)貨價(jià)是多少元？【分析】我們運(yùn)用方程進(jìn)行解答較容易理解，設(shè)每支鋼筆的進(jìn)貨價(jià)是x元．（7﹣x）×20與（8﹣x）×15錢(qián)數(shù)是相等的，列方程求出進(jìn)價(jià)即可．【解答】解：設(shè)每支鋼筆的進(jìn)貨價(jià)是x元．（7﹣x）×20＝（8﹣x）×15，140﹣20x＝120﹣15x，5x＝20，x＝4；答：每支鋼筆的進(jìn)貨價(jià)是4元．10．（15分）十個(gè)互不相同的非零自然數(shù)之和等于102，那么其中最大的兩個(gè)數(shù)之和的最大值等于多少？其中最小的兩個(gè)數(shù)之和的最小值等于多少？【分析】十個(gè)互不相同的非零自然數(shù)之和等于102，當(dāng)最大的兩個(gè)數(shù)和的最大值時(shí)，其余的8個(gè)數(shù)就是應(yīng)是最小的不同的8個(gè)非零的自然數(shù)，即是1，2，3，4，5，6，7，8．據(jù)此解答．【解答】解：最大的兩個(gè)數(shù)之和的最大值是：102﹣（1+2+3+4+5+6+7+8），＝102﹣36，＝66，最小的兩個(gè)數(shù)之和的最小值是：1+2＝3．答：最大的兩個(gè)數(shù)之和的最大值等于66，其中最小的兩個(gè)數(shù)之和的最小值等于3．11．（15分）如圖是一個(gè)凈化水裝置，水流方向?yàn)閺腁先流向B，再流到C．原來(lái)容器A﹣B之間有10個(gè)流量相同的管道，B﹣C之間有10個(gè)流量相同的管道．現(xiàn)調(diào)換了A﹣B與B﹣C之間的一個(gè)管道后，流量每小時(shí)增加了30立方米．問(wèn)：通過(guò)調(diào)整管道布局，從A到C的流量最大可增加多少立方米？【分析】由于調(diào)換了A﹣B與B﹣C之間的一個(gè)管道后，流量每小時(shí)增加了30立方米可得：A﹣B和B﹣C之間的管道不一樣，應(yīng)該是其中的一組管道比另一組管道流量大，且調(diào)換一個(gè)管道流量每小時(shí)就增加30立方米，因?yàn)榱髁枯^大的一組共有10個(gè)管道，那么調(diào)換5組管道應(yīng)該是增加流量最大，據(jù)此依據(jù)增加流量＝調(diào)換管道數(shù)×一組管道增加流量即可解答．【解答】解：30×（10÷2），＝30×5，＝150（立方米），答：通過(guò)調(diào)整管道布局，從A到C的流量最大可增加150立方米．12．（15分）稱(chēng)四位數(shù)是四位數(shù)的反序數(shù)．如1325是5231的反序數(shù)，2001是1002的反序數(shù)．問(wèn)：一個(gè)四位數(shù)與它的反序數(shù)的差能等于1008嗎？如果能，請(qǐng)寫(xiě)出一例；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．【分析】設(shè)這個(gè)四位數(shù)是，它的反序數(shù)是，根據(jù)題意