第5章 隨機事件與概率

隨機事件與概率《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》同濟大學數(shù)學系

05目錄/Contents5.15.2大數(shù)定律中心極限定理目錄/Contents5.1大數(shù)定律一、切比雪夫（Chebyshev）不等式二、依概率收斂三、大數(shù)定律例1解：因為

，所以一、切比雪夫不等式定理1（切比雪夫不等式）

證明：僅給出X為連續(xù)型隨機變量的證明。一、切比雪夫不等式例2因為

，由切比雪夫不等式得一、切比雪夫不等式解例3

證明利用切比雪夫不等式得，對任意的，有一、切比雪夫不等式設隨機變量的方差，求證，服從參數(shù)為的退化分布。由的任意性知個常數(shù),使得對任意一個,或等價地那么稱

依概率收斂于,記作

設是隨機變量序列,如果存在一定義1當充分大時幾乎總是發(fā)生二、依概率收斂總有依概率收斂性具有下列性質：處連續(xù)如果，

，且函數(shù)在

例如，，則定理2二、依概率收斂定理3切比雪夫大數(shù)定律三、大數(shù)定律

因為隨機變量兩兩不相關，根據(jù)期望和方差的性質得證明三、大數(shù)定律定理4（獨立同分布大數(shù)定律）三、大數(shù)定律定理5（伯努利大數(shù)定律）三、大數(shù)定律頻率的穩(wěn)定性

在次獨立重復試驗中,設隨機變量

那么次重復試驗中發(fā)生的頻率為三、大數(shù)定律設是獨立同分布的隨機變量序列，在下列三種情況下，當時三、大數(shù)定律例4123三、大數(shù)定律解例4續(xù)三、大數(shù)定律01OPTION02OPTION03OPTION目錄/Contents5.15.2大數(shù)定律中心極限定理例5（高爾頓釘板實驗）

如圖，有一排有一個板上面有

排釘子，每排相鄰的兩個釘子之間的距離均相等。上一排釘子的水平位置恰巧位于下一排緊鄰的兩個釘子水平位置的正中間。從上端入口處放入小球，在下落過程中小球碰到釘子后以相等的可能性向左或向右偏離，碰到下一排相鄰的兩個釘子中的一個。如此繼續(xù)下去，直到落入底部隔板中的一格中。問當有大量的小球從上端依次放入，任其自由下落,問小球最終在底板中堆積的形態(tài).

設釘子有16排高爾頓釘板中心極限定理首先進行分析。小球堆積的形態(tài)取決于小球最終下落在底部隔板的位置的分布。設隨機變量X為“小球最終下落在底部隔板中的位置”。又引入隨機變量中心極限定理顯然和的分布計算是復雜的。有沒有其他的方法呢？經過試驗我們觀察發(fā)現(xiàn)小球堆積形態(tài)呈現(xiàn)出中間高兩邊低的特點，能否認為近似服從正態(tài)分布？由于中心極限定理的證明需要使用其它的數(shù)學工具，因此這里不給出證明。中心極限定理定理6（列維—林德伯格中心極限定理）

例5已知某計算機程序進行加法運算時，要對每個加數(shù)四舍五入取整。假設所有取整的誤差相互獨立，并且均服從

。（1）如果將1200個數(shù)相加，求誤差總和的絕對值超過20的概率；（2）要使誤差總和的絕對值不超過5的概率超過0.95，最多有多少個加數(shù)？中心極限定理解中心極限定理所以最多有78個加數(shù)，才能使誤差總和的絕對值不超過5的概率超過0.95。中心極限定理解例6在街頭賭博中,莊家在高爾頓釘板的底板兩端距離原點超出8格的位置放置了值錢的東西來吸引顧客，試用中心極限定理來揭穿這個街頭賭博中的騙術。-110.50.5中心極限定理解中心極限定理定理7（德莫弗—拉普拉斯中心極限定理）中心極限定理解某單位的局域網(wǎng)有100個終端,每個終端有

10%的時間在使用,如果各個終端使用與否是相互獨立的.（1）計算在任何時刻同時最多有15個個終端在使用的概率；（2）用中心極限定理計算在任何時刻同時最多有15個個終端在使用的概率的近似值；（3）用泊松定理計算在任何時刻同時最多有15個終端在使用的概率近似值。例7中心極限定理解即在任何時刻同時最多有15個終端在使用的概率為0.9601。即在任何時刻同時最多有15個終端在使用的概率近似值為0.9522.中心極限定理解即在任何時刻同時最多有15個終端在使用的概率近似值為0.9513.中心極限定理總結/summary切比雪夫不等式理解切比雪夫不等式的定義，掌握用切比雪夫不等式求解概率上界大數(shù)定律理解依