二次函數及應用(綜合復習)

二次函數及應用（綜合復習）A.二次函數知識點詳解透析一、二次函數概念：1．二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零．二次函數的定義域是全體實數．2.二次函數的結構特征：⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2．⑵是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項．二、二次函數的基本形式1.二次函數基本形式：的性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．2.的性質：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．5．二次函數的圖象與性質附圖如下：函數的圖象圖象特點函數性質①當a>O時向上無限伸展；當a<O時向下無限伸展．①自變量x的取值范圍是全體實數．②a>O時開口向上；a<O時開口向下；頂點為(－,)．②a>O時，當x=－時，y有最小值為；a<O時，當x=－時，y有最大值為．③對稱軸為x=－，a>O時，對稱軸左側圖象從左到右下降，對稱軸右側圖象從左到右上升；a<O時，對稱軸左側圖象從左到右上升，對稱軸右側圖象從左到右下降．③a>O時，當x<－時，y隨x的增大而減?。划攛>－時，y隨x的增大而增大；a<O時，當x<－時，y隨x的增大而增大；當x>－時，y隨x的增大而減?。⒍魏瘮祱D象的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．四、二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．五、二次函數圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數的性質1.當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值．2.當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為．當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。划敃r，有最大值．七、二次函數解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數，）；2.頂點式：（，，為常數，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系1.二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然．⑴當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．2.一次項系數在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．⑴在的前提下，當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．⑵在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．3.常數項⑴當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；⑵當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；⑶當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負．總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．九、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；2.關于軸對稱關于軸對稱后，得到的解析式是；關于軸對稱后，得到的解析式是；3.關于原點對稱關于原點對稱后，得到的解析式是；關于原點對稱后，得到的解析式是；4.關于頂點對稱關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是．5.關于點對稱關于點對稱后，得到的解析式是根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．十、二次函數與一元二次方程：1.二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數：①當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.②當時，圖象與軸只有一個交點；③當時，圖象與軸沒有交點.當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；3.二次函數常用解題方法總結：⑴求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；⑵求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；⑶根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；⑷二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.⑸與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數根.B.二次函數考查重點與常見題型考查二次函數的定義、性質，有關試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數y＝(m－2)x2＋m2－m－2額圖像經過原點，則m的值是綜合考查正比例、反比例、一次函數、二次函數的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內考查兩個函數的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數y＝kx＋b的圖像在第一、二、三象限內，那么函數y＝kx2＋bx－1的圖像大致是（）yyyy110xo-1x0x0xABCD考查用待定系數法求二次函數的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高，習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x＝eq\f(5,3)，求這條拋物線的解析式?？疾橛门浞椒ㄇ髵佄锞€的頂點坐標、對稱軸、二次函數的極值，有關試題為解答題，如：已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－eq\f(3,2)。（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.5．考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。【例題經典】12331DyCBAP2ExO【例1】如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線（）經過，，三點，其頂點為，連接，點是線段上一個動點（不與重合），過點作軸的垂線，垂足為，連接．12331DyCBAP2ExO（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標；（2）如果點的坐標為，的面積為，求與的函數關系式，寫出自變量的取值范圍，并求出的最大值；（3）在（2）的條件下，當取得最大值時，過點作的垂線，垂足為，坐標，并判斷點是否在該拋物線上．【分析】本大題主要考察二次函數表達式的求法，二次函數與幾何知識的運用。面廣，知識綜合性強。解：（1）設， 1分把代入，得， 2分∴拋物線的解析式為：． 4分頂點的坐標為． 5分（2）設直線解析式為：（），把兩點坐標代入，得 6分解得．∴直線解析式為． 7分， 8分∴ 9分． 10分∴當時，取得最大值，最大值為． 11分(E)12331DyC(E)12331DyCBAP2xOFMH∴四邊形是矩形．作點關于直線的對稱點，連接．作法一：過作軸于，交軸于點．設，則．在中，由勾股定理，．解得．∵，∴．由，可得，．∴．∴坐標． 13分(E)12331DyCBAP2(E)12331DyCBAP2xOFMHNM易證．∴．設，則．∴，．由三角形中位線定理，．∴，即．∴坐標．把坐標代入拋物線解析式，不成立，所以不在拋物線上． 14分【例2】已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．是否存在實數a，使得△ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．解：依題意，得點C的坐標為（0，4）．設點A、B的坐標分別為（，0），（，0），由，解得，．∴點A、B的坐標分別為（-3，0），（，0）．∴，，．∴，，．〈ⅰ〉當時，∠ACB＝90°．由，得．解得．∴當時，點B的坐標為（，0），，，．于是．∴當時，△ABC為直角三角形．〈ⅱ〉當時，∠ABC＝90°．由，得．解得．當時，，點B（-3，0）與點A重合，不合題意．〈?！诞敃r，∠BAC＝90°．由，得．解得．不合題意．綜合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈?！?，當時，△ABC為直角三角形．【課堂小結】二次函數是中考的重頭戲，綜合性強、難度大、區(qū)分度高，是歷年的壓軸題型。解這類綜合性題，必須具備較扎實的基礎知識和較熟練的應用技能，如數與式的運算和變形、方程的解法、函數的基礎以及直線型的變換等。因此，這部分內容必須多花時間，認真復習，認真探究?！咀鳂I(yè)訓練】１.拋物線y＝x2＋2x－2的頂點坐標是（D）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（C）Ａ．ab＞0，c＞0Ｂ．ab＞0，c＜0Ｃ．ab＜0，c＞0Ｄ．ab＜0，c＜0第２,３題圖第4題圖３.二次函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＞0，c＞0４.如圖，已知中，BC=8，BC上的高，D為BC上一點，，交AB于點E，交AC于點F（EF不過A、B），設E到BC的距離為，則的面積關于的函數的圖象大致為（Ｄ）５.拋物線與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為4．6.已知二次函數與x軸交點的橫坐標為、（），則對于下列結論：①當x＝－2時，y＝1；②當時，y＞0；③方程有兩個不相等的實數根、；④，；⑤，其中所有正確的結論是①③④（只需填寫序號）．7.已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為.（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線上，試確定這條拋物線的解析式；（2）過點B作直線BC⊥AB交x軸交于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線的解析式.8.有一個運算裝置，當輸入值為x時，其輸出值為，且是x的二次函數，已知輸入值為,0,時,相應的輸出值分別為5,,．（1）求此二次函數的解析式；（2）在所給的坐標系中畫出這個二次函數的圖象,并根據圖象寫出當輸出值為正數時輸入值的取值范圍.第9題9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖．請根據圖象回答：第9題⑴第一天中，在什么時間范圍內這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時間?⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時到22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式．10.如圖，拋物線經過、兩點，與軸交于另一點．yxyxOABC（2）已知點在第一象限的拋物線上，求點關于直線對稱的點的坐標；（3）在（2）的條件下，連接，點為拋物線上一點，且，求點的坐標．11.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB＝，試求m的值；（2）設C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.作業(yè)參考答案D.2.C3.D4.D5.46.7.解：（1）或將代入，得.頂點坐標