北京大學(xué)2023年數(shù)學(xué)分析考研試題解答

62023年數(shù)學(xué)分析考研試題用有限掩蓋定理證明聚點(diǎn)原理.n

，其極限點(diǎn)構(gòu)成的集合為M 111, , 231, ,

，說(shuō)明理由.IfxII上全都收n

xf1 2 1f

x0,1

0,1

f

12

0

xdx，求證存在0,1f2f.(1fxC1RI

x

1f

x，n

n

n fx n n 〔2fxC1II是有界開區(qū)間，問(wèn)Fn

Rfx，使其在Q上連續(xù)，其他點(diǎn)連續(xù).〔Q表示有理數(shù)〕廣義積分xfxdx與fxdx均收斂，證明Itxf xdx在,1上t 0 0 x 0有定義，并且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).Iydxzdyxdz，其中x2y2z21xyz0交線，x軸正向看是逆時(shí)針.0,0,0zfxy，1x y21zsinz0fxy在點(diǎn)0,0開放為帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公12 2設(shè)fxgx0,上的非負(fù)單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù)，且0

fxdx和gxdx均發(fā)散.設(shè)hxminfx,gx，試問(wèn)hxdx是否肯定發(fā)散？說(shuō)0 0北京大學(xué)2023年數(shù)學(xué)分析考研試題解答解答用“有限掩蓋定理”證明“列緊性定理{a}分析過(guò)程：設(shè) n

是一個(gè)有界的數(shù)列，我們要證明從

{a}n

中必可選出一個(gè)收斂的子列。{a}由于 n

是一個(gè)有界的數(shù)列，Aa B n1,2,可設(shè) n ， ；{a} [A,B]明顯 n 中收斂的子列的極限必屬于有限閉區(qū)間 ，也就是說(shuō)要證明[A,B]中的存在一點(diǎn)，必是某個(gè)子列的極限。

{a}是 n

(,)(0)

{a}中必有數(shù)列 n

中的無(wú)限多項(xiàng)。命題：

{a}不是 n

的任何子列的極限等價(jià)于存在0

()0

，使得I ( 0

(),0

()){a}中至多只含有數(shù)列 n 中的有限多項(xiàng)。[A,B]證明：用反證法，假設(shè)結(jié)論不真。則

中的任何一點(diǎn)

x[A,B]都不是某個(gè)子列的極限，于是存在0

(x)0，I使得

(x0

(x),x0

(x))

中至多只含有數(shù)列

{a}n 中的有限多項(xiàng)；{I :x[A,B]}明顯開區(qū)間族 x[A,B]是 的一個(gè)開掩蓋；{I依據(jù)“有限掩蓋定理”，從

:x[A,B]}

中必存在有限個(gè)開區(qū)間I ,Ix x1

,,Ixm

就能掩蓋

[A,B]；即[A,B]I I即x x1 2

Ixm，xI I1必有 x x21

Ixm

中只含有數(shù)列

{a}n

中的有限多項(xiàng)，而它又包含{a} {a}數(shù)列 n 的全部項(xiàng)，這與數(shù)列 n 是無(wú)限多項(xiàng)沖突。所以，假定不成立。原命題得證。解答不存在，由于極限點(diǎn)的集合為閉集，而M1M，而n10M.n3、設(shè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式序列fn

(xRf(x)f(x)也是多項(xiàng)式。證明由于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式序列fn

(xRf(x)，所以對(duì)任意0，存在NN*，使得當(dāng)m,nN時(shí)，有fn

(x)fm

(x)，fn

(x)fm

(x)fn

(x)fm

(x)xfn

(x)fm

(x)也趨于無(wú)窮，沖突。所以fn

(x)fm

(x)an,m

，其中{a

n,m

}為一無(wú)窮小序列。由上面結(jié)論及fn

(x是多項(xiàng)式，可知當(dāng)nN時(shí)，f(x)P(x)b，n nP(x)為某一固定的多項(xiàng)式，{b

}為某一收斂數(shù)〔由于bb a

為柯西列〕由于由條件0,及l(fā)imb

f(x)fnb，

n n m(x)f(x)P(x)b，n

n,mnn所以有f(x)P(x)b，即f(x)也是多項(xiàng)式，結(jié)論得證。4Fxe1x2fx，則由積分中值定理，存在0,，使得2F21e1x2fxdx，20Ff1F1,存在,10,1，使得0F2ff，f2f.5、證明〔1〕fC1RI是有界閉區(qū)間，Ia,b，取cabdfx在cd上全都連續(xù)，F(xiàn)xn

n f

xx

xnx1nf tdtxn1nfuxdu，0nFxfxn1nn 0

fuxdun1n0n

fxdunn1fuxfxdu，n0fx在cd上全都連續(xù)，對(duì)任意0，存在0，當(dāng)x,xc,d，xx 時(shí)，有fxfx.1 2 1 2 1 2對(duì)于上述0N，當(dāng)nN時(shí)，xa,bu0,1，有nuxcduxxu1，n從而fuxfx，F(xiàn)xfx，n即Fn

xIabfx.〔2〕fxC1II是有界開區(qū)間，F(xiàn)n

xI上不肯定全都收斂.事實(shí)上，我們有例子，1設(shè)fxlnxx0,1，fC10,1fx1limF

xfx，x0,1.x n n但不是全都收斂，這是由于 supFn 0x1

xfxF1f1 nn nnln2ln1nn1ln2 nn nn1ln20，limn n

0.2fx

1，x0,1，xfx

xfx，x0,1x2 n n supF

xfxF

1f1

n2,lim

0 。 n0x1

n nn n 2 n nFx在(0,1)上不全都收斂.n6.Qrfxn

1，n2rxrnQxrn

Qf

rfn

nr 1，n n2

fx

xQc處連續(xù)，或承受Riemann函數(shù)來(lái)說(shuō)明.7.t1,1，Itxtfxdx01xtfxdxxtfxdx0 11xt0

fxx

dxxt11

x

dx，DirichletIt在1,1上有定義，對(duì)任意11t，xtfxdx01xtfxdxxtfxdx0 1fx 11xt0

dx xt1xfx 1

xdx，x0,10xt1x1limxt1x0

0，關(guān)于t全都；x10xt1x1limxt10，關(guān)于t全都，xDirichletxtfxdx在,上全都收斂，0又0

xtfxdx

fxxtlnxfxdx1xt1lnx dxxt1lnxxfxdx0 0 x 1在,上也是全都收斂的〔證法同上面的類似，Itxtlnxfxdx在,上連續(xù)，0由于,It在1,1上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù).8.xyzx2y2z21,xyz0，3n cos,cos,cos，3StoksIxdyydzzdxcoscoscos xx

y y dSy z0dS0.9.Fxyzx1y21zsinzF0,0,00，2 2由Fx,y,z 1cosz 30， z

2 20,0,0及隱函數(shù)存在定理，知zfxy定義在0,0四周，滿足Fxy,fxy0，z0,00.11zcoszz 0由 2 x x ， 1y zcoszz 0 2 y yz0,02zx 3 y

0,00，在0,0處1z sinzz2 xx 1

2coszz 0xx2 z2

sinzzzx y

coszzxy

0 ，11z sinzz2coszz 0 2 yy y得z 0,00，zxx xy

yy0,00，zyy

0,02.3fxy在0,0的泰勒開放為fx,y2x13 3

y2ox2y2 . Sn

k!fg，fxn0gx

1 2n3 1

,SS2nS

2n2

x，x，n0

2n4!

SS

,S2n1則0

fxdxn0n0

2n1!2n2!2n3!1 ，2n3gxdx0n0n0

2n2!2n3!2n4!1 ，2n4但是hx 1

x 1

x2n3!n0

S ,S2n

2n2

2n4!

SS

,S2n1 hxn0

1 n3

S,Sn

n1

x，從而hxdx 1

，0 n0

n2n3然后再把階梯函數(shù)改造成連