2023-2024學(xué)年寧夏銀川市靈武重點中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年寧夏銀川市靈武重點中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1.直線l經(jīng)過點(2,3)，且傾斜角α=45°，則直線l的方程為(

)A.x+y?1=0 B.x?y+5=0 C.x?y+1=0 D.x?y?5=02.已知a=(1,n,?2)，b=(2,4,m)，且a//b，則A.?2 B.2 C.4 D.63.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，點M在OA上，且OM=2MA，點NA.12a?23b+124.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是(

)A.兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a=(2,3,?1)，b=(?2,?3,1)，則l1//l2

B.直線l的方向向量a=(1,?1,2)，平面α的法向量是u=(6,4,?1)，則l⊥α

C.兩個不同的平面α，β的法向量分別是u=(2,2,?1)，v=(?3,4,2)，則α⊥β5.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，點F在棱C1DA.14

B.13

C.12

6.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是線段C1DA.BD⊥AM B.平面A1BD⊥平面AD1M

C.MN/?/平面A7.如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當(dāng)BF⊥PE時，AF：FD的比值為(

)A.3

B.2

C.1

D.18.如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是棱BC、CC1的中點，動點P在正方形BCC1BA.5

B.3

C.32

9.已知直線3x+3y?6=0，則A.過點(3,?3) B.斜率為?3

C.傾斜角為60° 10.空間直角坐標系O?xyz中，已知A(1,2,?2)，B(0,1,1)，下列結(jié)論正確的有(

)A.AB=(?1,?1,3)

B.若m=(2,1,1)，則m⊥AB

C.點A關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標為11.下列命題是真命題的有(

)A.A，B，M，N是空間四點，若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面

B.直線l的方向向量為a=1,?1,2，直線m的方向向量為b=(2,1,?12)，則l與m垂直

C.直線l的方向向量為a=0,1,?1，平面α的法向量為n12.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別為DDA.B1E⊥平面AEF

B.A1G/?/平面AEF

C.B1E⊥A1G

13.若直線ax+y+1=0與直線3x?y+5=0平行，則實數(shù)a的值是______．14.已知向量a,b的夾角為π3，|a|=2,|b|=315.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，AF=λAD，若異面直線16.如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八個點，則集合{y|y=AB?AP17.已知三角形的頂點為A(?2,1)，B(3,2)，C(1,?4)．

(1)求BC邊上的中線所在直線方程；

(2)求BC邊上的高線所在直線方程．18.已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1=2，∠A1AB=∠A19.在棱長是2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點．應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．

(1)求EF的長；

(2)證明：EF/?/平面AA1D20.如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，AD⊥DC，平面SAD⊥平面ABCD，P為AD的中點，SA=SD=2，BC=12AD=1，CD=3．

(Ⅰ)求證：SP⊥AB；

(Ⅱ)求直線BS與平面SCD所成角的正弦值；

(Ⅲ)設(shè)M為SC的中點，求二面角S?PB?M的余弦值．21.四棱錐P?ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥底面ABCD，PB與底面ABCD所成的角為60°，E是PB的中點．

(1)求異面直線DE與PA所成角的余弦值；

(2)證明：OE/?/平面PAD，并求點E到平面PAD的距離．22.如圖，已知平面四邊形ABCP中，D為PA的中點，PA⊥AB，CD/?/AB，且PA=CD=2AB=4.將此平面四邊形ABCP沿CD折成直二面角P?DC?B，連接PA、PB，設(shè)PB中點為E．

(1)證明：平面PBD⊥平面PBC；

(2)在線段BD上是否存在一點F，使得EF⊥平面PBC？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：直線l傾斜角α=45°，

故k=tan45°=1，直線方程為y=x?2+3，即x?y+1=0．

故選：C．

根據(jù)傾斜角得到k=tan45°=1，代入點坐標得到直線方程．

本題主要主要考查了直線的傾斜角與斜率關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】A

【解析】解：a=(1,n,?2)，b=(2,4,m)，且a//b，

則12=n4=?2m，解得n=2，m=?4，

3.【答案】B

【解析】【分析】本題考點是空間向量基本定理，考查了向量的線性運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個基向量表示出來，屬于基礎(chǔ)題．

由題意，把OA，OB，OC三個向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運算，將MN用三個基向量表示出來，即可得到答案．【解答】

解：由題意

MN=MA+AB+BN

=13OA+OB?OA+12BC4.【答案】AC

【解析】解：因為a=(2,3,?1)，b=(?2,?3,1)，即a=?b，又因為l1，l2不重合，所以l1//l2，A正確．

因為a=(1,?1,2)，u=(6,4,?1)，所以a與μ不平行，所以l不垂直于α，B錯誤．

因為u=(2,2,?1)，v=(?3,4,2)，所以u?v=2×(?3)+2×4+(?1)×2=0，所以u⊥v，所以α⊥β，C正確．

因為a=(0,3,0)，u=(0,?5,0)，所以a=?35μ，所以a//μ，所以l⊥α，D錯誤．

故選：AC．

對于A5.【答案】C

【解析】解：如圖所示，以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立空間直角坐標系，如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為1，

則B(1,0,0),E(0,1,12),D1(0,1,1),C1(1,1,1),A1(0,0,1)，

可得BA1=(?1,0,1),BE=(?1,1,12)，

設(shè)n=(x,y,z)是平面A1BE的法向量，則n?BA1=?x+z=0n?BE=?x+y+z2=0，

令z=2，則x=2，y=1，即n=(2,1,2)6.【答案】B

【解析】解：因為A1D⊥AD1，A1D⊥C1D1，AD1?C1D1=D1，AD1，C1D1?平面AD1M，

所以A1D⊥平面AD1M，又A1D?平面A1BD，

所以平面A1BD⊥平面AD1M，故B正確；

以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

設(shè)AB=2，則B(2,2,0)，A1(2,0,2)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，N(1,2,0)，

設(shè)M(0,y,2)(0<y<2)，則DB=(2,2,0)，DA1=(2,0,2)，

設(shè)平面A17.【答案】C

【解析】解：以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，

設(shè)正方形邊長為1，PA=a，

則B(1,0,0)，E(12,1,0)，P(0,0,a)．

設(shè)點F的坐標為(0,t,0)，

則BF=(?1,t,0)，PE=(12,1,?a)．

因為BF⊥PE，所以BF?PE=0，

即?1×12+t×1+0×(?a)=0，

解得t=12，即點F的坐標為(0,12,0)，

所以F為AD的中點，所以AF：FD=1：1．

故選：C．

由線面垂直的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，可以8.【答案】C

【解析】解：分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則A(2,0,0)、E(1,2,0)、F(0,2,1)，A1(2,0,2)，

設(shè)點P(x,2,z)，其中x、z∈[0,2]，

∴EA=(1,?2,0)，EF=(?1,0,1)，A1P=(x?2,2,z?2)，

設(shè)平面AEF的法向量為n=(x1,y1,z1)，

則n?EA=x1?2y1=0n?EF=?x9.【答案】AB

【解析】解：對于直線3x+3y?6=0，當(dāng)x=3時，解得y=?3，故該直線經(jīng)過點(3,?3)，故A正確；

直線的方程轉(zhuǎn)換為y=?3x+23，故直線的斜率k=?3，故B正確；

由于直線的斜率k=?3，故直線的傾斜角為120°，故C錯誤；

當(dāng)y=010.【答案】AB

【解析】解：∵A(1,2,?2)，B(0,1,1)，

∴AB=(?1,?1,3)，A對，

點A關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標為(1,2,?2)，C錯，

|AB|=(?1)2+(?1)2+32=11，D11.【答案】ABD

【解析】解：對于A，A，B，M，N是空間四點，若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個基底，

則BA,BM,BN共面，可得A，B，M，N共面，A正確；

對于B,a?b=2?1?1=0，故a⊥b，可得l與m垂直，B正確；

對于C,a?n=0?1+1=0，故a⊥n，可得在α內(nèi)或l/?/α，C錯誤；

對于D，12.【答案】BD

【解析】解：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB=2，

則A(2,0,0)、E(0,0,1)、B1(2,2,2)、A1(2,0,2)、G(0,2,1)、F(0,1,0)，

所以AE=(?2,0,1)，AF=(?2,1,0)，B1E=(?2,?2,?1)，A1G=(?2,2,?1)，

設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,y,z)，則m?AE=?2x+z=0m?AF=?2x+y=0，

令x=1，得m=(1,2,2)．

對于A選項，由于不存在實數(shù)λ，使得B1E=λm，可得m、B1E不平行，則B1E⊥平面AEF不成立，故A錯誤；

對于B選項，因為A1G?m=0，所以A1G⊥m，且A1G?平面AEF，所以A1G/?/平面AEF，B13.【答案】?3

【解析】解：∵直線ax+y+1=0與直線3x?y+5=0平行，

故?a?3=0，

所以a=?3．

故答案為：?3．

由已知結(jié)合直線平行的條件即可直接求解．

本題主要考查了直線平行的條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．14.【答案】2【解析】解：由向量a,b的夾角為π3，|a|=2,|b|=3，

得a?b=|a||b15.【答案】13【解析】解：分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

設(shè)F(a,0,0)，因為A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，E(0,2,1)，

D1E=(0,2,?1)，A1F=(a?2,0,?2)，D1E?A1F=0+0+2=2，|D1E|=0+4+1=5，|A1F|=(a?2)2+0+4=a2?4a+8，

cos<D1E，A16.【答案】1

【解析】解：APi=AB+BPi，

則AB?APi=AB?(AB+BPi)=|AB|2+AB?B17.【答案】解：(1)∵A(2,1)，B(3,2)，C(?1,4)，BC的中點坐標(1,3)，

BC邊上的中線所在直線方程：y?1x?2=1?32?1，即2x+y?5=0．

(2)BC的斜率為：4?2?1?3=?12，

所以BC【解析】(1)求出BC的中點坐標，利用兩點式求解直線方程即可．

(2)求解BC的斜率，然后求解BC邊上的高線所在直線方程．

本題考查直線方程的求法，點斜式以及兩點式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．18.【答案】解：(1)設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，

則a?b=0，a?c=1，b?c=1，

【解析】本題考查空間向量的運算，熟練掌握空間向量的線性運算，數(shù)量積運算法則是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感和運算求解能力，屬于中檔題．

(1)設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c19.【答案】解：以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A1(2,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，D(0,0,0)，

∵E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點，∴E(2,1,0)，F(xiàn)(1,1,1)，EF=(?1,0,1)，

(1)|EF|=1+0+1=2．

(2)∵AD1=(?2,0,2)=2EF，∴EF/?/AD1，

又AD1?平面AA1D1D，EF?平面AA1D1D，

∴EF/?/平面【解析】本題考查用空間向量坐標運算求線段長，證明線面平行，證明線面垂直．用向量方法求解立體幾何問題，簡潔明了，關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，求相關(guān)點與向量的坐標．

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，求出向量EF的坐標表示，

(1)代入向量的模長公式求解；

(2)求出AD1的坐標表示，利用坐標關(guān)系判斷EF/?/AD1，再利用線面平行的判定定理證明；

(3)利用CD?EF=0，EF20.【答案】(Ⅰ)證明：在△SAD中，

∵SA=SD，P為AD的中點，∴SP⊥AD，

∵平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD，SP?平面SAD，

∴SP⊥平面ABCD，

又AB?平面ABCD，∴SP⊥AB；

(Ⅱ)解：在直角梯形ABCD中，∵AD/?/BC，BC=12AD，P為AD中點，

∴BC/?/PD，且BC=PD，則四邊形BCDP為平行四邊形，

∵AD⊥DC，∴AD⊥PB，

由(Ⅰ)可知，SP⊥平面ABCD，

所以可得SP，PA，PB兩兩垂直，

故以P為坐標原點，建立空間直角坐標系P?xyz，

則P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，S(0,0,3)，C(?1,3,0)，D(?1,0,0)，

∴BS=(0,?3,3)CD=(0,?3,0)，SD=(?1,0,?3)，

設(shè)平面SCD的一個法向量n=(x,y,z)，

由n?CD=?3y=0n?SD=?x?3z=0，取z=1，得n=(?3,0,1)；

設(shè)直線BS與平面SCD所成角為α，

則sinα=|cos<n,BS>|=|n?BS||n|?|BS|=32×6=24．

∴直線BS與平面SCD所成角的正弦值為【解析】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解線面角與面面角，屬于中檔題．

(Ⅰ)在△SAD中，由SA=SD，P為AD的中點，可得SP⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)可得SP⊥平面ABCD，從而得到SP⊥AB；

(Ⅱ)在直角梯形ABCD中，由已知可得四邊形BCDP為平行四邊形，得到AD⊥PB，由(Ⅰ)可知，SP⊥平面ABCD，故以P為坐標原點，建立空間直角坐標系P?xyz，求出平面SCD的一個法向量，則直線BS與平面SCD所成角可求；

(Ⅲ)證明AP⊥平面SBP，可得PA=(1,0,0)為平面SPB的一個法向量，求出平面MPB的一個法向量，則由兩法向量所成角的余弦值可得二面角S?PB?M21.【答案】解：(1)因為PO⊥底面ABCD，BO=OD，

所以PB=PD，

又因為PB與底面ABCD所成的角為60°，所以△PBD為等邊三角形，

因為E為PB的中點，所以PO=DE=32PD=3，

因為四邊形ABCD邊長為2的菱形，∠DAB=60°，所以△ABD為等邊三角形，即BD=2，

所以DE=3，AO=3，DF=3，

取AB的中點F，連接EF，DF，可得EF/?/PA，

所以DE與EF所成的角即為DE與PA所成的角，

則EF=12PA，PA=PO2+AO2=3+3=6，

所以EF=62，

在△DEF中，cos∠DEF=DE2+EF2?DF22DE?EF=3+32?32×3×62=24，

即異面直線DE與PA所成角的余弦值為24；

(2)證明：連接OF，

由(1)可得OF//AD，EF/?/PA【解析】(1)取AB的中點F，連接EF，DF，可得EF/?/PA，所以DE與EF所成的角即為DE與PA所成的角，由題意求出EF，DE，DF的值，由余弦定理可得兩條直線所成角的余弦值．

(2)由(1)可證得面OEF/?/面PAD，進而可證得OE/?/面PAD，進而可知E到平面PAD的距離等于O到平面PAD的距離，再由等體