2023-2024學(xué)年浙江省杭州重點學(xué)校高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年浙江省杭州重點學(xué)校高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：x+3yA.π6 B.π3 C.2π2.已知直線l的一個方向向量m=(2,?1,3)，且直線lA.0 B.1 C.32 D.3.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個商標(biāo)

中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是

(

)

A.f(x)=1|x?14.直線x+2ay?1=0A.32 B.32或0 C.0 D.?5.已知點A(3,2)，B(4,?3)A.[π3,5π6] B.6.如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=A.45°

B.60°

C.90°7.已知a>0，b>0，直線l1：x+(a?4)yA.2 B.4 C.45 D.8.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BCA.455

B.2

C.2二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法不正確的是(

)A.y?y1x?x1=k不能表示過點M(x1,y1)且斜率為k的直線方程

B.在x軸、y軸上的截距分別為10.在長方體ABCD?A′B′C′D′A.π6 B.π4 C.π311.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是A.若a=1，b=2，則A可以是π3

B.若A=π6，a=1，c=3，則b=1

C.若△A12.將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A?BD?C，如圖所示，點E，F(xiàn)A.EF⊥BC

B.四面體A?BCD的表面積為4+23

C.四面體A?三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，當(dāng)事件14.某老師從星期一到星期五收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，則該組數(shù)據(jù)的方差s2=

．15.直線l的方程為(a?2)y=(3a?116.對于銳角α，若sin(α?π12)四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b=3．

(1)若C=5π6，△AB18.(本小題12.0分)

如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=3，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠19.(本小題12.0分)

已知直線l1，l2互相垂直，且相交于點P(1,2)．

(1)若l1的斜率為2，l2與x的交點為Q，點M(a,b)在線段PQ上運動，求b?20.(本小題12.0分)

已知以點A(?1,2)為圓心的圓與直線l1：x+2y+7=0相切，過點B(?2,0)的動直線l與圓21.(本小題12.0分)

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω<16,0<φ<π2)在R上的最大值為22.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC/?/AD，CD⊥AD，PC=

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)直線的方程求出直線的斜率，可得它的傾斜角．【解答】

解：由于直線l：x+3y+1=0的斜率為?2.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了直線的方向向量，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)AB【解答】

解：AB=(?1,2?y,z?3)．

∴AB=km．

3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的識別，可從函數(shù)的性質(zhì)或特殊點(范圍)的函數(shù)取值進(jìn)行思考，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

先由函數(shù)的定義域可排除選項A和D，再由x∈(0,1【解答】

解：函數(shù)的定義域為{x|x≠±1}，排除選項A和D，

當(dāng)x∈(0,1)時，f(x4.【答案】A

【解析】【分析】利用直線平行的性質(zhì)求解．本題考查直線方程與直線平行的關(guān)系，是基礎(chǔ)題，解題時要注意直線與直線平行的性質(zhì)的合理運用．

【解答】解：∵直線x+2ay?1=0與(a?1)x+ay+1=0平行，

∴1a?1=5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了直線方程應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出直線PA、PB的斜率，即可求得直線l與線段AB【解答】

解：如圖所示，

由A(3,2)，B(4,?3)，P(0,1)，

可得斜率kPA=6.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查了異面直線及其所成的角，平移法是研究異面直線所成的角的最常用的方法，屬于基礎(chǔ)題．

先將EF平移到A【解答】

解：連接AB1，易知AB1//EF，連接B1C交BC1于點

G，取AC的中點H，連接GH，則GH//AB1//EF．

故∠HG7.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，式子的變形是解題的難點，屬于中檔題．

由題意利用直線垂直的性質(zhì)，求得a+1+2b=5，再把要求的式子變形、利用基本不等式，求得它的最小值．

【解答】解：因為l1⊥l2，所以2b+a?4=0，即a+1+2b=5．

因為a8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查線段長的最大值的求法，涉及向量模的計算，二次函數(shù)最值，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用，是中檔題．

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段B1P的長度的最大值．

【解答】

解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(a,b,0)(a?0,b?0)，則D1(0,0,2)，E(1,2,0)，B1(2,2,2)，

B1P9.【答案】BC【解析】【分析】本題考查了直線方程的幾種形式，屬于基礎(chǔ)題．

利用反例法和相關(guān)知識進(jìn)行分析、判斷．【解答】

解：A、由方程y?y1x?x1=k可知，x≠x1，即方程y?y1x?x1=k表示不過點M(x1,y1)10.【答案】AB【解析】

解：以D為原點，DA,DC,DD′分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A′(1,0,λ)，B(1,1,0)，B′(1,1,λ)，C(0,11.【答案】CD【解析】解：對選項A，1sinπ3=2sinB，解得sinB=3>1，故A錯誤；

對選項B，1=b2+3?2×b×3×32，解得b=1或b=2，故B錯誤．

對選項C，因為△ABC是銳角三角形，

所以cosA=b2+c2?a22bc>0co12.【答案】BC【解析】【分析】本題考查結(jié)構(gòu)體的表面積和它的外接球的體積計算，考查計算能力，屬于中檔題．

選項A，由空間向量可求；選項B，分別求出各個面的面積，加和即可；選項C，由側(cè)棱長相等，可轉(zhuǎn)化為正四棱錐外接球求解；選項D，找到過EF的平面，連接CD，【解答】

解：選項A，如圖，取BD中點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)如下，B(0,?2,0)，C(2,0,0)，E(22,?22,0)，F(xiàn)(0,22,22)，A(0,0,2)，

∴EF=(?22,2,22)，BC=(2,2,0)，

∴EF?BC=?22×2+2×2+22×0=1≠0，

∴EF與BC不垂直，故A錯誤；

選項B13.【答案】0.65

【解析】解：因為A，B相互獨立，所以P(AB)=P(A)?P(B)，

所以P(A∪14.【答案】3.2

【解析】【分析】本題考查求一組數(shù)據(jù)的方差．

首先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用求方差的公式，得到結(jié)果．【解答】

解：∵收到信件數(shù)分別是10，6，8，5，6，

∴收到信件數(shù)的平均數(shù)是10+6+8+5+65=7，15.【答案】[2【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線的一般式方程，分a≠2與a=2兩種情況討論，求出a的取值范圍，綜合可得答案．

本題考查直線的方程，涉及直線的斜率、截距的知識，屬于基礎(chǔ)題．

【解答】

解：根據(jù)題意，直線l的方程為：(a?2)y=(3a?1)x?1，若直線l不經(jīng)過第二象限，

當(dāng)a?2≠0時，直線方程變形為：y=3a?1a?216.【答案】?24【解析】解：∵α為銳角，∴?π12<α?π12<5π12，

∵sin(α?π12)=317.【答案】(本題滿分為12分)

解：(1)由三角形面積公式，12absinC=32，

因為C=5π6，b=3，所以a=2.(4分)

由余弦定理，c=a2+b2?2abcosC=【解析】(1)根據(jù)面積公式計算a，再利用余弦定理計算c；

(2)用正弦定理得出2a?c關(guān)于C18.【答案】解：(1)底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，E為AD中點，

則由余弦定理得BE=AB2+AE2?2AB?AE?cos60°=23，所以BE2+AE2=AB2，

則BE⊥AD，即可得BE⊥BC，則如圖所示，分別以BE、BC、BB1為x，y，z軸正方向，建立坐標(biāo)系，

則E(23,0,0)，A1(23,?2,3)，B1(0【解析】(1)根據(jù)題意分析可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)關(guān)系求解點到直線的距離；

(219.【答案】解：(1)根據(jù)題意，直線l1，l2互相垂直，且l1的斜率為2，則l2的斜率為?12，

則l2的方程為y=?12(x?1)+2，令y=0，得Q(5,0)，

代數(shù)式b?1a+1表示點M(a,b)與N(?1,1)連線的斜率，

又kPN=12，kQN=?16，

所以b?1a【解析】(1)根據(jù)題意，求出l2的斜率，即可得l2的方程，由此可得Q的坐標(biāo)，分析b?1a+1的幾何意義，結(jié)合直線斜率的計算公式可得答案；

(2)20.【答案】解：(1)由題意得r=|?1+4+7|12+22=25，

所以圓方程為(x+1)2+(y?2)2=20；

(2)由題意圓心到直線【解析】(1)求出圓心到直線l1的距離即為圓半徑，從而得圓方程；

(21.【答案】解：(1)由題意，A=2，

由f(0)=2sinφ=1，得sinφ=22，

∵0<φ<π2，∴φ=π4，

則f(x)=2sin(ωx+π4)．

又2=2sin(π8ω+π4)，∴sin(π8ω+π4)=1．

得π8ω+π4=π2+2kπ，k∈Z．

∴ω=2+【解析】(1)由題意，A=2，再由f(0)=1，求得φ，結(jié)合點(π8,2)在f(x22.【答案】(1)證明：取PA的中點M，連接BM、EM，

∵E為PD的中點，∴EM/?/AD，EM=12AD=BC，

∴四邊形BCEM為平行四邊形，

∴CE//BM，

∵CE?平面PAB，BM?平面PAB，

∴CE//平面PAB．

(2)解：∵CE//平面PAB，∴點E到平面PAB的距離即為所求．

PC=AD=2DC=2CB=2，

取AD的中點