2021年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷 全國新高考Ⅰ卷解析

2021年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試全國新高考I卷

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.設(shè)集合A={劃―2＜》＜4},8={2,3,4,5},則AI8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,則zQ+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圓錐的底面半徑為血，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()

A.2B.2V2c.4D，4X/2

函數(shù)fM=7sin(x-胃單調(diào)遞增的區(qū)間是()

4.下列區(qū)間中，

B.加C唱D信㈤

5.已知石，鳥是橢圓C:]+A=l的兩個焦點，點M在C上，則訃|M周的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

6.若tan”-2,則包*粵=()

"B.二-2n6

C.-D.一

5555

7.若過點3,加可以作曲線)，=e*的兩條切線，則()

A.eh<aB.e"<bC,0<a<e*D,0</?<ea

8.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.

甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示

事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則()

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互對立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

二、多項選擇題

9.一組樣本數(shù)據(jù)看，L,x”,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)%,L,北，其中

y.=x.+c(i=1,2,L,n),c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知。為坐標原點，點[(cosa,sina),(cos/?,-sin/?),Q(cos(a+/?),sin(a+/?)),A(l,0),

則()

IUUIDIIUUITIIUUlUIIUUUIuuuuuuuuiuuuuuiuuiuuuuuuu

=用=R用C.OAOP3=OPt-0P2D.OAOPt=OP2-OP.

11.已知點尸在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點A(4,0),3(0,2),則()

A.點P到直線AB的距離小于10B.點P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NPB4最小時，|/>8|=3&D.當(dāng)NPB4最大時，|尸8|=3五

UUUUUUUU

12.在正三棱柱48C-AAG中，48=例=1,點P滿足8P=/LBC+〃B4,其中

貝lj()

A.當(dāng)4=1時，的周長為定值

B.當(dāng)切=1時，三棱錐P-A8C的體積為定值

C.當(dāng)彳=；時，有且僅有一個點P,使得A/，8P

D.當(dāng)〃=；時，有且僅有一個點尸，使得ABL平面AgP

三、填空題

13.已知函數(shù)/(x)=d(〃.2"—2T)是偶函數(shù)，貝I」。=.

14.已知。為坐標原點，拋物線(7:丫2=2*5>())的焦點為尸，P為C上一點，P尸與x軸垂直，Q

為無軸上一點，且PQ^OP.若1尸。1=6,則C的準線方程為.

15.函數(shù)/(x)=|2x-l|-21nx的最小值為.

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為

20dmxl2dm的長方形紙，對折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們

的面積之和E=240dn?,對折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的

圖形，它們的面積之和邑=180dm2,以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為

;如果對折”次，那么名&=—dm2.

*=1

四、解答題

17.已知數(shù)列｛叫滿足4=1,瞿，

[a“+2,”為偶數(shù).

⑴記”=%，寫出4，瓦,并求數(shù)列抄“｝的通項公式；

⑵求｛叫的前20項和.

18.某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A,B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選

擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問

題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.4類問題中的每個問題回答

正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答4類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問

題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題?并說明理由.

19.記VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知4=的，點。在邊AC上，

BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b：

⑵若AD=2DC,求cos/ABC.

20.如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABDJ_平面BC。，AB=AD,。為80的中點.

(1)證明：CM1CD；

(2)若VOCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AZ)上，DE=2EA,且二面角E—8C-。的大小

為45°,求三棱錐A-BCD的體積.

21.在平面直角坐標系xQy中，已知點『-J萬,0),月(J萬,0),點例滿足|M用一|"為=2,記M

的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點7在直線x=；上，過T的兩條直線分別交C于A,8兩點和P,Q兩點，且

\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

22.己知函數(shù)/(x)=x(l-lnx).

(1)討論/。)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，匕為兩個不相等的正數(shù)，且從na-aln力=a-匕，證明：2<L+'<e.

ab

參考答案

1.答案：B

解析：AcB={2,3},選B.

2.答案：C

解析：Z=2+zz(z+0=(2-?)(2+2z)=6+2/,選C.

3.答案：B

解析：如圖設(shè)母線長為/，則兀/=2\/^兀=>/=2上.

4.答案：A

解析：/（X）單調(diào)遞增區(qū)間為：2E-二4*-四42也+二=2也一二4犬42燈1+生

26233

令％=0,故選A.

5.答案：C

解析：由橢圓定義，周=6,則周，幽[叫1]=9,故選C.

\）

6.答案：C

sin0(1+sin26)sin/sina9+cos?e+ZsinOcos?)_sin?e+sinOcos?_tan20+tan02

解析:

sin0+cos(9sin0+cossin-^+cos_0tan_6+\5

故選C.

7.答案：D

解析：

8.答案：B

解析：由題意知，兩點數(shù)和為8的所有可能為:

(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

兩點數(shù)和為7的所有可能為:

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

r.p（甲）=LP（乙）=1/=L尸（丙）=W,尸（丁）=色」

66636366

P（甲丙）=0,P（甲?。?',P（乙丙）=',尸（丙?。?0

3636

故P（甲?。?P（甲）?尸（?。?，正確，故選B.

9.答案：CD

解析：5=一24，y=-XU+c）=_Zx/+c=x+c,，A錯

n,=in,-=1n/=I

設(shè)第一組中位數(shù)為五，則第二組中位數(shù)為”=%+c,，B錯

一組醫(yī)=卜之a(chǎn)-打，二組同=\之收-刊=Rt1a一才,；.c正確

Vn/=iv〃,=iVni=\

設(shè)一組中最大為七，最小為馬，.?.極差再一勺

則二組中最大為七+c,最小為Xj+c,.?.極差%一勺，D正確

故選CD.

10.答案：AC

,------------------iuuir|------------------------

A=Jcos2a+sin2c=l,|O6|=Jcos2〃+（-sin/?）2=l,.1A正確

unn2liar

2222

=（cosa-1）+sin2a=2—2cosa?AP2=（cos/7-l）+（-sin/?）=2-2cos/?，

B錯

UllUUUUUU1uuu

OAOPy=cos（a+/3）、OPX-OP2=cosacos夕一sinasin0=cos（a+0）,?.C正確

UUUUU1uuuuuu

OAOPX=cosa，OP2OR=cosJ3-cos（a+/?）-sin/7?sin（a+￡）=cos（a+2/3）,D錯

故選AC.

11.答案：ACD

解析：直線AB的方程為2+?=1,x+2y-4=0,設(shè)圓心為M(5,5)

42

11

P到直線A8的最大距離為+4<10

故P到直線AB的距離小于10,A正確

P到直線45的最小距離為與-4<2,故B錯誤

對于C,當(dāng)NP84最小時，8P與圓M相切，此時8例=取

PB=j34-16=3人,C正確.

ZPBA最大時，PB與圓M也相切，D正確.

故選ACD.

12.答案：BD

UUIUUU1UUllULIUUU

解析：對于A,當(dāng)2=1時，BP=BC+HBB],:.CP=HBB\

此時P在線段CG上運動，此時VABf的周長不為定值，A錯.

對于B,當(dāng)〃=1時，BP=aBC+BBi=BF=aBC,此時P在線段上運動

=%,-A/C為定值，B正確.

Iutr]urnuuir

對于C,當(dāng)2=]時，BP=：BC+HBB1,分別取8C,8c的中點E,F,此時P在線段EF上運

動，要使Af_LBP,只需Af在平面BCC￡上的射影尸尸與8P垂直，it匕時尸在E或尸的位置,

有兩個P,C錯誤.

iuiruimiuur

對于D,〃=5時，BP=ABC+-BB],分別取現(xiàn)，CG的中點M,N,則P在線段MN上運

動，只需AB在平面BCCg上的射影與片P垂直，有且只有一個點P為N,滿足題

意，D正確，故選BD.

13.答案：1

解析：因為/（X）為偶函數(shù)，則f（x）=/（-x）,即/（42,-27）=—/（42-*—2。整理則有

（。一1乂2、+2-”）=0,故a=l.

3

14.答案：x=-二

2

解析：因為P尸垂直X軸，故點P坐標為又因為OPLP/則登=2=2

63

即一=2,故〃=3,則準線方程為尤=一7

P2

15.答案：1

解析：/(x)=|2x-l|-21nx>|2x-l|-2(x-l)>|2x-l|-2x-2|>|(2x-l)-(2x-2)|=l,當(dāng)x=l時,

等號成立，故/（X）最小值為1.

240〃+720

16.答案：5種;

解析：⑴易知有20dmx3dm,10dmx-dm,

5dmx3dm,—dmx6dm-dmxl2dm,共5種規(guī)

4224

格

40

(2)(2)由題可知對折2次共有&+1種規(guī)格，且面積為竽，故sl?1

?4nVfc+1V^+1imJrVA+1

則=2402一^-,-￡T?=2^—1-,貝

k=\k=\乙blN乙hl乙

*k+2n+\

一乙心+i

A=1N2,,+l

〃+3故乃=2400一空=720—240〃+720

則<=3-

~F~T

17.答案：(1)4=%=q+1=2,6=%+2=4,b2=a4=a3+\=5

"+1_%=〃2“+2_=(〃2“+i+1)_%〃=a2n+3_/“=3

..?他｝是以3為公差的等差數(shù)列，.?.％=2+5—l)x3=3〃—l

?10(2+29)-

(2)%+/+LT+。2()=------------=155

q+%+火+L+。[9—a>_]+。4-1+L+a>o_]—155—10=145

.-.S2O=155+145=3OO.

解析：

18.答案：(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分

則X的取值可能為：100,20,0,因為各題互相獨立，由分步完成原理得

P(X=100)=0.8x0.6=0.48

P(X=20)=0.8x(l-0.6)=0.32

尸(X=0)=1-0.8=0.2

列表如下：

X100200

p0.480.320.2

則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=100x0.48+20x0.32+0x0.2=54.4

(2)若小明先回答8類問題，記F為小明的累計得分.

則丫的取值可能為：100,80,0,因為各題作答互相獨立，由獨立性原理知

p(y=100)=0.6x0.8=0.48

P(Y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12

p(y=0)=1-0.6=0.4

列表如下：

Y100800

P0.480.120.4

先答8類，則y的數(shù)學(xué)期望為：￡(y)=100x0.48+80x0.12+0x0.4=57.6

由⑴知E(F)>E(X)

???小明先選第二種方案作答.

解析：

19.答案：（1）方法一：

BDsinZABC=asinC,BDb=ac.BDb=b2<BD-b

方法二:

sinCcc護

按照正弦定理，可知—9如此就有30=4?—=—=b

sinZABCbbb

(2)方法一：

UUUlLILIULIUll2^1

AD=2DC^：.BD=-BC^-BA

uun>4uun24uirimniuiro

ABD=—BC+-BABC+-BA

999

j22^2n

u——Cl~H--C~d--CICCOSD

999

9ac=4a2+c24-4<?ccosB①

ac=cr+c2-2〃ccosB②

「一,八8ac-3a24a

Sac=3〃+6accosB,cosB=------=---

6ac32c

9=4—+—+4cosB

ca

由①②知<,/.11=u6—。+3i—c

,61cA八

1=—+——2cos8

ca

1i“八43Tl

...611—+3=0,?.一二一或一

cc23

77

cosBu/或二(舍)

126

cosB——.

12

方法二：

21

AD=—b,CD=-b

33

^b2+h2-c213^-c2

cosNADB=2---------=-2---------

2.h-b4b2

33

-b2+b2-a2—Z?2-a2

cosZBDC=——----------=--------

2-bb%

33

1320

cosZ.ADB+cosABDC=0,—b~-c2H-----b~—2ci~=0

99

方法三:

這里由于NBD4+NB￡>C=180°，可以直接動用勾股差定理，可得》叫=BD2+AD2-AB2

BD2+CD2-BC2

S.AD?2bb

注意v匿KnL=7^=2,又顯然AO=J，CD=，因此如果變成a,b,c那些，則有

、VBDCLD33

b2^-b2-C22

2=7^,化簡得到1仍之=302+6/,][〃0=302+6/,i1￡=3鼻+6

22aa

h+^-a~

0

得到￡c=；2或3.

a3

這里有兩個值，看這個3作為三角形兩邊比好像挺危險的，不一定能行，驗證一下好了，假設(shè)

c=3〃好/,那么會有b=，問題是此時。+〃=(1+6)。v3〃=c,根本不成三角形，得踢掉,

只能有￡c=；2

a3

^22_h2er+-uc1〃2a7

如此就有c°swc=F^

2ac2_￡12

a

解析：

20.答案：(l)解析一：平面43￡>，平面8C￡),平面43￡>c平面3C￡>=8。

(^AB=AD,。為80中點，:.AO1BD

AOu平面MO,，4。，平面BCD,CDu平面8C3,:.AO±CD

解析二：首先，。為BD中點，加上9=4),就說明A0JL8。了，加上兩個平面垂直，會直接

得到AO_L平面BCD,那么當(dāng)然就有AO，8.

(2)解析一：取0。中點尸，QVOCD為正三角形，.?.CF_LOD

過0作OMHCF與BC交于M點、,則OM±OD

0M,OD,Q4兩兩垂直

以。為坐標原點，分別以O(shè)M,0D,04為x,y,z軸建立空間直角坐標系。一空

8(0,-1,0),Cy-,pO,0(0,1,0)

設(shè)40,01),則平面BC￡>

LIU1

???平面BCD的一個法向量為。4=(0,0,0

設(shè)平面8CE的法向量為A=(x,y,z)

|&+%=o

ruuu

n-BC=O22?

um

r42八

HBE=O_y+Tz=0

133

2r

不妨設(shè)x=G，則y=-i,z=—,貝!]〃=

二面角的大小為45°

rum

V2n-OA2

2\OA\\n\-t=i

C1-GG.CG

SVOCD=5X1*1'?=彳，.?S、BCD=

173,

^A-BCD—S'BCD.QA=—?--?]=--

326

解析二：過E作￡WJ_3。于H,再過H作“7_L8c于/.

顯然這樣會有EH，平面BCD,而這個正三角形OCD加上BO=DO,

可知BCLCD,意味著HI"CD,同時很自然的也會有國，

而二面角E-8C-。很顯然就是NE/”，這個是45°,說明EH=H7.

CHAF1.uBH=.,匚2BHHI

綜合上面的條件，會得到器=普—，然lx后二2,再然4后二=~^77=

2DH3BDCD

2

故止匕“/=￡”=—.

3

Anpr>4

同時把=*=±,得到AO=1,

EHAD2

那么就有匕.88==

332o

解析：

21.答案：（1）解析一：c=^/F7，2a=2,。=1,b=4

2

C表示雙曲線的右支，C的方程為X2-E=1（XN1）

16

解析二：基本上送分嘛，一看就雙曲線嘛，只不過雙曲線是|嗎-摩卜2,得有個絕對值，如果

沒有絕對值只能說明這是雙曲線的一支，這個雙曲線會有2a=2,兩個焦點也已經(jīng)給出，就是

F）,F2,這樣有°=而，然后匕于是乎就有雙曲線方程：/-二=1但我們只需

16

要它的右支，因此還可以進一步搞成》=?4-

⑵解析一：設(shè)嗎,"?],設(shè)直線AB的方程為：y=kA\x-^\+m9A（“J,g，%）

（16—A：）/+（#—2攵1勿2卜一；片+k、m—7?22—16=0

:.\TA\\TB\=(\+kf)x,

=（1+奸）玉毛一；（演+x）1

2+-

4

12kM_k；1

----!---7^+-

216-燈4

心幻會M+奸）.

2.iry

設(shè)即2=心，同理可得|TP||TQI=（I+《）*7

42—16

?G陽.黑=（】+劭然

=＞片_16片=片—16片

:.k；=片,Q/工為,：,%=一&2，K+自=0

解析二：我們不妨假設(shè)Z4-7B=7P-TQ=K,這個顯然用參數(shù)方程會簡單一些，令T:（g,yj,然

—一…x=-+cos^r-x=-+cos^r

后有A氏21,PQ=[22?,

力+sin即N+sin即

這其中用工名.

那么帶入C的方程，會有pl+cos即[-5±*必-=1

\011A

2

化簡得到(16COS?4-sin4)f+(16cos61-2yTsina)/一(12+%)=0

12+%

于是有K=L478=-

22

16cos0x-sin0x

12+城

同理也會有K=-

22

16cos02-sin02

222222

換句話說,有16cos0}-sin0X=16cos02-sin02,cos=cos02

既然4工“，這會說明cos，=一cos"，

當(dāng)然就有tanq=-tana，然后變成兩個斜率和為0.

這個結(jié)果其實也不難猜到，因為只要我令？：（；，0），那么顯然兩條關(guān)于x軸對稱的直線就能滿足

條件，那么當(dāng)然得有斜率和為0,而如果它要你證明這是個定值，那這個定值也必然只能是0.

解析：

22.答案：（1）解析一：/（x）=-lnx,令/'（x）=0=x=l

當(dāng)0cxe1,/(x)>0,/(x)z；當(dāng)X>1時,/(x)<0,f(x)]

解析二：因為/(x)=-lnx,故/⑴在(O,1)T,(l,y)J

,八lIn67InA11lna+1ln〃+l

(2)解析一：------=-一一,/.------=------

abbaab

令」=〃?，—=nf即證2</〃+〃<e

ab

/.m(\—\nm)=〃(1—Inn)

令f(x)=x(l—Inx),f(x)=—I