2021年下半年教師資格證考試《數(shù)學學科知識與教學能力》(初級中學)

2021年下半年教師資格證考試《數(shù)學學科知識與教學能力》(初級中學)

真題

極限lim---------」----------r的值是().

f1+3+3?+…+3?i

1［單選題］

A.0

B.2/3

C.1

D.2

正確答案：A

參考解析：

本題主要考查極限的相關知識。

.n_r"2n2

由題1+3+3?+…+3"-1自=杷23"-1=J""3"/n3="。A項正確。

B、C、D二項：與期干不符，排除。

故正確答案為A。

2［單選題］A、B兩點分別在四x?+y2-6x+16y-48=0和x?+y2

+4x-8y-44=0上運動，A、B兩點距離最大值()。

A.13

B.32

C.36

D.38

正確答案：B

參考解析：將圓x2+y2-6x+16y-48=0化成標準方程，得(x-3>+(y+8)

2=121。

所以該圓是以M(3,-8)為圓心半徑n=ll的圓。

同理可得x2+y2+4x-8y-44=0的圓心為N(-2,4),半徑0=8。

由此可知兩圓的圓心距為|MN|=13。又因為A、B兩點分別在圓M、圓N

上運動，當A、B在直線MN上，且M、N在A、B之間時|AB|達到最大值。

止匕時IAB|=r［+r2+|MN|=11+8+13=32

A01

02-10=(),求，的值

3［單選題］?0'

A.T或1

B.-1或2

C.0或1

D.0或2

正確答案：A

參考解析：暫無解析

ex,x<Q,

/W=>0,則f(x)在x=0處(

4［單選題］已知）。

A.連續(xù)

B.左連續(xù)但不右連續(xù)

C.右連續(xù)但不左連續(xù)

D.既不左連續(xù)也不右連續(xù)

正確答案：B

參考解析：暫無解析

5［單選題］

I0I

5.a,,a.,a為三■集向鼠.矩陣A=(ara.<aj,B=(a.a,,aj231,如若A|=2,

132

則|B|=（）.

A.2

B.6

C.12

D.14

正確答案：C

參考解析：暫無解析

6［單選題］已知事件A發(fā)生的概率是1/3,事件B發(fā)生的概率是1/5,

事件A和事件B同時發(fā)生的概率是1/15,則事件A和事件B同時都不發(fā)

生的概率是（）。

A.8/15

B.9/15

C.13/15

D.14/15

正確答案：A

參考解析：事件A不發(fā)生的概率為2/3,事件B不發(fā)生的概率為4/5,

則事件A和事件B都不發(fā)生的概率為2/3*4/5=8/15。

7［單選題］南宋時期數(shù)學家秦九韶在數(shù)學上的主要成就是（）。

A.二分法

B.輾轉相除法

C.大衍求一術

D,割圓術

正確答案：C

參考解析：南宋數(shù)學家秦九韶著成『數(shù)書九章』十八卷，全書共81

道題，分為九大類:大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷

類、營建類、軍旅類、市易類。其中的〃大衍求一術”在世界數(shù)學史上占

有崇高的地位。秦九韶給出了理論上的證明，并將它定名為〃大衍求一

術〃。

8［單選題］下列不能用尺規(guī)（無刻度的直尺和圓規(guī)）作圖的是（）。

A.過一點作已知直線的垂線

B.已知底邊和底邊上的高作等腰三角形

C.已知斜邊和直角邊作直角三角形

D.作任意角的三等分線

正確答案：D

參考解析：尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖。直尺的幾何作

用：作任意直線、連接任意兩點、延長任意線段。圓規(guī)的幾何作用：作

任意圓（或?。?、截取任意長度。D項三等分線不符合。

9［簡答題］

求曲線y=ln2x,直線x=l與x=5及x軸所圍成平面區(qū)域的面積。

參考解析:-I吟丑=5E*ln2-4.

10［簡答題］

已知動點P與定點A（0,0,1）的距離等于P到平面z=4距離的一半。

（1）求動點P的軌跡方程

（2）動點P的軌跡方程所表示的幾何圖形是什么？

參考解析：

］12/'2

(1)設P(z，U，z),由題"+'+51)2=臚-41化簡得§+§+亍=1.

009

----F—+—=I_

(2)軌跡334所表示的幾何圖形為橢球面.

11［簡答題］

不透明的袋子中有10個完全相同的乒兵球，分別標有數(shù)字1至I」10,從

袋中隨機摸出1個球，記錄標號后放回袋子，再隨機摸出1個球，記錄

標號后也放回袋中。

(1)求兩次摸球的標號之和是3的概率；

⑵求兩次摸球的標號之和最大是7的概率。

參考解析：(1)P=2/100=l/50

(2)21/100

12［簡答題］

列舉義務教育階段一元二次方程的三種主要解法.

參考解析：

義務教育階段一元二次方程的主要解法有①直接開平方法：用直接開平方法解形如

(x-m)2=鼠〃20)的方程，其解為x=±?+ms②配方法：用配方法將一元二次方程

渥+笈+c=0("0)配成(x-m)2=n(〃20)再利用直接開平方法求解的方法。③公式法：把

一元二次方程化成一般形式，然后計算判別式A=/_4必的值，當/_4以一0時，把各項系

數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=-'±」」-4竺(/-4⑥..0)就可得到方程的根。

2a

13［簡答題］

簡述義務教育階段統(tǒng)計內(nèi)容中數(shù)據(jù)分析的主要過程，給出描述數(shù)據(jù)集中

趨勢和離散程度的統(tǒng)計量(各寫出2個)。

參考解析?：數(shù)據(jù)分析的主要過程：收集、整理、描述、分析數(shù)據(jù)。

描述數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量：平均數(shù)，中位數(shù)、眾數(shù)。

描述數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量：極差、方差、標準差。

14［簡答題］

已知向量%=（42—2）7%=（4,4,0）1生=（一3,-1,3『￡=（4,5,—1）［

⑴證明向:捌如,心線性無關.

（2）將向量“用ai.6線性表示。

參考解析:

（1）有題意可知=8*0,即%、％、a3線性

即4=__/+2%-2a30

15［簡答題］

（1）寫出義務教務階段涉及的不等式的性質（2條即可）

（2）闡述不等式的性質與解一元一次不等式的關系，并舉例說明

參考解析：（1）不等式的性質

性質1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變。

如果a>b、那么a士c>b±c。

性質2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。如果

a>b,c>0,那么ac>be（或a/c>b/c）。

性質3：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù),不等號的方向改變。如果

a>b,c<o,那么ac〈be（或a/c<b/c。

（2）解一元一次不等式，要根據(jù)不等式的性質，將不等式逐步化為x〈a

或x>a的形式，例

如，（x+10）/2<20,利用性質2,不等式兩邊同時乘以2,可得x+10<40,

再利用性質1,不等式兩邊同時減去10,可得，x<30o

16［簡答題］

在某習題課上，老師讓學生獨立完成如下例題:

圖1

如圖1,在邊長為3的正方形ABCD中，E是BC中點，P是對角線BD上

的動點，連接PE,PC,

當BP為何值時,PE+PC的值最小?最小值是多少?大多數(shù)學生表示不會做。

教師這樣啟發(fā)：

我們回顧以前學過的“飲馬問題”：如圖2,牧馬人從A地出發(fā)，到一條

筆直的河邊飲馬，然后回到B地，牧馬人到河邊什么地方飲馬，所走的

路徑最短？

作點A關于直線的對稱點D,連接BD交直線1于點C。由于

AC+BC=BC+CD=BD,利用兩點之間

線段最短，此時點C使AC+BC最小，點c的位置即為所求。

學生:哦，會做了……

問題：

（1）給出該例題的求解過程（10分）

⑵指出該教師對學生的啟發(fā)有哪些合理和不足之處。（10分）

參考解析：（1）在CD上找C關于AD為對稱軸的點M連接EM交BD

于P,即PE+PC值最小（8-10分）

（2）合理之處：該教師注重啟發(fā)式和因材施教，以學生已有經(jīng)驗為基

礎，面向全體學生，發(fā)揮了教師的主導作用。

不合理之處：該教師直接舉例，對于學生的獨立思考和主動探索方面的

引導不夠，不利于學生在合作交流中理解和掌握數(shù)學知識與技能。（8-10

分）

17［簡答題］

下面是某教材有理數(shù)”一章中“絕對值”一節(jié)的內(nèi)容片段：

兩輛汽車從同一處。出發(fā)，分別向東、西方向行駛10km,到達A、B兩

處。它們的行駛路線相同嗎?它們的行駛路程相等嗎?

BioO10A

____二千I_.

-10o10

圖126

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作

|a|,例如，圖中A,B兩點分別表示10和-10,它們與原點的距離都

是10個單位長度，所以10和-10的絕對值都是10,即|10|=10,110|=10,

顯然|0|=0。

由絕對值的定義可知：

一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕

對值是0。即

⑴如果a>0,那么|a|二a;

(2)如果a=0,那么|a|=0;

(3)如果a<0,那么|a|=-a

根據(jù)上述內(nèi)容，完成下列任務

(1)寫出其中蘊含的主要數(shù)學思想方法；(6分)

(2)完成“絕對值〃這節(jié)課的教學設計。要求寫出教學目標、教學重點和

主要教學過程(含情境導入、概念理解、概念鞏固)。(24分)

參考解析：(1)運用了分類與整合的數(shù)學思想方法：在解某些數(shù)學

問題時，當被研究的問題包含了多種情況時，就必須抓住主導問題發(fā)展

方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問題的不同發(fā)展方向，劃分為

若干部分分別研究。這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分，由

一般化為特殊的解決問題的方法，其研究的基本方向是“分”，但分類

解決問題之后，還必須把它們整合在一起，這種“合一分一合”的解決

問題的思想，就是分類與整合思想。

(2)

1.教學目標：

(1)知識與技能目標：借助數(shù)軸學生能夠理解絕對值的概念；

(2)過程與方法目標：經(jīng)歷用數(shù)學符號表達絕對值的過程，發(fā)展學生

抽象思維，提升解決問題的能力；

(3)情感，態(tài)度與價值觀目標：體會數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系，在

學習過程中獲得成就感。

2.教學重難點：

(1)教學重點：絕對值的概念。

(2)教學難點：從絕對值的幾何定義中理解它的代數(shù)解釋。

3.