人地關系的混沌特征及其分形性質

人地關系的混沌特征及其分形性質

1人類社會系統(tǒng)與自組織系統(tǒng)的關系是耗散結構論的實踐意義人地關系是人文地理學的中心主題，也是所有地理學研究的中心主題之一。早在19世紀,德國著名地理學家李特爾(K.Ritter)在其《地學通論》著作中就已指出:“自然的一切現(xiàn)象和形態(tài)對人類的關系”乃是地理學的中心原理。他的這一論斷曾因被視為地理環(huán)境決定論的濫觴而一度遭到非議。地理環(huán)境決定論的根本失誤在于把復雜的人地非線性關系“線性”化了。早期的許多地理學者總是企圖在自然環(huán)境和人文現(xiàn)象這兩個集合之間找出要素的映射關系,即發(fā)現(xiàn)一種人文現(xiàn)象(果),便想在自然環(huán)境中找到其“原象”(因)。但是,人地之間并非簡單的單射關系,所以他們的理論很難自圓其說。人類社會是一個自組織系統(tǒng),“自組織”意味著人類社會系統(tǒng)的運行是可以自我協(xié)調的,不可能由地理環(huán)境完全決定。因而企圖在環(huán)境因素與人類行為之間建立簡單的因果對應關系必然失敗。然而,人地關系卻是客觀存在的,并且這種關系是不對稱的,即環(huán)境可以沒有人類而發(fā)展,而人類卻不可能脫離環(huán)境而存在。哈肯(H.Haken)的協(xié)同學原理表明,任何一個系統(tǒng),其控制變量只能來自環(huán)境,系統(tǒng)與外界的物質流、能量流和信息流(通稱“流”)決定著控制變量的大小。就整個人類社會而言,其環(huán)境就是地理環(huán)境,它與人類社會系統(tǒng)的關系可從耗散結構論得到啟示。普里高津(I.Prigogine)指出,系統(tǒng)的熵的改變(ds)由兩部分組成:ds=dis+des(1-1)ds=dis+des(1?1)式中dis為系統(tǒng)內部不可逆過程產生的熵變;des為系統(tǒng)與外界(環(huán)境)交換物質、能量和信息引起的熵變。由于dis≥0,故只有滿足des＞dis(1-2)des＞dis(1?2)即當系統(tǒng)從環(huán)境獲取的負熵大于系統(tǒng)內部因素引起的熵增時,才能避免系統(tǒng)陷入無序狀態(tài)而死亡。可見,地理環(huán)境是人類存在和社會發(fā)展的基礎,負熵流的大小控制著人類社會的演化。由于地球表層是一個準封閉系統(tǒng),它與宇宙環(huán)境只有能量交流,而太陽輸給地球的能量接近于一個常數(shù)I0,從而形成以下的約束條件∫des≤g(Ι0)(1-3)即人類社會從環(huán)境吸取的負熵流總量有一定限度,如果人類的索取超過其閾值,就會導致環(huán)境支持系統(tǒng)的崩潰,乃至人類文明的毀滅。因此,人類必須尋求與環(huán)境之間的綜合協(xié)調。因此,研究人地相關作用不僅能夠促使自然—人文二元合一,而且具有深刻的實踐意義。人類社會與地理環(huán)境之間的相關作用過程是復雜的非線性過程,這個過程存在著某種混沌(chaos)機制,從而導致地球表層的許多人文分形(fractal)結構。下面運用混沌理論和分形思想對人地非線性相關作用做進一步的探討。2人與地相關作用的混合特征2.1qnqn地理系統(tǒng)可以簡單地定義為由相互作用的各個地理要素所構成的綜合體。一個地理系統(tǒng)(如城市系統(tǒng))可以采用不同的數(shù)學方法進行描述。不妨象貝塔蘭菲(L.VonBertalanffy)描述一般系統(tǒng)那樣,選取一組聯(lián)立方程式進行表達。令Qi表示要素Pi(i=1,2,...,n)的某個測度,對于有限數(shù)目的要素,當處于極簡單的情況下,有如下形式:dQ1/dt=f1(Q1,Q2,...,Qn)dQ2/dt=f2(Q1,Q2,...,Qn)dQn/dt=fn(Q1,Q2,...,Qn)}(2-1)式(2-1)表明,任何一個Qi的變化都是從Q1到Qn之間所有Qj的函數(shù);反之,任何一個Qj的變化都會引起別的Qj的變化(j≠i,j=1,2,...,n),從而使整個系統(tǒng)發(fā)生變化。令n=1,即系統(tǒng)只有一種類型的元素,則式(2-1)簡化為dQ/dt=f(Q)(2-2)上式展開為泰勒(Taylor)級數(shù)dQ/dt=a1Q+a11Q2+...(2-3)當Q很小時,可以只考慮級數(shù)的第一項,此時有dQ/dt=a1Q(2-4)上式的解為Q=Q0ea1t(2-5)顯然,Q0是Q在t=0時的量。上式表明,系統(tǒng)在沒有約束條件的情況下會呈指數(shù)形式增長,式(2-5)實為指數(shù)增長曲線。但是,任何地理系統(tǒng)都不會沒有極限的增長,正如恩格斯(Engels)所說:“大自然絕不會讓一棵樹長得刺破了天”。為此考慮式(2-3)的前兩項,則有dQ/dt=a1Q+a11Q2(2-6)這是一個簡單的非線性微分方程,后面將會看到它的解是邏輯斯蒂(Logistic)曲線,這就表明系統(tǒng)在有約束的情況下,其增長是有極限的。對于人類社會而言,這種約束主要來自自然環(huán)境的生態(tài)限定。在系統(tǒng)的生成初期,由于變量很小,方程的非線性項可以忽略不計,這時可以將其增長近似地看成指數(shù)形式。但當系統(tǒng)發(fā)育到一定程度,變量較大時,非線性關系就表現(xiàn)出來。由于方程組(2-1)在地理系統(tǒng)中具有普遍意義,例如它可用于描述城市體系,故從其引申出來的非線性方程在地理系統(tǒng)分析中也具有一般性。下面以人口增長為例分析人地非線性相關作用的動力學特征。2.2邏輯斯蒂映射對于一般地理系統(tǒng)的某個變量的增長,可以用復利公式進行描述,即有簡單的迭代方程Qn+1=(1+r)Qn(2-7)這是方程(2-4)的差分形式,Qn為第n代某要素的變量值;Qn+1為第n+1代的變量值;r=(Qn+1-Qn)/Qn為增長率。利用泰勒級數(shù)關系er≈1+r,有Qn+1=Qner=Q0enr(2-8)顯然,上式與式(2-5)等價。由于實際增長的生態(tài)限定,可在式(2-7)中加上反映地理環(huán)境約束的非線性項bQ2n,并令μ=1+r,則有Qn+1=μQn-bQ2n(2-9)再令x=bQ/μ,作變量代換,可得Xn+1=μXn(1-Xn)(2-10)這便是著名的邏輯斯蒂映射。梅(L.May)的生態(tài)模型便是這種形式。當參數(shù)μ選取適當(2<μ<3)時,這種映射會逐漸趨向于一個穩(wěn)定的點(圖1),即所謂不動點(fixedpoint)。將方程(2-10)還原為式(2-6)型的微分形式,即得dx/dt=(μ-1)x-μx2(2-11)這是柏努利(Bernoully)式微分方程,其解是大家熟知的邏輯斯蒂曲線(圖2)x=[(μ-1)/μ]/{1+[(μ-1)/μxo-1]exp(1-μ)t}(2-12)當t→∞時,x→1-1/μ,即limt→∞x=1-1/μ,可見x=1-1/μ為迭代方程(2-10)的不動點。邏輯斯蒂曲線又叫生長曲線,地理系統(tǒng)中各種要素的增長都具有此曲線的特性,人口的增長過程最有代表意義。19世紀人們用式(2-7)描述人口增長,馬爾薩斯(R.Malthus)強調,人口的這種增長在現(xiàn)實中是不能成立的,它終將受到環(huán)境要素(資源、糧食等)的限制。但馬爾薩斯仍用方程(2-7)描述人口的增長。維赫斯特(Verhulst)改用方程(2-10)反映人口的增長,更為符合實際。不僅人口,一個國家的糧食單產、工業(yè)品年產量等,其增長都呈S曲線型?；叵胧?1-3)表明的環(huán)境約束,不難理解,人類社會系統(tǒng)任何要素的發(fā)展都受自然環(huán)境的制約,人口的增長受到自然的限制最能說明問題。2.3混沌過程:確定因素系統(tǒng)的探索式(2-10)雖然是最基本的、只有一個自由度的映射,卻能很好地反映人類社會系統(tǒng)與地理環(huán)境之間的相關作用,參數(shù)μ的大小反映人地關系的強弱。在人口增長過程中,μ的大小與人口增長率成正比(線性正相關),增長率的大小與人地關系的協(xié)調程度有一定關系。在一般地理系統(tǒng)中,μ具有更深刻的內涵。研究表明,隨著μ取值的變化,該模型表現(xiàn)出多種性態(tài):(1)在0≤μ<1時,Xn單調減少,當n→∞時,X∞→0,X=0是一個貧乏的不動點;(2)在1≤μ<2時,Xn單調增加,最后趨向另一不動點1-1/μ,即n→∞時,X∞→1-1/μ;(3)在2≤μ<3時,Xn以振蕩衰減的趨勢漸近于1-1/μ(圖1);(4)在3≤μ＜1+√6(=3.449)時,Xn出現(xiàn)分岔(bifurcation),進入周期2狀態(tài),即在兩個值之間來回跳動;(5)隨著μ的遞增,Xn出現(xiàn)4周期(μ=3.449),8周期(μ=3.544),16周期(μ=3.564),...,2n周期狀態(tài),這種周期倍增并非沒有止境,當μ=3.569945672...時,Xn具有一切的周期點,即進入混沌狀態(tài)。費根鮑姆(M.J.Feigenbaum)發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)進入混沌是有規(guī)律的,橫軸分岔間距按δ=limn→∞[(μn-μn-1)/(μn+1-μn)]≈4.6692呈漸近等比數(shù)列衰減,縱軸分岔寬度以Q=limn→∞dn/dn-1≈2.5029衰減(圖3)。系統(tǒng)的混沌過程為何呈δ=4.6692的規(guī)律尚待研究,但人們已經知道,混沌是確定型系統(tǒng)表現(xiàn)出的內在隨機性。線性系統(tǒng)不會出現(xiàn)混沌,混沌的動力學根源是非線性。人類社會與地理環(huán)境的相關作用過程,是復雜的非線性過程。邏輯斯蒂方程可視為人地系統(tǒng)的極端簡化形式,透過這個“窗口”可以觀察人地關系的某些法則。當控制參數(shù)μ太小時,系統(tǒng)會逐漸消亡;當μ太大時,系統(tǒng)會進入混沌狀態(tài);只有當μ取適當?shù)闹?系統(tǒng)才會漸趨穩(wěn)定。這就要求人與環(huán)境的相關作用必須保持一定的強度,唯其如此,才能維持人與環(huán)境的協(xié)調。進入混沌也許并不可怕,問題在于人類目前無法控制混沌;現(xiàn)實中又正因為人類無法控制混沌,在復雜的地理系統(tǒng)中混沌過程常常出現(xiàn)。因此,研究人地關系的混沌原理就成為必要。系統(tǒng)的混沌過程常常產生奇異吸引子(strangeattractor)。所謂吸引子是指在t→∞時,系統(tǒng)在相圖上的軌道被吸入的極限集合。最簡單的吸引子是不動點,在式(2-10)中,當Xn=1-1/μ時,Xn+1=Xn,故1-1/μ為其不動點。吸引子的產生與折疊有關,在圖1中每進行一次映射,區(qū)間[0,1]就被折疊一次,在Xn=1-1/μ時,滿足f(Xn)=Xn,這時折線被吸進一個固定的點而不再運動,表現(xiàn)在邏輯斯蒂曲線上則是1-1/μ成為曲線的一條漸近線,系統(tǒng)在此趨于穩(wěn)定狀態(tài),輸入與輸出平衡。可見不動點作為吸引子的結果是導致系統(tǒng)進入穩(wěn)定態(tài)。不動點實則零維的平庸吸引子。另有一類吸引子,其運動軌道沒有周期性,并且對初始條件很敏感,人們將這類吸引子稱為奇異吸引子。奇異吸引子具有精細的層次結構,即分形結構,其維數(shù)為分數(shù)維(fractaldimension)。第一個奇異吸引子是洛侖茲(E.N.Lorenz)在研究全球氣候模型時發(fā)現(xiàn)的,它的相圖看似貓頭鷹的面孔,分維為2.06。這種美麗的圖式激起了地理學者的無限暇想,許多地理學家正在尋找地理系統(tǒng)中的奇異吸引子。氣候在某種意義上是人地關系的中介,既然氣候系統(tǒng)中存在奇異吸引子,而人地相關作用過程又是非線性過程,可以想見,在人地相關作用系統(tǒng)中肯定有奇異吸引子的存在。由于吸引子刻畫的是系統(tǒng)行為的長遠目標,尋找奇異吸引子對于研究人地相關作用的協(xié)調機制具有重要意義。奇異吸引子的分形結構暗示了混沌與分維的關系,混沌過程常導致分形結構。實際上,人地相關作用和過程自身便具有某種分形性質。3人類相關功能的分類3.1人地合作中的地理過程混沌是自組織系統(tǒng)在時間標度上的變化模式,而分形則是空間標度上的組織模式,二者存在某種意義上的因果關系。討論人地關系的分維性質有助于理解地理系統(tǒng)的動力學機制。人類參與的地理過程可表示為如下響應形式:y=mf(x1,x2,...?xn)(3-1)式中m表示人類活動的強度;x1,x2,...,xn為一組自然投入要素;y表示輸出。求導可得dyy=dmm+nΣi=1δidxiXi(3-2)式中δi=(?y/?xi)(xi/y)(i=1,2,...,n),實為彈性公式δi=|dlny/dlnxi|(3-3)上式是分維的微分形式,可見δi具有分維意義?？梢宰C明,δi與多分形(multifractals)奇異性指數(shù)有關,因此人類參與的地理過程具有多分維性,從而人地相關作用過程也具有多分維性質。分維性質從另一個角度反映了人地關系的非線性特征。式(3-2)顯示,在人類活動過程中,各種自然要素的投入與地理系統(tǒng)的輸出形成一種秩序,這便是自相似的分形序。通過研究分維數(shù),不僅可以獲得地理系統(tǒng)的許多信息,從而預測其變化趨勢,而且這種研究在理論上有助于理解地理系統(tǒng)中眾多的人文分形景觀的形成。3.2人文地理系統(tǒng)的分形與系地球表面看起來破碎無規(guī),實則充滿了分形構造。所謂分形,系指由與整體以某種方式相似的各個部分構成的一類形體,分形的基本特征是自相似性(self-similarity)。地理世界實則是一個分形世界,從山脈、水系到城市、交通網絡、人口分布,在某種意義上都具有分形性質。分形是大自然的優(yōu)化結構,因此研究分形結構關系到人類如何合理地利用地理空間問題。那么,人文地理現(xiàn)象的分形序是如何形成的呢?首先自然地理系統(tǒng)的混沌過程創(chuàng)生了大量的自然分形景觀(如山脈、水系),自然地理背景的分形構造影響了人類活動的空間圖式,例如地表形態(tài)的分形結構肯定以某種方式規(guī)定著“流”的路徑,從而導致人類活動的空間秩序。另一方面,人地相關作用的非線性機制導致混沌過程,這種過程又具有分維性質,分維性質的混沌過程必然誘發(fā)出分形性質的空間結構。不僅如此,人文地理過程也具有分維性質,例如在一個城市體系中,城鎮(zhèn)之間的比速增長便表現(xiàn)出分數(shù)維性。所以,人文地理系統(tǒng)的分形結構與三個層次的因素有關:第一個層次是自然過程和自然結構;第二個層次是人地相關作用;第三個層次是系統(tǒng)內部要素的相關作用。自然過程和自然結構的影響通過人地相關作用體現(xiàn)出來,而要素的相關作用則以人地相關作用為運動背景。人地關系的多分維性質暗示了這