第03講 空間直線、平面的平行（解析版）

第03講空間直線、平面的平行1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b3．平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)若α∥β，a?α，則a∥β.一．直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點(diǎn)1直線與平面平行的判定例1．如圖，已知在長方體中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn).(1)求證：平面EBD；(2)求三棱錐的體積.【分析】（1），證明，然后由線面平行的判定定理可得線面平行；（2）用換底法求三棱錐的的體積．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且，則O為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，則，∵平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD；（2）在長方體中，平面，因此，.例2．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，，D為AC的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求三棱柱的表面積【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，可證得∥，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）由已知條件可得三個(gè)側(cè)面是矩形，兩個(gè)底面為直角三角形，然后根據(jù)已知的數(shù)據(jù)可求得答案【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，D為AC的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)閭?cè)棱底面ABC，所以三棱柱為直三棱柱，所以側(cè)面均為矩形，因?yàn)?，所以底面均為直角三角形，因?yàn)?，，所?所以三棱柱的表面積為例3．如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面；【分析】連接交于，連接，利用中位線性質(zhì)有，根據(jù)線面平行的判定證結(jié)論；【詳解】連接交于，連接，由為三棱柱，則為平行四邊形，所以是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，故在△中，面，面，所以平面.例4．已知在正三棱柱中，側(cè)棱長為3，H、G分別是AB，中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求此三棱柱的側(cè)面積．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，即可得到四邊形為平行四邊形，即，即可得證；（2）由（1）可得，根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)及勾股定理求出，即可求出底面邊長，再根據(jù)側(cè)面積公式計(jì)算可得；【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又是的中點(diǎn)，且三棱柱是正三棱柱，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）解：由（1）可知，所以，又，正三棱柱中側(cè)棱垂直于底面且底面是正三角形，所以，所以，即，所以棱柱的側(cè)面積例5．如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，在上滿足.(1)證明：平面PAD；(2)證明：平面FBD【分析】（1）作出輔助線，構(gòu)造平行四邊形，證明線線平行，從而證明線面平行；（2）作出輔助線，由線段成比例得到線線平行，從而得到線面平行.【詳解】(1)證明：取PD中點(diǎn)G，連接AG，EG，則因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以GE是△PCD的中位線，所以GE//CD且，又，且，所以GE//AB，且GE=AB，所以四邊形ABEG為平行四邊形，所以BE//AG，又BE平面PAD，平面PAD，所以BE//平面PAD；(2)連接AC，交BD于點(diǎn)H，因?yàn)锳B//CD，且CD=2AB，則，又PF=2AF，所以PC∥FH，又FH平面BDF，PC平面BDF，所以PC//平面BDF，【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實(shí)4等.例6．如圖，在四棱錐E-ABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），M，N分別為DE，BC的中點(diǎn)．求證：平面ABE．【分析】取EC的中點(diǎn)的F，連接MF，NF，證得，得到，利用線面平行的判定定理得到平面，同理得到平面，證得平面平面，進(jìn)而得到平面.【詳解】證明：如圖所示，取EC的中點(diǎn)的F，連接MF，NF，因?yàn)镸，F(xiàn)分別為ED和EC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可得平面，因?yàn)椋矫妫矫妫云矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平?【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)判斷或證明線面平行的常用方法①利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))．②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．③利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．④利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．(2)應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時(shí)需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線．命題點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)例7．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，中點(diǎn)，平面平面．證明：；【分析】取中點(diǎn)G，連接，，先證明四邊形為平行四邊形，再證明EF∥平面，再根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)即可證明；【詳解】取中點(diǎn)G，連接，，∵E，G分別是，中點(diǎn)，∴且，又∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴EF∥平面，∵平面，平面平面，∴．例8．如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中點(diǎn)．(1)求證：BC∥AD；(2)求證：CE∥平面PAB．【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（2）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，利用中位線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及線面平行的判斷定理即可證明．【詳解】（1）在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD．（2）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF，∵E是PD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，，又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF，∴四邊形BCEF是平行四邊形，∴EC∥FB，∵EC?平面PAB，F(xiàn)B?平面PAB，∴EC∥平面PAB．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：線面平行的性質(zhì)和判定經(jīng)常交替使用，也就是通過線線平行得到線面平行，再通過線面平行得線線平行.例9．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，過點(diǎn)和作平面，交平面于，點(diǎn)在線段上.求證：.【分析】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，推導(dǎo)出MO∥PA．從而AP∥平面BMD．由線面平行的性質(zhì)定理可證明AP∥GH．【詳解】證明：如圖，連接AC，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接MO．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn),又M是PC的中點(diǎn)，∴MO∥PA.又平面BDM，平面BDM，∴PA∥平面BDM又平面PAHG，平面PAHG平面BDM=GH，∴AP∥GH．例10．如圖，已知長方體中，，.為的中點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn).求證：；【分析】由面面平行的性質(zhì)可得平面，再由線面平行的性質(zhì)即可證結(jié)論.【詳解】由長方體的性質(zhì)知：平面平面，又面，面，又平面平面，且面，.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn).(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.二．平面與平面平行的判定與性質(zhì)例11．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面MNQ∥平面PAD；(2)求證：BC∥l．【分析】（1）由三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行和面面平行的判定，可得證明；（2）由線面平行的判定和性質(zhì)，可得證明．【詳解】（1）證明：因?yàn)镸、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)，底面ABCD為平行四邊形，所以MN∥PD，NQ∥AD，又MN?平面PAD，PD?平面PAD，則MN∥平面PAD，同理可得NQ∥平面PAD，又平面MNQ所以平面MNQ∥平面PAD.（2）證明：因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l．例12．如圖所示，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，且．求證：平面平面PAC．【詳解】證明：因?yàn)辄c(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，所以平面PAC，因?yàn)?，因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，所以平面PAC，因?yàn)椋矫鍹OE，平面MOE，所以平面平面PAC.例13．已知，點(diǎn)P是△所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)，，分別是△，△，△的重心．(1)求證：平面平面．(2)求∶的值．【分析】（1）利用面面平行判定定理即可證得平面平面；（2）利用相似三角形的相似比即可求得∶的值．【詳解】（1）如圖，連接，并延長交BC于點(diǎn)M，連接，并延長交AC于點(diǎn)N，連接，并延長交于點(diǎn)Q，連接，NQ.∵，，分別是△，△，△的重心，∴M，N，Q分別是△ABC的邊BC，AC，AB的中點(diǎn)，且＝2，∴，NQ.∵，?平面，平面，∴平面．∵NQ，平面，平面，∴B′C′平面．又∵，平面，平面，∴平面平面．（2）由（1）知，且，即.∵M(jìn)，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴．∴，∴，即∶的值為.例14．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上，，求證：平面平面.【分析】依據(jù)題給條件，利用面面平行判定定理即可證得平面平面.【詳解】在梯形ABCD中，因?yàn)锳DBC，所以=2，又=2，所以O(shè)NBCAD.又因?yàn)锳D?平面PAD，ON平面PAD，所以O(shè)N平面PAD.在△PAC中，=2，所以O(shè)MAP，又因?yàn)锳P?平面PAD，OM平面PAD，所以O(shè)M平面PAD，又因?yàn)镺M?平面OMN，ON?平面OMN，且OMON=O，所以平面MNO平面PAD.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．三．平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例15．如圖，矩形平面，平面與棱交于點(diǎn)G．求證：；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，利用面面平行的判定定理證明平面與平面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得到線線平行；【詳解】證明：矩形，，又平面，平面，平面，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，平面與棱交于點(diǎn)G，且平面，平面平面，平面平面，平面平面，故，得證;例16．如圖，在三棱柱中，若G，H分別是線段AC，DF的中點(diǎn).(1)求證：；(2)在線段CD上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面BCF，若存在，指出的具體位置并證明；若不存在，說明理由.【分析】（1）根據(jù)三角形中位線分析證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合線面、面面平行的判定定理分析證明.【詳解】（1）連接，∵為平行四邊形，由題意可得：G是線段BD的中點(diǎn)，則G，H分別是線段BD，DF的中點(diǎn)，故.（2）存在，P是線段CD的中點(diǎn)，理由如下：由（1）可知：，平面，平面，∴平面，連接，∵P、H分別是線段CD、DF的中點(diǎn)，則，平面，平面，∴平面，，面，故平面平面BCF.例17．如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3，AF＝1.(1)證明：平面ABF∥平面DCE；(2)在DE上是否存在一點(diǎn)G，使平面FBG將幾何體ABCDEF分成上、下兩部分的體積比為3∶5？若存在，求出點(diǎn)G的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【詳解】(1)證明∵DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，∴DE∥AF，又DE?平面DCE，AF?平面DCE，∴AF∥平面DCE，∵四邊形ABCD是正方形，AB∥CD，又CD?平面DCE，AB?平面DCE，∴AB∥平面DCE，∵AB∩AF＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，∴平面ABF∥平面DCE.(2)解：存在點(diǎn)G，滿足題意，理由如下：假設(shè)存在一點(diǎn)G，過G作MG∥BF交EC于M，連接BG，BM，F(xiàn)G，如圖，由VABCDEF＝VB－ADEF＋VB－CDE＝eq\f(1,3)×3×eq\f(1＋3×3,2)＋eq\f(1,3)×3×eq\f(3×3,2)＝eq\f(21,2)，設(shè)EG＝t，則VGFBME＝VB－EFG＋VB－EGM＝eq\f(21,2)×eq\f(3,8)＝eq\f(63,16)，設(shè)M到ED的距離為h，則eq\f(h,3)＝eq\f(EM,EC)＝eq\f(t,3－1)，即h＝eq\f(3,2)t，則S△EGM＝eq\f(1,2)×t×eq\f(3,2)t＝eq\f(3,4)t2，VGFBME＝VB－EFG＋VB－EGM＝eq\f(1,3)×3×eq\f(1,2)×3×t＋eq\f(1,3)×3×eq\f(3,4)t2＝eq\f(63,16)，即4t2＋8t－21＝0，解得t＝eq\f(3,2)，或t＝－eq\f(7,2)(舍)，則存在點(diǎn)G，滿足EG＝eq\f(3,2)，即G為ED的中點(diǎn)時(shí)滿足條件．例18．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq\f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請(qǐng)給出證明．【詳解】(1)證明連接CP并延長與DA的延長線交于M點(diǎn)，如圖，連接MD1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(CP,PM)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，又因?yàn)閑q\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(CP,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)解：當(dāng)eq\f(AR,AB)的值為eq\f(3,5)時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如圖，證明：因?yàn)閑q\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,RA)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,RA)＝eq\f(BP,PD).所以PR∥DA.又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR?平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.1．如果a，b是兩條異面直線，且a∥α，那么b與α的位置關(guān)系是()A．b∥αB．b與α相交C．b?αD．不確定【答案】D2．如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，分別在上，且.給出下列四個(gè)命題：①平面；②平面；③平面；④直線交于一點(diǎn).其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】依題意可得且，且，即可得到平面，再判斷與為相交直線，即可判斷②③，由四邊形為梯形，所以與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，即可得到，從而判斷④；【詳解】解：因?yàn)?，所以且，又分別為的中點(diǎn)，所以且，則，又平面，平面，所以平面，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以與為相交直線，故與平面必不平行，也不平行平面，因?yàn)闉樘菪?，所以與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，又平面，平面，則是平面與平面的一個(gè)交點(diǎn)，所以，即直線交于一點(diǎn)，故選：B.3．已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若m//，m//n，則n// B．若m//，n//，則m//nC．若m//，n，則m//n D．若m//，m，＝n，則m//n【答案】D【分析】舉例說明判斷A，B，C；利用線面平行的性質(zhì)判斷D作答.【詳解】如圖，長方體中，平面視為平面，對(duì)于A，直線AB視為m，直線視為n，滿足m//，m//n，而，A不正確；對(duì)于B，直線AB視為m，直線BC視為n，滿足m//，n//，而m與n相交，B不正確；對(duì)于C，直線AB視為m，直線視為n，滿足m//，n，顯然m與n是異面直線，C不正確；對(duì)于D，由直線與平面平行的性質(zhì)定理知，D正確.故選：D4．已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】D【分析】利用線面平行、面面平行的判定、性質(zhì)定理，依次分析即得解【詳解】選項(xiàng)A：有可能出現(xiàn)的情況；選項(xiàng)B：和有可能異面；選項(xiàng)C：和有可能相交；選項(xiàng)D：由，，得直線和平面沒有公共點(diǎn)，所以，故選：D5．已知是不同的直線，是不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若是異面直線，，，，，則B．若，，，，則C．若，，，則D．若，，則【答案】A【分析】根據(jù)空間直線、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】選項(xiàng)A，過作平面與平面交于直線，如圖，因?yàn)槭钱惷嬷本€，所以相交，又，所以，由，得，又，是內(nèi)兩相交直線，所以，A正確；選項(xiàng)B中，若，則與可能相交，B錯(cuò)；選項(xiàng)C中，中只有一條直線與平行，這兩個(gè)平面可能平行也可能相交；C錯(cuò)；選項(xiàng)D中，，，則或，D錯(cuò)．故選：A．6．若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a，b，c，…，那么這些交線的位置關(guān)系為()A．都平行B．都相交且一定交于同一點(diǎn)C．都相交但不一定交于同一點(diǎn)D．都平行或交于同一點(diǎn)【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€l∥平面α，所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥….7．如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】D【分析】由線面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)定理依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】在直三棱柱中，因?yàn)?平面,平面,所以平面，A正確；因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，B正確；取中點(diǎn),連接,因?yàn)辄c(diǎn)，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，所以,且,所以，四邊形為平行四邊形，所以,平面，平面,所以平面,C正確；取中點(diǎn),連接,可證得四邊形為平行四邊形，所以,與平面相交,所以與平面相交,D不正確；故選:D.8．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是（

）A．一定平行 B．一定相交C．平行或相交 D．以上判斷都不對(duì)【答案】C【分析】利用面面平行的判定即得.【詳解】一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，若這兩條直線相交且這兩條直線平行于另一個(gè)平面，則可得這兩個(gè)平面平行；若這兩條直線平行，則這兩個(gè)平面可能相交也可能平行；故選：C.9．如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，過BC的平面與平面PAD交于EF，E在線段PD上且異于P、D，則四邊形EFBC是（

）A．空間四邊形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形【答案】C【分析】由線面平行的性質(zhì)分析判斷即可【詳解】因?yàn)椤?，平面，平面，所以∥平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以∥，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形為梯形，故選：C10．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形【答案】B11．如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個(gè)截面，若eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(BG,GD)，則與平面EFGH平行的直線有()A．0條B．1條C．2條D．3條【答案】C【詳解】∵eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,FC)，∴EF∥AB.又EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理，由eq\f(BF,FC)＝eq\f(BG,GD)，可證CD∥平面EFGH.∴與平面EFGH平行的直線有2條.12．如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為S，AB為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C為底面圓周上的點(diǎn)，并將弧AB三等分，過AC作平面，使，設(shè)與SM交于點(diǎn)N，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行得性質(zhì)證明，再根據(jù)可得，進(jìn)而可得出答案.【詳解】連接交于點(diǎn)，連接，則平面即為平面，因?yàn)?，平面，平面，所以，因?yàn)锳B為底面圓的直徑，點(diǎn)M，C將弧AB三等分，所以，，所以且，所以，又，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)線面平行得性質(zhì)及平行線分線段成比例定理得到是解決本題得關(guān)鍵.13．如圖，空間四邊形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的一點(diǎn)，下列條件不能證明EHFG的是（）A．E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)B．，C．BD平面EFGHD．，【答案】D【分析】在每個(gè)選項(xiàng)中的條件下，利用平行線分線段定理，結(jié)合線面平行判定和性質(zhì)定理，即可得出答案．【詳解】對(duì)于A：若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點(diǎn)，則EHBD，EHBD且FGBD，F(xiàn)GBD，所以EHFG，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以EHBD，因?yàn)?，所以FGBD，所以EHFG，故B正確；對(duì)于C：若BD平面EFGH，因?yàn)锽D?平面ABD，且平面ABD∩平面EFGH＝EH，所以BDEH，因?yàn)锽D?平面CBD，且平面CBD∩平面EFGH＝FG，所以BDFG，所以EHFG，故C正確；對(duì)于D：若，，則EFAC，HGAC，所以EFHG，但EF不一定等于HG，所以四邊形EFGH不一定是平行四邊形，所以EH不一定平行于FG，故D錯(cuò)誤．故選：D．14．已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為()A．平行、平行 B．異面、平行C．平行、相交 D．異面、相交【答案】B【詳解】∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，∴EF?平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N?EF，∴由異面直線判定定理得直線MN與直線EF是異面直線；取A1C1的中點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖，則PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵M(jìn)N?平面PMN，∴直線MN與平面ABB1A1平行．15．（多選）如圖所示，在平行六面體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則以下說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可證明，由此可判斷A、C、D選項(xiàng)；根據(jù)與平面相交，平面//平面可知與互不平行，由此可判斷B選項(xiàng).【詳解】連接MP，因?yàn)椋瑒e為棱，中點(diǎn)，所以MP//AD且因?yàn)闉槠叫辛?，所以且，所以且，故為平行四邊形，，故A正確；因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?；同理平面，故C、D正確因?yàn)榕c平面相交，且平面//平面，所以與平面相交，又因?yàn)槠矫嫦嘟?，所以與互不平行.故B錯(cuò)誤故選：ACD16．（多選）已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法不正確的為（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則或D．若，，則或【答案】AB【分析】根據(jù)線面平行的判定及性質(zhì)，以及面面平行的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，若，，可得與可能平行或異面，所以A不正確；對(duì)于B，若，，可得與可能平行、相交或異面，所以B不正確；對(duì)于C中，若，，當(dāng)時(shí)，可得，或者，所以C正確；對(duì)于D中，若，，根據(jù)線面平行的判定定理，可得或，所以D正確.故選：AB.17．（多選）關(guān)于直線及平面，下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)空間中線面位置的判定和性質(zhì)，判斷選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確.【詳解】對(duì)于，若，則或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則存在直線，使得，且，則，故，故正確；對(duì)于，若，，則，或，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，可能有，可能有，可能與只相交不垂直，不能得到，故D錯(cuò)誤.故選：ACD．18．（多選）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線與平面平行的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】利用線面平行判定定理逐項(xiàng)判斷可得答案．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關(guān)系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于AB∥CD∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；故選：BCD19．在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．【答案】平面ABC，平面ABD【詳解】如圖，連接AM并延長交CD于點(diǎn)E，連接BN并延長交CD于點(diǎn)F，由重心性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合，且E為CD的中點(diǎn)，∵eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,BN)＝eq\f(1,2)，∴MN∥AB，又AB?平面ABD，MN?平面ABD，∴MN∥平面ABD，又AB?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC.20．設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________(填序號(hào))．【答案】①或③【詳解】由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)m∥γ，n∥β時(shí)，n和m可能平行或異面，②錯(cuò)誤；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，所以m∥n，③正確．21．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.【答案】Q為CC1的中點(diǎn)【詳解】如圖所示，設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.連接DB，因?yàn)镻，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，D1B，QB?平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.22．在三棱錐P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長為________．【答案】8【詳解】如圖，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(平面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周長為2×4＝8.23．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為P3A，P2D，P4C，P4B的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面五個(gè)結(jié)論：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②③④【詳解】先把平面展開圖還原為一個(gè)四棱錐，如圖所示．①∵E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)，∴EF∥AD，GH∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥GH，∴EF，GH確定平面EFGH，∵EF?平面EFGH，AD?平面EFGH，∴AD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，平面EFGH∥平面ABCD，所以①正確；②連接AC，BD交于O點(diǎn)，則O為AC的中點(diǎn)，連接OG，G為PC的中點(diǎn)，∴OG∥PA，OG?平面BDG，PA?平面BDG，∴PA∥平面BDG，∴②正確；③同②同理可證EF∥平面PBC，∴③正確；④同②同理可證FH∥平面BDG，∴④正確；⑤EF∥GH，GH與平面BDG相交，∴EF與平面BDG相交，∴⑤不正確．24．如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.【答案】eq\f(2\r(2),3)a【詳解】∵M(jìn)N∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2)a,3).25．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，F(xiàn)為對(duì)角線與的交點(diǎn)，E為棱的中點(diǎn)．證明：平面．【分析】由中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證．【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌鏋檎叫?，為?duì)角線與的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)，可得，又平面，平面，可得平面；26．直三棱柱中，為正方形，，，M為棱上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為AC、CM的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)當(dāng)點(diǎn)M為中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）取BC中點(diǎn)為，連接，，由面面平行的判斷定理證明平面平面，從而即可證明平面；（2）證明平面，即平面，從而有，根據(jù)三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（1）證明：取BC中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)辄c(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面；?）因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，所以，又為正方形，，，所以，且，，，又，所以平面，即平面，所以?dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積.27．如圖，已知P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是的三等分點(diǎn)（M靠近B，N靠近C）；(1)求證：平面．(2)在上確定一點(diǎn)Q，使平面平面．【分析】（1）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，證得證得四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解；（2）取取一點(diǎn)，使得，證得，得到平面，結(jié)合（1）中平面，利用面面平行的判定定理，證得平面平面．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，可得，又因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，可得，因?yàn)榍遥郧?，所以四邊形為平行四邊形，所以，又由平面，平面，所以平?（2）證明：取取一點(diǎn)，使得，即點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等點(diǎn)，在中，因?yàn)榉謩e為的三等分點(diǎn)，可得，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；又由?）知平面，且，平面，所以平面平面，即當(dāng)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等點(diǎn)時(shí)，能使得平面平面．28．如圖，在三棱柱中，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得A，再根據(jù)線面平行的判定可得B即可；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可【詳解】（1）證明：因?yàn)?，分別為線段的中點(diǎn)所以A.因?yàn)椋訠.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得，平面，又因?yàn)椋?，平面，所以平面平面故在線段上存在一點(diǎn)，使平面平面．29．如圖，正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，.(1)求點(diǎn)C到平面的距離；(2)試判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)；(2)平行，證明過程見解析.【分析】（1）利用等體積法即可求解；（2）利用線面平行的判定即可求解.【詳解】（1）解：正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，所以，，正三棱柱中，所以又因?yàn)檎庵?，?cè)面平面且交線為且平面中，所以平面又平面所以設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為在三棱錐中，即所以點(diǎn)C到平面的距離為.（2）與平面的位置，證明如下：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示，因?yàn)檎庵膫?cè)面為矩形所以為的中點(diǎn)又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以為的中位線所以又因?yàn)槠矫?，且平面所以平?0．如圖：已知三棱柱中，D為BC邊上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，且∥平面．證明：平面平面．【答案】證明見解析【分析】連接與交于點(diǎn)，由線面平行的性質(zhì)定理可得，從而為中點(diǎn)，進(jìn)而可得四邊形為平行四邊形，，由線面平行的判定定理得平面，再利用面面平行的判定定理證得結(jié)論.【詳解】連接與交于點(diǎn)，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，又為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面．又平面,，平面所以平面平面．31．如圖，多面體是由棱長為3的正方體沿平面截去一角所得到，在棱上取一點(diǎn)E，過點(diǎn)，C，E的平面交棱于點(diǎn)F．求證：．【分析】由題意，可得∥平面，由線面平行的性質(zhì)定理可得，從而證得結(jié)論；【詳解】∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴∥平面，又平面，平面平面，∴，又，則.32．如圖，四棱錐中，底面為矩形，為棱上一點(diǎn)（不與、重合），平面交棱于點(diǎn)．求證：.【答案】證明見解析【分析】證明出平面，利用線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以?33．已知四棱錐的底面是正方形，平面．設(shè)平面平面，求證：；【答案】證明見解析【分析】由得線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行；【詳解】證明：因?yàn)樗睦忮F底面是正方形，所以，平面，平面，所以平面，而平面平面，平面，所以．34．在正四棱錐中，已知，，，分別為，的中點(diǎn)，平面平面．求證：．【分析】連接，即可得到，從而得到平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可得證；【詳解】證明：連接，∵，分別為，的中點(diǎn)，即是三角形的中位線，∴又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴35．如圖，直三棱柱中，，，．證明：平面．【分析】取中點(diǎn)為，連結(jié).可證明四邊形是平行四邊形，得出，，結(jié)合三棱柱的性質(zhì)可推得四邊形是平行四邊形，，然后判定平面.同理可推出平面，然后判定平面平面.最后根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，即可得出證明.【詳解】如圖1，取中點(diǎn)為，連結(jié).由三棱柱的性質(zhì)可知，，，，.因?yàn)?，，所以?又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又，所以四邊形是平行四邊形，所以，，，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，平面，平面，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以平?36．如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．求證：平面AMB//平面DNC.【分析】由線面平行的判定可證MB//面DNC、MA//面DNC，再用面面平行的判定證結(jié)論.【詳解】因?yàn)镸B//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC．因?yàn)锳MND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC．又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC．37．在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED=2∶1，M為PE的中點(diǎn)，在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使平面BFM∥平面AEC?證明你的結(jié)論.【答案】存在，證明見解析【分析】若平面BFM∥平面AEC，由面面平行的性質(zhì)定理可得，從而得是中點(diǎn)，因此當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，證明平面BFM∥平面AEC即可．【詳解】當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，平面BFM∥平面AEC.因?yàn)镸是PE的中點(diǎn)，所以FM∥CE.因?yàn)镕M?平面AEC，CE?平面AEC，所以FM∥平面AEC.由EM=PE=ED，得E為MD的中點(diǎn)，連接BM，BD，如圖所示，設(shè)BD∩AC=O，則O為BD的中點(diǎn).連接OE，則BM∥OE.因?yàn)锽M?平面AEC，OE?平面AEC，所以BM∥平面AEC.因?yàn)镕M?平面BFM，BM?平面BFM，且FM∩BM=M，所以平面BFM∥平面AEC.38．如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的直徑．(1)弦上是否存在點(diǎn)，使得∥平面，請(qǐng)說明理由；(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)存在；理由見解析;(2)【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，平面，根據(jù)面面平行的判定定理、性質(zhì)定理分析證明；（2）利用等體積法，則即可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面，證明如下：取的中點(diǎn)，連接，，分別為，的中點(diǎn)，則，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，，，平面，平面平面，由于平面，故平面．（2）中，，，則，可得，中，，則，中，，則，中，,則，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法得：，即，解得．所以點(diǎn)到平面的距離為.39．已知，分別是圓柱上、下底面圓的直徑，圓柱的高與的長相等，均為2.且異面直線與所成的角為，分別為上?下底面的圓心，連接，過作圓柱的母線，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求圓柱挖去三棱錐后的幾何體的體積.【答案】(1)證明見解析;(2)【分析】（1）連接，由已知可推得，，然后根據(jù)線面平行的判定定理可推得平面，平面.然后根據(jù)面面平行的判定定理，即可得出平面平面.然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，即可得出證明；（2）過作圓柱的母線，連接，即可找出線線角或其補(bǔ)角，然后根據(jù)已知，可知.然后證明平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得出點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離均為.然后根據(jù)以及圓柱的體積，即可得出答案.【詳解】（1）如圖1，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.因?yàn)槭菆A柱的母線，是圓柱的高，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，平面，平面，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以平?（2）如圖2，過作圓柱的母線，連接，則，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），故或.又，故，則，所以為等邊三角形.連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，平面平?因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離，即等于點(diǎn)到平面的距離.又平面平面，平面，所以，點(diǎn)到平面的距離，即等于點(diǎn)到直線的距離.取中點(diǎn)為，連結(jié)，則，所以，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，點(diǎn)到平面的距離為.同理可得，點(diǎn)到平面的距離為.又，所以.因?yàn)閳A柱的體積為，故圓柱挖去三棱錐后的幾何體的體積.40．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合）.作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；【答案】作圖見解析，證明見解析【分析】通過延伸平面內(nèi)的直線來作出平面與平面的交線，通過面面平行的性質(zhì)定理證得、，由此證得.【詳解】如圖，延長交的延長線于，連接交于，則所在的直線即為平面與平面的交線.證明：∵平面平面，平面平面，平面平面，∴.又∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴.41．如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，E在棱AD上，且AE＝1，若平面CEF與棱PD相交于點(diǎn)F，且平面CEF∥平面PAB.(1)求eq\f(PF,FD)的值；(2)求點(diǎn)F到平面PBC的距離．【詳解】(1)∵平面CEF∥平面PAB，且平面CEF∩平面PAD＝EF，平面PAB∩平面PAD＝PA，∴PA∥EF，又AE＝1＝eq\f(1,3)AD，∴PF＝eq\f(1,3)PD，∴eq\f(PF,FD)＝eq\f(1,2).(2)∵F為PD的三等分點(diǎn)，∴F到平面PBC的距離等于D到平面PBC的距離的eq\f(1,3)，設(shè)D到平面PBC的距離為h，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又∵BC∥AD，AB⊥AD，∴BC⊥AB，∵PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，由等體積法得VD－PBC＝VP－BCD，即eq\f(1,3)S△PBC·h＝eq\f(1,3)S△DBC·PA，∵PA＝AB＝2，AD＝3BC＝3，∴PB＝2eq\r(2)，BC＝1，∴S△PBC＝eq\f(1,2)PB·BC＝eq\r(2)，S△DBC＝eq\f(1,2)BC·AB＝1，∴h＝eq\r(2)，∴F到平面PBC的距離等于eq\f(\r(2),3).42．小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識(shí)可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出．【詳解】（1）如圖所示：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切?，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）[方法一]：分割法一如圖所示：分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍．因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，所以該幾何體的體積．[方法二]：分割法二如圖所示：連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積43．在如圖所示的多面體AFDCBE中，平面BCE，，，，，．在線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得平面AFC？如果存在，請(qǐng)指出G點(diǎn)位置并證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】先找到G點(diǎn)位置，由面面平行證明線面平行.【詳解】存在，點(diǎn)為中點(diǎn)，理由如下：取線段AB的中點(diǎn)H，連接EH、HG、EG．∵，，∴四邊形AHEF是平行四邊形，∴．又∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC．∵H、G分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴HG是的中位線，∴．∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC．∵，HG、平面EHG，∴平面平面AFC．∵平面EHG，∴平面AFC．44．兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，過M作于H，求證：(1)平面平面BCE；(2)平面BCE.【分析】（1）由線面平行的判定推證平面，再借助比例式推平行得，利用線面、面面平行的判定推理作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合面面平行的性質(zhì)推理作答.【詳解】（1）在正方形ABCD中，，，則，又平面，平面，因此平面，由，得