高中數(shù)學(xué)必修五第二章《數(shù)列》知識(shí)點(diǎn)歸納及單元檢測(cè)題

數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)數(shù)列的定義：（1）按一定次序排成的一列數(shù)(2)數(shù)列可以看作是項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)f(n)=an,其定義域?yàn)檎麛?shù)集或它的子集。二、數(shù)列的分類：1、按項(xiàng)數(shù)分類：有窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列2、按增減性分類：遞增數(shù)列——對(duì)于任何nN+，具有>遞減數(shù)列——對(duì)于任何nN+，具有<擺動(dòng)數(shù)列常數(shù)數(shù)列3、按是否有界分類：有界數(shù)列——MN+，使M無(wú)界數(shù)列——MN+，總有M三、數(shù)列的表示法1、解析法（公式法）通項(xiàng)公式或遞推公式2、列表法：3、圖象法:數(shù)列可用一群孤立的點(diǎn)表示四、通項(xiàng)公式五、數(shù)列的前n項(xiàng)和六、遞推公式七、等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義-=d=q(q0)通項(xiàng)公式=+（n-1）d=(q0)遞推公式=+d,=+(n-m)d=q=中項(xiàng)A=推廣：A=（n,kN+;n>k>0）。推廣：G=（n,kN+;n>k>0）。任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac＞0，則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè)前n項(xiàng)和=（+）=n+d==性質(zhì)（1）若，則（2）數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為；（3）若三個(gè)成等差數(shù)列，可設(shè)為（4）若是等差數(shù)列，且前項(xiàng)和分別為，則（5）為等差數(shù)列（為常數(shù)，是關(guān)于的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)）（6）d=(mn)(7)d>0遞增數(shù)列d<0遞減數(shù)列d=0常數(shù)數(shù)列（1）若，則（2）仍為等比數(shù)列,公比為八、判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：1、數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：=1\*GB3①=2\*GB3②2()=3\*GB3③(為常數(shù)). 2、數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：=1\*GB3①=2\*GB3②(，)=1\*GB3①=3\*GB3③(為非零常數(shù)).=4\*GB3④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}（）成等比數(shù)列.九、求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法1、給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式——觀察法。例1、分別寫(xiě)出下面數(shù)列{}的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前４項(xiàng)分別是下列各數(shù)。（１）１，３，５，７，…，(２)１,２,１,２,…,(３)２,２２,２２２,２２２２,…,2、通項(xiàng)公式法3、涉及前ｎ項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)公式，利用an與Sn的基本關(guān)系式來(lái)求。即例２、在數(shù)列｛an｝中，Sn表示其前ｎ項(xiàng)和，且Sn=n2,求通項(xiàng)an.ａｎ＝２ｎ－１(ｎ≥１).例３、在數(shù)列｛ａｎ｝中，Ｓｎ表示其前ｎ項(xiàng)和，且Ｓｎ＝２－３ａｎ,求通項(xiàng)ａｎ.4、已知遞推公式（初始條件與遞推關(guān)系），求通項(xiàng)公式。（１）待定系數(shù)法。若題目特征符合遞推關(guān)系式ａ１＝Ａ,ａｎ＋１＝Ｂａｎ＋Ｃ(Ａ,Ｂ,Ｃ均為常數(shù)，Ｂ≠１,Ｃ≠０)時(shí)，可用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求其通項(xiàng)公式。例４、已知數(shù)列｛ａｎ｝滿足ａ１＝４,ａｎ＝３ａｎ－１－２,求通項(xiàng)ａｎ.（２）逐差相加法。若題目特征符合遞推關(guān)系式ａ１＝Ａ(Ａ為常數(shù))，an+1=an+f(n)時(shí)，可用逐差相加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例５、在數(shù)列{an}中，a1=3,an+1=an+2n,求通項(xiàng)an.（3）逐比連乘法。若題目特征符合遞推關(guān)系式a1=A（A為常數(shù)）,an+1=f(n)·an時(shí)，可用逐比連乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例6、在數(shù)列{an}中，a1=3,an+1=an·2n,求通項(xiàng)an.（4）倒數(shù)法。若題目特征符合遞推關(guān)系式a1=A,Ban+Can+1+Dan·an+1=0(A,B,C,D均為常數(shù))時(shí)，可用倒數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例7、在數(shù)列{an}中，已知a1=1,an+1=,求數(shù)列的通項(xiàng)an.（5）歸納法。這是一種通過(guò)計(jì)算、觀察、歸納規(guī)律，進(jìn)而猜想、驗(yàn)證（證明）的思維方法，是一種普遍適用的方法。在前面所有的問(wèn)題中，只要轉(zhuǎn)化為遞推公式，就可以由初始條件逐次代入遞推關(guān)系，觀察計(jì)算結(jié)果，直到看出規(guī)律為止。例9、在數(shù)列{an}中，a1=3,an+1=an2,求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.十、求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法1、、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：[例1]已知，求的前n項(xiàng)和.[例2]設(shè)Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.2、錯(cuò)位相減法求和：這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.[例3]求和：………①[例4]求數(shù)列前n項(xiàng)的和.3、倒序相加法求和：這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個(gè).[例5]求的值4、分組法求和：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.[例6]求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…[例7]求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.5、裂項(xiàng)法求和：這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)[例9]求數(shù)列的前n項(xiàng)和.[例10]在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.[例11]求證：6、合并法求和：針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.[例13]數(shù)列{an}：，求S2002.[例14]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.7、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和：先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.[例15]求之和.[例16]已知數(shù)列{an}：的值.十一、在等差數(shù)列｛｝中,有關(guān)Sn的最值問(wèn)題：(1)當(dāng)>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng)<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用十二、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的常見(jiàn)應(yīng)用題：=1\*GB2⑴生產(chǎn)部門(mén)中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問(wèn)題.例如，第一年產(chǎn)量為，年增長(zhǎng)率為，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為.其中第年產(chǎn)量為，且過(guò)年后總產(chǎn)量為：=2\*GB2⑵銀行部門(mén)中按復(fù)利計(jì)算問(wèn)題.例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的元過(guò)個(gè)月后便成為元.因此，第二年年初可存款：=.=3\*GB2⑶分期付款應(yīng)用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清；為年利率.1.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若等于

（D）A．18

B．36

C．54

D．722.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，其公比，且，若，，則（B）A．B．C．

D．或3.在等差數(shù)列{a}中，3（a+a）+2（a+a+a）=24，則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和為

(

D)

A．156

B．13

C．12

D．264.已知正項(xiàng)等比數(shù)列數(shù)列{an}，bn=logaan,則數(shù)列{bn}是

（A

）A、等比數(shù)列

B、等差數(shù)列

C、既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D、以上都不對(duì)5.數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，并且是等比數(shù)列的相鄰三項(xiàng)，若，則等于

（B）A.

B.

C.

D.

6.數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000項(xiàng)的值是

（

B）A.42

B.45

C.48

D.517.一懂n層大樓，各層均可召集n個(gè)人開(kāi)會(huì)，現(xiàn)每層指定一人到第k層開(kāi)會(huì)，為使n位開(kāi)會(huì)人員上下樓梯所走路程總和最短，則k應(yīng)取

（D）Ａ．ｎＢ．（ｎ—１）

Ｃ．（ｎ＋１）Ｄ．ｎ為奇數(shù)時(shí)，ｋ＝（ｎ—１）或ｋ＝（ｎ＋１），ｎ為偶數(shù)時(shí)ｋ＝ｎ8.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（B

）A.S4＜S5

B.S4＝S5

C.S6＜S5

D.S6＝S59.等比數(shù)列的首項(xiàng),前項(xiàng)和為若，則公比等于

(

B)

C.2

D.－210.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S6=36，Sn=324，Sn－6=144（n＞6），則n等于（

D）A．15

B．16

C．17

D．1811.已知，（），則在數(shù)列｛｝的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是（C）A.

B.

C.

D.12.已知：，若稱使乘積為整數(shù)的數(shù)n為劣數(shù)，則在區(qū)間（1，2002）內(nèi)所有的劣數(shù)的和為

（

A）A．2026

B．2046

C．1024

D．102213.在等差數(shù)列中，已知a1+a3+a5=18，an-4+an-2+an=108，Sn=420，則n=

___20___.14.在等差數(shù)列中，公差，且，則（k∈N+，k≤60）的值為

________7________.15.已知?jiǎng)t通項(xiàng)公式____________

.16.已知，則;

17.若數(shù)列前n項(xiàng)和可表示為，則是否可能成為等比數(shù)列？若可能，求出a值；若不可能，說(shuō)明理由．因的前n

項(xiàng)和，故=,，an=2n+a－2n－1－a=2n－1()．要使適合時(shí)通項(xiàng)公式，則必有，此時(shí)，

，故當(dāng)a=－1時(shí)，數(shù)列成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，時(shí)，不是等比數(shù)列

18.設(shè){an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分別求出{an}及{bn}的前n項(xiàng)和S10及T10.【解】

∵{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，∴a2+a4=2a3,b2·b4=b32,已知a2+a4=b3,b2·b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32,

得b3=2b32,∵b3≠0,∴b3=,a3=.由a1=1,a3=，知{an}的公差d=－,∴S10=10a1+d=－.由b1=1,b3=,知{bn}的公比q=或q=－,

19.已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，且S3，S9，S6成等差數(shù)列求證：a2,a8,a5也成等差數(shù)列【解】（1）S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1,而a1≠0，所以S3，S9，S6不可能成等差數(shù)列……2分所