第十章 雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計(jì)-社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)

第十章雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計(jì)我們?cè)谡莆樟藛螛颖緳z驗(yàn)與估計(jì)的有關(guān)方法與原理之后，把視野投向雙樣本檢驗(yàn)與估計(jì)是很自然的。雙樣本統(tǒng)計(jì)，除了有大樣本、小樣本之分外，根據(jù)抽樣之不同，還可分為獨(dú)立樣本與配對(duì)樣本。

獨(dú)立樣本,指雙樣本是在兩個(gè)總體中相互獨(dú)立地抽取的。配對(duì)樣本，指只有一個(gè)總體，雙樣本是由于樣本中的個(gè)體兩兩匹配成對(duì)而產(chǎn)生的。配對(duì)樣本相互之間不獨(dú)立。10/25/20231第一節(jié)兩總體大樣本假設(shè)檢驗(yàn)

為了把單樣本檢驗(yàn)推廣到能夠比較兩個(gè)樣本的均值的檢驗(yàn)，必須再一次運(yùn)用中心極限定理。下面是一條由中心極限定理推廣而來(lái)的重要定理：如果從和兩個(gè)總體中分別抽取容量為n1和n2的獨(dú)立隨機(jī)樣本，那么兩個(gè)樣本的均值差的抽樣分布就是。與單樣本的情況相同，在大樣本的情況下(兩個(gè)樣本的容量都超過(guò)50)，這個(gè)定理可以推廣應(yīng)用于任何具有均值μ1和μ2以及方差和

的兩個(gè)總體。當(dāng)n1和n2逐漸變大時(shí)，的抽樣分布像前面那樣將接近正態(tài)分布。10/25/202321．大樣本均值差檢驗(yàn)

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)或（3）否定域：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（5）比較判定10/25/20233對(duì)均值差異進(jìn)行比較，如果是大樣本就是Z檢驗(yàn)法，小樣本就是t檢驗(yàn)法。二者都同時(shí)要求：①樣本是隨機(jī)樣本②每個(gè)總體都是正態(tài)分布的③數(shù)據(jù)是定距及以上層次的變量。如果所研究的只有兩個(gè)樣本，也可以用方差分析法（analysisofvariance，簡(jiǎn)稱(chēng)ANOVA，也稱(chēng)為F檢驗(yàn)法）來(lái)檢驗(yàn)兩個(gè)樣本均值的差異，不一定要按照Z(yǔ)或t檢驗(yàn)法。10/25/20234

[例]為了比較已婚婦女對(duì)婚后生活的態(tài)度是否因婚齡而有所差別，將已婚婦女按對(duì)婚后生活的態(tài)度分為“滿(mǎn)意”和“不滿(mǎn)意”兩組。從滿(mǎn)意組中隨機(jī)抽取600名婦女，其平均婚齡為8.5年，標(biāo)準(zhǔn)差為2.3年；從不滿(mǎn)意組抽出500名婦女，其平均婚齡為9.2年，標(biāo)準(zhǔn)差2.8年。試問(wèn)在0.05顯著性水平上兩組是否存在顯著性差異？

樣本人數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差滿(mǎn)意組6008.52.3不滿(mǎn)意組5009.22.810/25/20235[解]據(jù)題意，“不滿(mǎn)意”組的抽樣結(jié)果為：＝9.2年，S1＝2.8年，n1＝500；“滿(mǎn)意”組的抽樣結(jié)果為：＝8.5年，S2＝2.3年，n2＝600。

H0：μ1―μ2＝D0＝0H1：μ1―μ2≠0計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，因而有Zα/2＝1.96＜4.47因此否定零假設(shè)，即可以認(rèn)為在0.05顯著性水平上，婚齡對(duì)婦女婚后生活的態(tài)度是有影響的。同時(shí)我們看到，由于樣本計(jì)算值Z＝4.47遠(yuǎn)大于單側(cè)Z0.05的臨界值1.65，因此本題接受μ1―μ2＞0的備擇假設(shè)，即可以認(rèn)為婦女婚齡長(zhǎng)容易對(duì)婚后生活產(chǎn)生“不滿(mǎn)意”。

10/25/202362．大樣本成數(shù)差檢驗(yàn)

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)或（3）否定域：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中:

為總體1的樣本成數(shù)

為總體2的樣本成數(shù)。10/25/20237當(dāng)p1和p2未知，須用樣本成數(shù)和進(jìn)行估算時(shí)，分以下兩種情況討論：①若零假設(shè)中兩總體成數(shù)的關(guān)系為，這時(shí)兩總體可看作成數(shù)P相同的總體，它們的點(diǎn)估計(jì)值為

此時(shí)上式中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z可簡(jiǎn)化為

②若零假設(shè)中兩總體成數(shù)，那么它們的點(diǎn)估計(jì)值有

此時(shí)上式中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z為（5）判定10/25/20238[例]有一個(gè)大學(xué)生的隨機(jī)樣本，按照性格“外向”和“內(nèi)向”，把他們分成兩類(lèi)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，新生中有73％屬于“外向”類(lèi)，四年級(jí)學(xué)生中有58％屬于“外向”類(lèi)。樣本中新生有171名，四年級(jí)學(xué)生有117名。試問(wèn)，在0.01水平上，兩類(lèi)學(xué)生有無(wú)顯著性差異？外向內(nèi)向四年級(jí)58%（117）42%一年級(jí)73%（171）27%10/25/20239[解]據(jù)題意新生組的抽樣結(jié)果為：

＝0.73，＝0.27，n1＝171四年級(jí)學(xué)生組的抽樣結(jié)果為:＝0.58，＝0.42，n2＝117H0：p1―p2＝D0＝0H1：p1―p2＝D0≠0計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域因?yàn)棣粒?.01，因而有Zα/2＝Z0.005＝2.58＜2.66因而否定零假設(shè)，即可以認(rèn)為在0.01顯著性水平上，兩類(lèi)學(xué)生在性格上是有差異的。

10/25/202310第二節(jié)兩總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)

與對(duì)單總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)一樣，我們對(duì)兩總體小樣本假設(shè)檢只討論總體滿(mǎn)足正態(tài)分布的情況。1.小樣本均值差假設(shè)檢驗(yàn)(1)當(dāng)和已知時(shí)，小樣本均值差檢驗(yàn)，與上一節(jié)所述大樣本總體均值差檢驗(yàn)完全相同，這里不再贅述。10/25/202311(2)和未知，但假定它們相等時(shí)，

關(guān)鍵是要解決

的算式。

現(xiàn)又因?yàn)棣椅粗?，所以要用它的無(wú)偏估計(jì)量替代它。由于兩個(gè)樣本的方差基于不同的樣本容量，因而可以用加權(quán)的方法求出σ的無(wú)偏估計(jì)量，得

注意，上式的分母上減2，是因?yàn)楦鶕?jù)和計(jì)算S1和S2時(shí)，分別損失了一個(gè)自由度，一共損失了兩個(gè)自由度，所以全部自由度的數(shù)目就成為(n1+n2―2)。于是有10/25/202312

這樣，對(duì)小樣本正態(tài)總體，和

未知，但σ1＝σ2，其均值差的檢驗(yàn)步驟如下:

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)或（3）否定域：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（5）比較判定10/25/202313[例]為研究某地民族間家庭規(guī)模是否有所不同，各做如下獨(dú)立隨機(jī)抽樣：民族A：12戶(hù)，平均人口6.8人，標(biāo)準(zhǔn)差1.5人民族B：12戶(hù)，平均人口5.3人，標(biāo)準(zhǔn)差0.9人問(wèn)：能否認(rèn)為A民族的家庭平均人口高于B民族的家庭平均人口（α=0.05）？（假定家庭平均人口服從正態(tài)分布，且方差相等）t=2.97

10/25/202314

(3)和未知，但不能假定它們相等

如果不能假定σ1＝σ2

，那么就不能引進(jìn)共同的σ簡(jiǎn)化，也不能計(jì)算σ的無(wú)偏估計(jì)量?，F(xiàn)在簡(jiǎn)單的做法是用

估計(jì)

，用估計(jì)

，于是有[例]用上式重新求解前例題。[解]用上式，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算為

可以看出，求算用(10.8)式和(10.10)式，得出的結(jié)果差別不大。

10/25/2023152．小樣本方差比檢驗(yàn)

在實(shí)際研究中，除了要比較兩總體的均值外，有時(shí)還需要比較兩總體的方差。例如對(duì)農(nóng)村家庭和城鎮(zhèn)家庭進(jìn)行比較，除了平均收入的比較外，還要用方差比較收入的不平均情況。此外，剛剛在小樣本均值差的檢驗(yàn)中曾談到，當(dāng)方差未知時(shí)，往往還假設(shè)兩總體方差相等。因此，在總體方差未知的情況下，先進(jìn)行方差比檢驗(yàn)，對(duì)于均值差檢

檢驗(yàn)也是具有一定意義的。設(shè)兩總體分別滿(mǎn)足正態(tài)分布和?，F(xiàn)從這兩個(gè)總體中分別獨(dú)立地各抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，并具有容量n1，n2和方差，。根據(jù)第八章(8.22)式，對(duì)兩總體樣本方差的抽樣分布分別有10/25/202316

根據(jù)本書(shū)第八章第四節(jié)F分布中的(8.25)式有由于，所以簡(jiǎn)化后，檢驗(yàn)方差比所用統(tǒng)計(jì)量為當(dāng)零假設(shè)H0：σ1＝σ2時(shí)，上式中的統(tǒng)計(jì)量又簡(jiǎn)化為10/25/202317

這樣一來(lái)，小樣本正態(tài)總體方差比檢驗(yàn)的步驟有(1)零假設(shè)H0

：備擇假設(shè)H1

：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)

H1

：H1

：

H1

：(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（）（）

（）

單側(cè)雙側(cè)10/25/202318(3)否定域(參見(jiàn)下圖)單側(cè)Fα（n1―1，n2―1），雙側(cè)Fα/2（n1―1，n2―1）

方差比檢驗(yàn)，比起前面所介紹的檢驗(yàn)有一個(gè)不同點(diǎn)，那就是無(wú)論是單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，F(xiàn)的臨界值都只在右側(cè)。其原因是我們總是把和中的較大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有≥1或者≥110/25/202319

[例]為了研究男性青年和女性青年兩身高總體的方差是否相等，分別作了獨(dú)立隨機(jī)抽樣。對(duì)男性青年樣本有n1＝10，＝30.8(厘米2)；對(duì)女性青年樣本有n2＝8，＝27.8(厘米2)，試問(wèn)在0.05水平上，男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有無(wú)顯著性差異?10/25/202320

[解]據(jù)題意，對(duì)男性青年樣本有n1＝10，＝30.8(厘米2)對(duì)女性青年樣本有n2＝8，＝27.8(厘米2)

H0

：H1

：

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，F(xiàn)α/2（n1―1，n2―1）＝F0.025(9,7)＝4.82＞1.08因而不能否定零假設(shè)，即在0.05水平上，我們不能說(shuō)男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有顯著性差異。

10/25/202321第三節(jié)配對(duì)樣本的假設(shè)檢驗(yàn)

配對(duì)樣本，是兩個(gè)樣本的單位兩兩匹配成對(duì)，它實(shí)際上只能算作一個(gè)樣本，也稱(chēng)關(guān)聯(lián)樣本。因此對(duì)它的檢驗(yàn)，用均值差檢驗(yàn)顯然是不行的。因?yàn)?n個(gè)樣本單位(每個(gè)樣本n個(gè))不是全部獨(dú)立抽取的。而如果把每一配對(duì)當(dāng)作一個(gè)單位，在符合其他必要的假定條件下，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)與單樣本檢驗(yàn)相差無(wú)幾。10/25/2023221．單一實(shí)驗(yàn)組的假設(shè)檢驗(yàn)

對(duì)于單一實(shí)驗(yàn)組這種“前—后”對(duì)比型配對(duì)樣本的假設(shè)檢驗(yàn)，我們的做法是，不用均值差檢驗(yàn)，而是求出每一對(duì)觀察數(shù)據(jù)的差，直接進(jìn)行一對(duì)一的比較。如果采用“前測(cè)”“后測(cè)”兩個(gè)總體無(wú)差異的零假設(shè)，也就是等于假定實(shí)驗(yàn)刺激無(wú)效。于是，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為每對(duì)觀察數(shù)據(jù)差的均值μd＝0的單樣本假設(shè)檢驗(yàn)了。求每一對(duì)觀察值的差，直接進(jìn)行一對(duì)一的比較。10/25/202323設(shè)配對(duì)樣本的樣本單位前測(cè)與后測(cè)的觀察數(shù)據(jù)分別是X

0i與X

1i，其差記作di

di＝X

1i―X

0i

如果假設(shè)兩總體前測(cè)與后測(cè)無(wú)顯著性差別，即μ1

＝μ0或者。那么對(duì)取自這兩個(gè)總體的配對(duì)大樣本有10/25/202324

對(duì)于大樣本，當(dāng)二總體的方差未知時(shí)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)近似。

若為小樣本則需用t分布，即對(duì)配對(duì)(小)樣本而言，其均值差的抽樣分布將服從于自由度為(n—1)的t分布。所以對(duì)單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

10/25/202325[例]隨機(jī)地選擇13個(gè)單位，放映一部描述吸煙有害于身體健康的影片，下表中的數(shù)字是各單位認(rèn)為吸煙有害身體健康的職工的百分比，試在0.05顯著性水平上檢檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無(wú)效的零假設(shè)。10/25/202326[解]零假設(shè)H0：μd＝0

備擇假設(shè)H1：μ1＞μ0

根據(jù)前三式，并參照上表有

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，并為單側(cè)檢驗(yàn)，因而有t

0.05(12)＝1.782＜2.76所以否定零假設(shè)，即說(shuō)明該實(shí)驗(yàn)刺激有效。10/25/202327

練習(xí)

以下是經(jīng)濟(jì)體制改革后，某廠(chǎng)8個(gè)車(chē)間競(jìng)爭(zhēng)性測(cè)量的比較。問(wèn)改革后，競(jìng)爭(zhēng)性有無(wú)增加？（取α=0.05）t=3.176

改革后8687569384937579改革前8079589177827466

10/25/2023282．一實(shí)驗(yàn)組與一控制組的假設(shè)檢驗(yàn)單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)的邏輯，是把實(shí)驗(yàn)對(duì)象前測(cè)后測(cè)之間的變化全部歸因于實(shí)驗(yàn)刺激。在社會(huì)現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行的實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，對(duì)象前測(cè)后測(cè)之間的變化，有時(shí)除了受到實(shí)驗(yàn)刺激外，還受到其他社會(huì)因素的作用。因而，配對(duì)樣本的一實(shí)驗(yàn)組與一控制組之假設(shè)檢驗(yàn)，要設(shè)法把實(shí)驗(yàn)變量的作用和額外變量的作用區(qū)分開(kāi)來(lái)，然后就像對(duì)待單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)一樣，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為零假設(shè)μd＝0的單樣本檢驗(yàn)來(lái)處理。

10/25/202329在一實(shí)驗(yàn)組與一控制組的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)之中，對(duì)前測(cè)后測(cè)之間的變化，消除額外變量影響的基本做法如下：(1)前測(cè)：對(duì)實(shí)驗(yàn)組與控制組分別度量；(2)實(shí)驗(yàn)刺激：只對(duì)實(shí)驗(yàn)組實(shí)行實(shí)驗(yàn)刺激；(3)后測(cè)：對(duì)實(shí)驗(yàn)組與控制組分別度量；(4)求算消除了額外變量影響之后的di

后測(cè)實(shí)驗(yàn)組―前測(cè)實(shí)驗(yàn)組＝前測(cè)后測(cè)差實(shí)驗(yàn)組后測(cè)控制組―前測(cè)控制組＝前測(cè)后測(cè)差控制組

實(shí)驗(yàn)效應(yīng)di

＝前測(cè)后測(cè)差實(shí)驗(yàn)組―前測(cè)后測(cè)差控制組10/25/202330[例]假定實(shí)施一種新教學(xué)法有助于提高兒童的學(xué)習(xí)成績(jī)，現(xiàn)將20名兒童兩兩匹配成對(duì)，分成一實(shí)驗(yàn)組與一控制組，然后對(duì)實(shí)驗(yàn)組實(shí)施新教學(xué)法兩年，下表列示了控制組與實(shí)驗(yàn)組前測(cè)后測(cè)的所有10組數(shù)據(jù)，試在0.05顯著性水平上檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無(wú)效的零假設(shè)。10/25/202331[解]零假設(shè)H0：μd＝0,即“實(shí)驗(yàn)無(wú)效”

備擇假設(shè)H1：μ1＞μ0

根據(jù)前三式，并參照上表有

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，并為單側(cè)檢驗(yàn)，因而有t

0.05(9)＝1.833＜2.13所以