第四十四講 空間幾何體的表面積與體積

第四十四講空間幾何體的表面積與體積回歸課本1.柱體、錐體、臺體的側面積,就是各側面面積之和,表面積是各個面的面積之和,即側面積與底面積之和.2.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.3.圓柱、圓錐、圓臺的側面積及表面積S圓柱側=2πrl,S柱=2πr(r+l);S圓錐側=πrl,S錐=πr(r+l);S圓臺側=π(r′+r)l,S臺=π(r′2+r2+r′l+rl).4.柱、錐、臺體的體積V長方體=abc,V正方體=a3,V柱=Sh,V錐= ,V臺=

(S′+S+ )h.這是柱體?錐體?臺體統(tǒng)一計算公式,特別的圓柱?圓錐?圓臺還可以分別寫成:V圓柱=πr2h,V圓錐=πr2h,V圓臺=πh(r′2+r′r+r2).5.球的體積及球的表面積設球的半徑為R,V球=πR3,S球=4πR2.考點陪練答案:D2.圓臺上、下底面面積分別是π、4π,側面積是6π,這個圓臺的體積是()答案:D3.用與球心距離為1的平面去截球,所得的截面面積為π,則球的體積為()答案:B4.(2010·廣州一模)如果一個幾何體的三視圖如下圖所示(單位長度:cm),則此幾何體的表面積是()A.(80+16)cm2

B.96cm2C.(96+16)cm2

D.112cm2解析:將幾何體還原,如圖:該幾何體是由邊長為4的正方體和一個底面邊長為4高為2的正四棱錐構成的,在正四棱錐中,可得四棱錐的表面積為S1=4××4×正方體除去一個面的表面積為S2=5×42=80,所以此幾何體的表面積答案:A5.(2010·山東臨沂二模)有一個正三棱柱,其三視圖如圖,則其體積等于()解析:由圖知該幾何體為底面為正三角形的三棱柱,底面三角形高為2,三棱柱的高為 故體積為答案:D類型一 棱柱?棱錐?棱臺的表面積?體積解題準備:求解有關多面體表面積問題的關鍵是利用幾何圖形的性質找到其特征幾何圖形,從而體現(xiàn)出高、斜高、邊長等幾何元素間的關系,如棱柱的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺中的直角梯形等.1.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系,可表示為2.解決不規(guī)則幾何體的問題應注意應用以下方法:(1)幾何體的“分割”依據已知幾何體的特征,將其分割成若干個易于求體積的幾何體,進而求解.(2)幾何體的“補形”有時為了計算方便,可將幾何體補成易求體積的幾何體,如長方體、正方體等.【典例1】如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,若E?F分別為AB?AC的中點,平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1?V2的兩部分,那么V1：V2=________.[解析]設三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則V=V1+V2=Sh.∵E?F分別為AB?AC的中點,

[答案]7：5.類型二 圓柱、圓錐、圓臺的表面積、體積解題準備:1.圓柱、圓錐、圓臺的側面積分別是它們側面展開圖的面積,因此弄清側面展開圖的形狀及側面展開圖中各線段與原幾何體的關系是掌握它們的面積公式及解決相關問題的關鍵.2.計算柱體、錐體、臺體的體積關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高,要充分利用多面體的截面及旋轉體的軸截面,將空間問題轉化為平面問題.【典例2】已知底面半徑為,母線長為的圓柱,挖去一個以圓柱上底面圓心為頂點,下底面為底面的圓錐,求所得幾何體的表面積和體積.

[解]如圖,圓柱一個底面的面積為S底=πr2=π?( )2=3π(cm3).圓柱側面面積為:S柱側=2π×π(cm2).所挖圓錐的母線長為 =3(cm).類型三 球的表面積、體積解題準備:球的表面積與體積都只與半徑R有關,是以R為自變量的函數,一個球的半徑給定,它的表面積、體積隨之確定,反過來,給定一個球的表面積或體積,這個球的半徑也就確定了.【典例3】如圖,正三棱錐的高為1,底面邊長為內有一個球與它的四個面都相切.求:(1)棱錐的全面積;(2)內切球的表面積與體積.

(2)設正三棱錐P—ABC的內切球球心為O,連接OP?OA?OB?OC,而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.∴VP—ABC=VO—PAB+VO—PBC+VO—PAC+VO—ABC類型四由幾何體的三視圖求幾何體的表面積與體積解題準備:已知空間幾何體的三視圖求表面積?體積是高考考查的熱點,對三視圖的應用是解題的關鍵.主要體現(xiàn)在以下兩個方面的應用:一是數據的給出,通過三視圖的長?寬?高對應出空間幾何體的相關長?寬?高,從而求表面積和體積,但是要注意三視圖中的數據與原幾何體中的數據不一定一一對應,識圖時注意甄別.二是揭示空間幾何體的結構特征.包括幾何體的形狀,平行垂直等結構特征,這些正是數據運算的依據.