新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第5章統(tǒng)計(jì)與概率5.1統(tǒng)計(jì)5.1.4用樣本估計(jì)總體課件新人教B版必修第二冊(cè)

第五章5.1.4用樣本估計(jì)總體基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)課程標(biāo)準(zhǔn)1.會(huì)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.2.能用樣本的分布來估計(jì)總體的分布.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1.前提樣本的容量恰當(dāng),抽樣方法合理.2.必要性(1)在容許一定誤差存在的前提下,可以用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征,這樣能節(jié)省人力和物力.(2)有時(shí)候總體的數(shù)字特征不可能獲得,只能用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.3.誤差估計(jì)一般是有誤差的.但是,大數(shù)定律可以保證,當(dāng)樣本的容量越來越大時(shí),估計(jì)的誤差很小的可能性將越來越大.名師點(diǎn)睛用樣本估計(jì)總體出現(xiàn)誤差的原因樣本抽取的方法不合適,導(dǎo)致代表性差;樣本容量偏少等.4.一般來說,在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí),只需直接算出

對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征即可.

5.如果樣本是用分層抽樣得到的,由每一層的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.以分兩層抽樣的情況為例.條件假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù),分別為x1,x2,…,xm,平均數(shù)為

,方差為s2;第二層有n個(gè)數(shù),分別為y1,y2,…,yn,平均數(shù)為

,方差為t2結(jié)論如果記樣本均值為

,樣本方差為b2,則

=

,樣本

名師點(diǎn)睛1.用樣本估計(jì)總體的簡(jiǎn)單理解就是以樣本的平均數(shù)、方差等數(shù)字特征來估計(jì)總體的平均數(shù)、方差等數(shù)字特征,即用樣本來代替總體進(jìn)行研究(以小窺大).2.樣本的數(shù)字特征:最值、中位數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等.最值是極端值,中位數(shù)對(duì)極端值不敏感,而平均數(shù)又受極端值左右,因此這些因素制約了僅依賴這些數(shù)字特征來估計(jì)總體數(shù)字特征的準(zhǔn)確性.3.在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的,但在解決實(shí)際問題時(shí),一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.極差反映了一組數(shù)據(jù)的變化幅度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小,描述了數(shù)據(jù)的離散程度.4.用樣本平均數(shù)和樣本方差估計(jì)總體的平均數(shù)和方差可能出現(xiàn)誤差,但大數(shù)定律可以保證,當(dāng)樣本容量越大時(shí)誤差越小.大數(shù)定律(大數(shù)法則):大量的,在一定條件下重復(fù)的“隨機(jī)現(xiàn)象”將呈現(xiàn)一定的規(guī)律和穩(wěn)定性,這種穩(wěn)定性即頻率的穩(wěn)定性和平均數(shù)的穩(wěn)定性.過關(guān)自診

某校從400名教師中抽取20名調(diào)查其一個(gè)月使用多媒體教學(xué)的情況,這20名教師一個(gè)月使用多媒體教學(xué)的次數(shù)用莖葉圖表示(如圖),據(jù)此可估計(jì)該校400名教師中,一個(gè)月使用多媒體教學(xué)次數(shù)在[16,30)內(nèi)的人數(shù)約為(

)A.100

B.160

C.200

D.280B解析

由莖葉圖知,樣本中多媒體教學(xué)次數(shù)在[16,30)內(nèi)的人數(shù)為8,頻率為

=0.4,所以估計(jì)該校400名教師中,一個(gè)月使用多媒體教學(xué)次數(shù)在[16,30)內(nèi)的人數(shù)約為400×0.4=160.故選B.知識(shí)點(diǎn)2

用樣本的分布來估計(jì)總體的分布如果總體在每一個(gè)分組的頻率記為π1,π2,…,πn,樣本在每一組對(duì)應(yīng)的頻率記為p1,p2,…,pn,一般來說,(πi-pi)2不等于零.當(dāng)樣本的容量越來越大時(shí),該式很小的可能性將越來越大.名師點(diǎn)睛1.如果樣本的容量恰當(dāng),抽樣方法又合理的話,樣本的分布與總體分布會(huì)差不多.特別地,每一組的頻率與總體對(duì)應(yīng)的頻率相差不會(huì)太大.2.如果容許有一定誤差,則可以用樣本的分布去估計(jì)總體的分布.而且,在總體的分布不可能獲得時(shí),只能用樣本的分布去估計(jì)總體的分布.過關(guān)自診[2023安徽高一]一般情況下,用樣本估計(jì)總體,下列說法正確的是(

)A.樣本的結(jié)果就是總體的結(jié)果B.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差可以近似地反映總體的平均狀態(tài)C.數(shù)據(jù)的方差越大,說明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定D.樣本容量越大,估計(jì)就越精確D解析

對(duì)于選項(xiàng)A,樣本的結(jié)果只能估計(jì)總體的結(jié)果,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,標(biāo)準(zhǔn)差反映的是總體的波動(dòng)大小,不能反映總體的平均狀態(tài),故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,方差越大,數(shù)據(jù)越分散,越不穩(wěn)定,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,樣本估計(jì)總體分布的過程中,估計(jì)的是否準(zhǔn)確只與樣本容量在總體中所占的比例有關(guān),樣本容量越大,在總體中所占比例就越大,估計(jì)的就越精確,故D正確.故選D.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【例1】

甲、乙兩臺(tái)包裝機(jī)同時(shí)包裝質(zhì)量為200克的糖果,從中各抽出10袋,測(cè)得其實(shí)際質(zhì)量分別如下(單位:克).甲:203

204

202

196

199

201

205

197

202

199乙:201

200

208

206

210

209

200

193

194

194(1)分別計(jì)算兩個(gè)樣本的平均數(shù)與方差.(2)從計(jì)算結(jié)果看,哪臺(tái)包裝機(jī)包裝的10袋糖果的平均質(zhì)量更接近200克?哪臺(tái)包裝機(jī)包裝的10袋糖果的質(zhì)量比較穩(wěn)定?規(guī)律方法

研究兩個(gè)樣本的波動(dòng)情況或比較它們的穩(wěn)定性、可靠性等性能好壞的這類題,先求平均數(shù),比較一下哪一個(gè)更接近標(biāo)準(zhǔn).若平均數(shù)相等,則再通過比較兩個(gè)樣本方差的大小來作出判斷.在計(jì)算過程中,要仔細(xì)觀察所給樣本數(shù)據(jù)的特征,選擇恰當(dāng)?shù)墓絹碛?jì)算平均數(shù)和方差,這樣可避免計(jì)算的煩瑣,降低錯(cuò)誤率.變式訓(xùn)練1甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件,為檢驗(yàn)質(zhì)量,各從中抽取6件測(cè)量,數(shù)據(jù)如下(單位:cm).甲:99

100

98

100

100

103乙:99

100

102

99

100

100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差;(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量比較穩(wěn)定.(2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直徑的平均值相同,又

,故乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量比較穩(wěn)定.探究點(diǎn)二分層抽樣背景下的樣本數(shù)字特征估計(jì)【例2】

工廠為了解每個(gè)工人對(duì)某零件的日加工量,統(tǒng)計(jì)員分別從兩車間抽取了甲、乙兩人日加工量的兩個(gè)樣本.抽到甲的一個(gè)樣本容量為10,樣本平均數(shù)為5,方差為1;乙的一個(gè)樣本容量為12,樣本平均數(shù)為6,方差為2.現(xiàn)將這兩組樣本合在一起,求合在一起后的樣本的均值與方差.規(guī)律方法

樣本是用分層抽樣得到的,由每一層的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.以分兩層抽樣的情況為例.探究點(diǎn)三用樣本的分布估計(jì)總體的分布【例3】

[2023上海高一專題練習(xí)]為了提高思想認(rèn)識(shí),某校開展了“學(xué)史明鑒、牢記使命”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng),從950名參賽的學(xué)生中隨機(jī)選取100人的成績作為樣本,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)將全體參賽學(xué)生成績編號(hào)為001~950,使用附圖提供的“隨機(jī)數(shù)表”從第二行的第三列開始從左往右抽,請(qǐng)寫出前3個(gè)被抽到的樣本編號(hào);(2)試估計(jì)該校參賽學(xué)生在85分以上的人數(shù);(3)求頻率分布直方圖中a的值,并估計(jì)該校此次參賽學(xué)生成績的平均分(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表).附圖:592260004984012866175168396829274377236627096623925809564389089046482834597434582977814964608925916853071733729829849526375159230388619114679054490400403616080655336993303570684571739718435701……解

(1)從給到的“隨機(jī)數(shù)表”中從第二行第三列開始從左往右抽,依次是580,956,438,908,其中956不在給到的成績編號(hào)001~950的范圍內(nèi),故去掉,因此,前3個(gè)被抽到樣本編號(hào)為580,438,908.(2)由頻率分布直方圖知樣本中85分以上的頻率為0.1,所以估計(jì)該校參賽學(xué)生在85分以上的人數(shù)為950×0.1=95.(3)由題意可知,10×(0.005+0.025+a+0.025+0.010)=1,解得a=0.035.因?yàn)?/p>

=50×0.05+60×0.25+70×0.35+80×0.25+90×0.1=71,故該校此次參賽學(xué)生成績估計(jì)的平均分為71分.變式探究若本例條件不變,估計(jì)所有參賽學(xué)生的眾數(shù)和中位數(shù).解

眾數(shù)為70.由頻率分布直方圖知,中位數(shù)落在65~75之間,設(shè)為x,則0.05+0.25+(x-65)×0.035=0.5,解得x≈71.規(guī)律方法

1.利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征:(1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖面積相等.(3)(其中pi為xi出現(xiàn)的頻率).2.利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計(jì)值,與實(shí)際數(shù)據(jù)可能不一致.變式訓(xùn)練2已知某人工養(yǎng)殖觀賞魚池塘中養(yǎng)殖著大量的紅鯽魚與中國金魚.為了估計(jì)池塘中這兩種魚的數(shù)量,養(yǎng)殖人員從池塘中捕出了紅鯽魚與中國金魚各1000條,給每條魚做上不影響其存活的記號(hào),然后放回池塘,經(jīng)過一定時(shí)間,再每次從池塘中隨機(jī)捕出1000條魚,分類記錄下其中有記號(hào)的魚的數(shù)目,隨即將它們放回池塘中.這樣的記錄作了10次,將記錄獲取的數(shù)據(jù)繪制成如下所示的莖葉圖.根據(jù)莖葉圖計(jì)算有記號(hào)的紅鯽魚與中國金魚數(shù)目的平均數(shù),并估計(jì)池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)量.解

由莖葉圖可求出10次記錄下的有記號(hào)的紅鯽魚與中國金魚數(shù)目的平均數(shù)均為20,故認(rèn)為池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)目相同,設(shè)池塘中兩種魚的總數(shù)是x,則有

,即x==50

000,所以,可估計(jì)池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)量均約為25

000條.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測(cè)1231.依據(jù)相關(guān)法律可知,車輛駕駛員血液中所含的酒精濃度在80mg/100mL(含80)以上時(shí),屬醉酒駕車.某地對(duì)涉嫌酒后駕車的28800人抽取1000人的樣本進(jìn)行血液檢測(cè),根據(jù)檢測(cè)結(jié)果繪制的頻率分布直方圖如圖所示,估計(jì)這28800人中屬于醉酒駕車的人數(shù)約為(

)A.8640 B.5760 C.4320 D.2880C123解析

由圖可知,血液中酒精濃度在80

mg/100

mL(含80)以上的頻率為0.15.則醉酒駕車的人數(shù)約為28

800×0.15=4

320.1232.某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品,三個(gè)分廠產(chǎn)量分布如圖所示,現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測(cè)試,則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為

;由所得樣品的測(cè)試結(jié)果計(jì)算出一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命平均值分別為1020小時(shí)、980小時(shí)、1030小時(shí),估計(jì)這個(gè)企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的平均使用壽命為

小時(shí).

501015

解析

第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為100×50%=50;該產(chǎn)品的平均使用壽命為1

020×0.5+980×0.2+1

030×0.3=1

015(小時(shí)).1231233.[2023云南曲靖高一月考]為普及航天知識(shí),某校開展了“航天知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng),現(xiàn)從參加該競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名,統(tǒng)計(jì)他們的成績(滿分100分),其中成績不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“航天達(dá)人”,將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)若該中學(xué)參加這次競(jìng)賽的共有2000名學(xué)生,試估計(jì)全校這次競(jìng)賽中“航天達(dá)人”的人數(shù).(2)估計(jì)參加這次競(jìng)賽的學(xué)生成績的80%分位數(shù).(3)若在抽取的60名學(xué)生中,利用分層