新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.3利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題分層作業(yè)課件新人教B版選擇性必修第三冊

第五章6.3利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題A級必備知識基礎(chǔ)練12345678910111213141516171.[探究點(diǎn)二]某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位:米)(

)A.32,16 B.30,15 C.40,20 D.36,18A12345678910111213141516172.[探究點(diǎn)三]現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為4,高為3的圓錐一個(gè).若將它重新制作成一個(gè)底面半徑為r,高為h的圓柱(橡皮泥沒有浪費(fèi)),則該圓柱表面積的最小值為(

)A.20π

B.24π

C.28π

D.32πB123456789101112131415161712345678910111213141516173.[探究點(diǎn)三·2023山西高二月考]一個(gè)等腰三角形的周長為10,四個(gè)這樣相同等腰三角形底邊圍成正方形,如圖,若這四個(gè)三角形都繞底邊旋轉(zhuǎn),四個(gè)頂點(diǎn)能重合在一起,構(gòu)成一個(gè)四棱錐,則圍成的四棱錐的體積的最大值為(

)A1234567891011121314151617解析

設(shè)四棱錐為P-ABCD,如下圖所示.設(shè)四棱錐的高為PO,取邊BC的中點(diǎn)M.設(shè)四棱錐底面正方形邊長的一半為x,則側(cè)面等腰三角形的腰長PB==5-x,所以0<x<5,所以PM2=(5-x)2-x2.1234567891011121314151617設(shè)f(x)=-x6-10x5+25x4(0<x<5),則f'(x)=-6x5-50x4+100x3=2x3(-3x2-25x+50)=2x3(x+10)(-3x+5),12345678910111213141516174.[探究點(diǎn)一]根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),一超市中的某一商品每月的銷售量y(單位:件)與銷售價(jià)格x(單位:元/件)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+2(x-50)2,其中20<x<50.已知該商品的成本為20元/件,則該超市每月銷售該商品所獲得利潤的最大值為(

)A.8600元 B.8060元C.6870元 D.4060元B1234567891011121314151617解析

設(shè)超市每月銷售該商品所獲得的利潤為f(x)元,則f(x)=(x-20)[

+2(x-50)2]=60+2(x-20)(x-50)2,20<x<50,f'(x)=2[(x-50)2+2(x-50)·(x-20)]=6(x-30)(x-50),令f'(x)>0,得20<x<30,則f(x)在(20,30)內(nèi)單調(diào)遞增;令f'(x)<0,得30<x<50,則f(x)在(30,50)內(nèi)單調(diào)遞減,所以f(x)的最大值為f(30)=8

060.故選B.12345678910111213141516175.[探究點(diǎn)三]已知球體的半徑為3,當(dāng)球內(nèi)接正四棱錐的體積最大時(shí),正四棱錐的高和底面邊長的比值是(

)A解析

如圖,△PAC是正四棱錐P-ABCD的對角面,其外接圓是四棱錐外接球的大圓,O是圓心(球心),設(shè)正四棱錐底面邊長為a,則AC=a,OA=OP=3,設(shè)OE=x(0<x<3),123456789101112131415161712345678910111213141516176.[探究點(diǎn)二]已知鐵道機(jī)車運(yùn)行1小時(shí)所需成本由兩部分組成,固定部分為m元,變動部分與運(yùn)行速度v(單位:千米/時(shí))的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0).如果機(jī)車勻速從甲站開往乙站,則當(dāng)機(jī)車以

千米/時(shí)的速度運(yùn)行時(shí),成本最省.

1234567891011121314151617解析

由已知機(jī)車以速度v勻速運(yùn)行,設(shè)甲、乙兩站相距s千米,總成本為y元,12345678910111213141516177.[探究點(diǎn)一]某商場銷售某種商品,該商品的成本為3元/千克,每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+5(x-6)2,其中3<x<6,當(dāng)銷售價(jià)格為

元時(shí),商場每日銷售該商品所獲得的最大利潤為

元.

4211234567891011121314151617解析

設(shè)商場每日銷售該商品所獲得的利潤為L元,則L=y(x-3)=[

+5(x-6)2](x-3)=5x3-75x2+360x-539(3<x<6),則L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)=15(x-4)(x-6),令L'>0,得3<x<4;令L'<0,得4<x<6,所以函數(shù)L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)內(nèi)單調(diào)遞增,在(4,6)內(nèi)單調(diào)遞減,所以x=4時(shí),L取得最大值,最大值為21元.12345678910111213141516178.[探究點(diǎn)二·北師大版教材習(xí)題]某體育館要建造一個(gè)長方形游泳池,其容積為4800m3,深為3m.如果建造池底的單價(jià)是建造池壁單價(jià)的1.5倍,怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低?1234567891011121314151617所以當(dāng)x∈(0,40)時(shí),y'<0,當(dāng)x∈(40,+∞)時(shí),y'>0,當(dāng)x=40時(shí),函數(shù)取得最小值,最小值為2

880.即當(dāng)水池池底的長、寬均為40

m時(shí),總造價(jià)最低.12345678910111213141516179.(2023四川宜賓高縣校級期中)某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元,每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克,每種植1千克藕,成本增加0.5元.如果銷售額函數(shù)是(x是蓮藕種植量,單位:萬千克;銷售額的單位:萬元,a是常數(shù)),若種植2萬千克,利潤是2.5萬元,則要使利潤最大,每年需種植蓮藕(

)A.8萬千克

B.6萬千克C.3萬千克

D.5萬千克B級關(guān)鍵能力提升練B1234567891011121314151617當(dāng)x∈(0,6)時(shí),g'(x)>0;當(dāng)x∈(6,8)時(shí),g'(x)<0.所以函數(shù)g(x)在(0,6)內(nèi)單調(diào)遞增,在(6,8)內(nèi)單調(diào)遞減,所以x=6時(shí),利潤最大,故選B.123456789101112131415161710.

如圖所示,一個(gè)倉庫設(shè)計(jì)由上部屋頂和下部主體兩部分組成,屋頂?shù)男螤钍撬睦忮FP-ABCD,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)O為正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形狀是長方體ABCD-A'B'C'D'.已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比,比例系數(shù)為k(k>0),下部主體造價(jià)與高度成正比,比例系數(shù)為8k.若欲造一個(gè)上、下總高度為10m,AB=8m的倉庫,則當(dāng)總造價(jià)最低時(shí),PO=(

)B1234567891011121314151617解析

如圖,設(shè)BC的中點(diǎn)為E,連接PE,OE,則OE=4.由于PO⊥平面ABCD,則有PO⊥OE.1234567891011121314151617123456789101112131415161711.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品,若該商品零售價(jià)為p元,銷量Q(單位:件)與零售價(jià)p(單位:元)有如下關(guān)系:Q=8300-170p-p2,則該商品零售價(jià)定為

元時(shí)利潤最大,利潤的最大值為

元.

3023000解析

設(shè)該商品的利潤為y元,由題意知,y=Q(p-20)=-p3-150p2+11

700p-166

000,則y'=-3p2-300p+11

700,令y'=0得p=30或p=-130(舍),當(dāng)p∈(0,30)時(shí),y'>0,當(dāng)p∈(30,+∞)時(shí),y'<0,因此當(dāng)p=30時(shí),y有最大值,ymax=23

000.123456789101112131415161712.如圖所示,內(nèi)接于拋物線y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在拋物線上運(yùn)動,C,D在x軸上運(yùn)動,則此矩形的面積的最大值是

.

1234567891011121314151617123456789101112131415161713.已知某公司生產(chǎn)一種零件的年固定成本為5萬元,每生產(chǎn)1千件,成本再增加3萬元.假設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該零件x千件并且全部銷售完,每1千件的銷售收入為D(x)萬元,且D(x)=為使公司獲得最大利潤,則應(yīng)將年產(chǎn)量定為

千件.(注:年利潤=年銷售收入-年總成本)

251234567891011121314151617解析

設(shè)年利潤為W(x),則W(x)=xD(x)-(3x+5)1234567891011121314151617123456789101112131415161714.已知正三棱錐的體積為,則其表面積的最小值為

.

解析

設(shè)正三棱錐的底面邊長為a,高為h,如圖,過頂點(diǎn)S作底面ABC的垂線,垂足為O,過O作OD垂直AB于D,連接SD,∴AB=a,SO=h.∵SO⊥底面ABC,AB?底面ABC,∴AB⊥SO,SO⊥OD.又AB⊥OD,SO∩OD=O,∴AB⊥平面SOD.又SD?平面SOD,∴AB⊥SD,12345678910111213141516171234567891011121314151617當(dāng)0<h<2時(shí),S'<0,當(dāng)h>2時(shí),S'>0,故S在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故當(dāng)h=2時(shí),表面積最小,此時(shí)123456789101112131415161715.[2023江蘇鹽城月考]某房地產(chǎn)商建有三棟樓宇A(yù),B,C,三棟樓宇間的距離都為2千米,擬準(zhǔn)備在此三棟樓宇圍成的區(qū)域ABC外建第四棟樓宇D,規(guī)劃要求樓宇D對樓宇B,C的視角為,如圖所示,假設(shè)樓宇大小高度忽略不計(jì).(1)求四棟樓宇圍成的四邊形區(qū)域ABDC面積的最大值;(2)當(dāng)樓宇D與樓宇B,C間距離相等時(shí),擬在樓宇A(yù),B間建休息亭E,在休息亭E和樓宇A(yù),D間分別鋪設(shè)鵝卵石路AE和防腐木路DE,如圖,已知鋪設(shè)鵝卵石路、防腐木路的單價(jià)分別為a,2a(單位:元/千米,a為常數(shù)).記∠BDE=θ,求鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總費(fèi)用的最小值.12345678910111213141516171234567891011121314151617123456789101112131415161712345678910111213141516171234567891011121314151617所以f(θ)的最小值為4a.答:鋪設(shè)此鵝卵石路和防腐木路的總費(fèi)用的最小值為4a元.123456789101112131415161716.某同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后,決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場調(diào)查,生產(chǎn)一小型電子產(chǎn)品需投入固定成本2萬元,每生產(chǎn)x萬件,需另投入流動成本商品當(dāng)年能全部售完.(1)寫出年利潤p(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)解析式.(注:年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本)(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬件時(shí),該同學(xué)的這一產(chǎn)品所獲年利潤最大?最大年利潤是多少?(取e3≈20)1234567891011121314151617解

(1)已知每件產(chǎn)品售價(jià)為6元,則x萬件產(chǎn)品銷售收入為6x萬元.1234567891011121314151617∴當(dāng)7≤x<e3時(shí),p(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x≥e3時(shí),p(x)單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=