《一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)(部級優(yōu)課)-數(shù)學(xué)教案

圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用溫州市第五十八中學(xué)柳靜一.教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課內(nèi)容是人教A版數(shù)學(xué)選修1-1中第二章《圓錐曲線與方程》章后的一段閱讀與思考材料,重點(diǎn)介紹了橢圓、雙曲線、拋物線的光學(xué)性質(zhì)以及它們在生活生產(chǎn)中的廣泛應(yīng)用。它是圓錐曲線知識(shí)的進(jìn)一步拓展，是數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)的綜合，也是數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用的典型案例。學(xué)生在教師的指引下，對材料進(jìn)行充分地閱讀并進(jìn)行思考，查閱各類資料積累閱讀與思考的成果，通過課堂進(jìn)行分享與交流，既掌握了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其廣泛應(yīng)用，又學(xué)會(huì)了如何閱讀與思考，在分享與交流過程中體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂，這對學(xué)生的今后學(xué)習(xí)、生活有著深遠(yuǎn)的意義。由于三種曲線的性質(zhì)可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)念惐?，在教學(xué)中可突出其中一種曲線進(jìn)行深入研究。本課重點(diǎn)探討拋物線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用，通過類比了解其他曲線的光學(xué)性質(zhì)及其作用。二.教學(xué)目標(biāo)解析(1)了解三種圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，并能對拋物線的光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)證明。(2)能通過對一些生活現(xiàn)象的觀察提出數(shù)學(xué)問題，再用數(shù)學(xué)的方法加以論證。(3)通過對圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的大量應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)與生活之間的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的抽象性及其廣泛的應(yīng)用性，同時(shí)用學(xué)到的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)的嘗試。(4)學(xué)會(huì)如何閱讀、如何思考收集和分析數(shù)學(xué)有關(guān)的材料。三.學(xué)情分析學(xué)生已學(xué)完解析幾何全部課本知識(shí)，對用解析法解決解析幾何問題的思想、方法已基本掌握，另外，學(xué)生已學(xué)習(xí)過導(dǎo)數(shù)知識(shí)，因此能用導(dǎo)數(shù)工具求解切線斜率。同時(shí)了解光的傳播的反射知識(shí)。信息時(shí)代的學(xué)生知識(shí)面比較廣，并能熟練利用書籍、電腦搜索各方面的知識(shí)。由于人教A版課程中學(xué)生不學(xué)夾角公式、到角公式，以及初中時(shí)未學(xué)習(xí)過角平分線性質(zhì)定理，這給光學(xué)的反射性質(zhì)的數(shù)學(xué)證明帶來一定的學(xué)習(xí)困難。為了突破這一難點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生從最熟悉的光在平面的反射入手，漸進(jìn)到從圓心發(fā)出的光經(jīng)圓反射從而得出光經(jīng)拋物線反射的光路圖，將兩線平行最終轉(zhuǎn)化為三角形兩邊相等，借助導(dǎo)數(shù)求出切線方程，得到證明；另一方面在論證上可以有所側(cè)重，本課重點(diǎn)證明簡單的拋物線的光學(xué)性質(zhì)，對于雙曲線、橢圓的光學(xué)性質(zhì)的論證則留給學(xué)生課后自主探究.四.教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一：課前準(zhǔn)備，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主閱讀、交流學(xué)習(xí)的經(jīng)歷閱讀人教A版數(shù)學(xué)選修2-1:75頁至76頁有關(guān)“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”的閱讀材料并思考下列問題1、你從閱讀材料中得到了圓錐曲線有哪些光學(xué)性質(zhì)？（你能否做出數(shù)學(xué)解析）2、圓錐曲線的這些光學(xué)性質(zhì)有怎樣的實(shí)際應(yīng)用？（請盡可能多列舉）3、你能證明（可查閱資料）拋物線的光學(xué)性質(zhì)嗎？已知：拋物線的焦點(diǎn)為F，光線從F點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)拋物線上一點(diǎn)M(非原點(diǎn))反射，反射光線記為MR（反射面是拋物線在點(diǎn)M處的切線L），求證MR∥y軸4、你在閱讀“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”時(shí)有哪些疑問尚未解決？

環(huán)節(jié)二：課堂交流，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合作探究、展示成果的學(xué)習(xí)經(jīng)歷一：拋物線的光學(xué)性質(zhì)引入：生活中大量運(yùn)用拋物線對光（波）的反射規(guī)律：即拋物線能將焦點(diǎn)處發(fā)射出的光反射為平行光，同樣也能將平行光線聚焦，這不免讓我們思考拋物線為什么會(huì)具有這樣的光學(xué)規(guī)律？這讓你想起了所學(xué)的哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？（預(yù)設(shè)：拋物線，射線，反射，平行等）你能結(jié)合所學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用適當(dāng)數(shù)學(xué)方法證明該光學(xué)規(guī)律嗎？首先既然是數(shù)學(xué)問題，你能抽象出該問題的已知條件與結(jié)論嗎？回憶圓錐曲線的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，我們處理解析幾何問題時(shí)通常會(huì)運(yùn)用哪些思想方法？（提示：我們在探究圓錐曲線的幾何特征的基礎(chǔ)上，建立它們的方程，通過方程來研究它們的幾何性質(zhì)，并用坐標(biāo)法解決幾何圖像問題）在坐標(biāo)系中，將上述問題符號(hào)化如下：已知：拋物線，從焦點(diǎn)F（0，）處發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)反射，求證：反射光線MR平行于y軸你能在圖形中找到“反射”所對應(yīng)的等量關(guān)系嗎（代數(shù)化）？（7）你能結(jié)合拋物線與直線的相關(guān)知識(shí)給出上述證明嗎？(證明方法預(yù)設(shè)：角相等，對稱關(guān)系)方法難易對比并選擇小結(jié)：拋物線光學(xué)性質(zhì)的證明方法較多課堂有限，課后學(xué)生繼續(xù)探討（2014福建省質(zhì)檢）從點(diǎn)M（x0，2）發(fā)出的光線沿平行于拋物線y2=4x的軸的方向射向拋物線的點(diǎn)P，反射后經(jīng)過焦點(diǎn)F及拋物線上的點(diǎn)Q，又射向直線l：x-2y-7=0上的點(diǎn)N，再反射后又射回到點(diǎn)M，求x0小結(jié)：從生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)問題（體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的思想），將數(shù)學(xué)問題圖形化及符號(hào)化處理，轉(zhuǎn)化為解析幾何問題（體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想），并利用坐標(biāo)法進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算從而解決幾何問題（體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、演繹推理的核心素養(yǎng)），最后將結(jié)論加以運(yùn)用（讓我們感受數(shù)學(xué)是有用的）二：橢圓、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)應(yīng)用：音樂廳激光消痣與體外碎石技術(shù)電影放映機(jī)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個(gè)焦點(diǎn)射出一樣床頭燈柔光箱（如右圖）西西里島的統(tǒng)治者開鑿了一個(gè)橢圓形巖洞作為監(jiān)獄，被關(guān)押的犯人不堪忍受折磨，秘密商討逃跑的計(jì)劃，可每次的逃跑計(jì)劃都會(huì)很快被看守知道。犯人們百思不得其解，開始相互猜疑，以為內(nèi)部出現(xiàn)了內(nèi)奸，其實(shí)并非有內(nèi)奸，而是山洞的形狀有奧妙。你能解開這個(gè)謎嗎?【設(shè)計(jì)意圖】有趣的故事引入，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，疑惑會(huì)促使思維的延伸預(yù)設(shè)學(xué)生的成果山洞是橢圓形的，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的聲音經(jīng)橢圓壁反射匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)，犯人們商討的地方正好位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，而看守卻位于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，雖然商討的聲音很小，但經(jīng)橢圓面墻壁反射后集中到看守所在的位置上，所以看守聽得清清楚楚。這個(gè)設(shè)計(jì)很不簡單，據(jù)說是一位刁尼秀斯的人設(shè)計(jì)的，后人稱之為“刁尼秀斯之耳”（例子中的橢圓，其實(shí)是橢球面）聲音的傳播和光的傳播是一樣的，都滿足波傳播的規(guī)律。這就是橢圓光學(xué)性質(zhì)的的應(yīng)用。環(huán)節(jié)三：課后提出更深入思考，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用與創(chuàng)造的學(xué)習(xí)經(jīng)歷課堂小結(jié)談?wù)劚竟?jié)課的收獲（可以從知識(shí)方面及數(shù)學(xué)思想方法等角度）閱讀與思考——課外再提升（1）你能模仿拋物線光學(xué)性質(zhì)的證明，嘗試給出橢圓與雙曲線的光學(xué)性質(zhì)的證明嗎？（2）你能將圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)進(jìn)行組合，嘗試設(shè)計(jì)一些作品嗎？（3）在圓錐曲線中能不能找到其的光學(xué)性質(zhì)？有沒有其它的曲線也具有類似的光學(xué)性質(zhì)？（4）如果不是從圓錐曲線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)圓錐曲線反射后會(huì)怎樣呢？【設(shè)計(jì)意圖】課前閱讀與思考，課中交流體會(huì)，課后升華閱讀思考。附：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的證明預(yù)備定理1.若點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，則橢圓過該點(diǎn)的切線方程為：。證明1：由……①1°當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的切線斜率一定存在，且∴對①式求導(dǎo)：∴∴切線方程為…………②∵點(diǎn)在橢圓上故代入②得…………③而當(dāng)時(shí)，切線方程為，也滿足③式故是橢圓過點(diǎn)的切線方程.證明2：也可以結(jié)合圓的切線方程的結(jié)論，以及圓與橢圓的仿射變換來證明定理1.橢圓上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)P處的法線平分（圖2.1）已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過橢圓上一點(diǎn)的切線，為垂直于且過點(diǎn)的橢圓的法線，交軸于，設(shè)，求證：.證法一：在上，，則過點(diǎn)的切線方程為：，是通過點(diǎn)且與切線垂直的法線，則，∴法線與軸交于，∴，∴，又由焦半徑公式得：，∴，∴是的平分線，∴，∵，故可得證法二：由證法一得切線的斜率，而的斜率，的斜率，∴到所成的角滿足：∵在橢圓上，∴，同理，到所成的角滿足，∴而，∴證法三：如圖，作點(diǎn)，使點(diǎn)與關(guān)于切線對稱，連結(jié)，交橢圓于點(diǎn)下面只需證明點(diǎn)與重合即可。一方面，點(diǎn)是切線與橢圓的唯一交點(diǎn)，則，是上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和的最小值（這是因?yàn)樯系钠渌c(diǎn)均在橢圓外）。另一方面，在直線上任取另一點(diǎn)，∵即也是直線上到兩焦點(diǎn)的距離這和最小的唯一點(diǎn)，從而與重合，即而得證預(yù)備定理2.若點(diǎn)是雙曲線上任一點(diǎn)，則雙曲線過該點(diǎn)的切線方程為：證明：由……①1°當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的切線斜率一定存在，且∴對①式求導(dǎo)：∴∴切線方程為…………②∵點(diǎn)在雙曲線上，故代入②得…………③而當(dāng)時(shí)，切線方程為，也滿足③式故是雙曲線過點(diǎn)的切線方程定理2雙曲線上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分（圖2.2）；xy圖2.2已知：如圖，雙曲線的方程為，，分別是其左、右焦點(diǎn)，是過雙曲線上的一點(diǎn)的切線，交軸于點(diǎn)，設(shè)，xy圖2.2求證：證明：，兩焦點(diǎn)為，，在雙曲線上，則過點(diǎn)的切線，切線與軸交于。由雙曲線的焦半徑公式得：，雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，故故，∴切線為之角分線。預(yù)備定理3.