動(dòng)態(tài)法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)報(bào)告

動(dòng)態(tài)法測(cè)楊氏模量實(shí)驗(yàn)報(bào)告1楊氏模量及其測(cè)量概述彈性模量是描述固體材料抵抗形變能力的物理量[1]。其只取決于固體材料本身的物理性質(zhì)，外界環(huán)境對(duì)其沒有影響。彈性模量越大，固體材料越不容易形變。各項(xiàng)同性物體的彈性模量包括拉壓彈性模量E、剪切彈性模量G、體積彈性模量K、泊松比μ以及拉梅彈性常數(shù)λ[2]等。1727年，歐拉提出了類似彈性模量的“模高”ω和“模重”h的概念，分別定義為ω=EA和h=E/ρg，其中，E表示材料的彈性模量；A為桿件的橫截面積；ρ為材料密度；g為重力加速度。1807年，托馬斯·楊(ThomasYoung)出版了《自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)教程》一書，其中提到：“任一材料的彈性模量，是同一材料構(gòu)成的一個(gè)柱體，在柱體底部能夠產(chǎn)生一定的壓力，該壓力與引起柱體某一壓縮度的重量之比，等于柱體長(zhǎng)度與其縮短量之比”，這里提出的彈性模量概念與歐拉提出的“模重”類似。若將“柱體”理解為“單位底面積柱體的重量”，則他的論述就是現(xiàn)在的彈性模量定義,故而彈性模量又被稱為“楊氏彈性模量”[3]，簡(jiǎn)稱為楊氏模量。一方面，楊氏模量是研究微機(jī)械材料[4]、石墨烯材料、金屬?gòu)?fù)合材料[5]、混凝土[6]、納米材料[7]、陶瓷[8]、橡膠[9]等材料力學(xué)性能的關(guān)鍵參數(shù)。隨著工業(yè)材料的發(fā)展，楊氏模量的應(yīng)用變得必不可少，同時(shí)對(duì)楊氏模量的測(cè)量精度要求也越來(lái)越高。另一方面，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，楊氏彈性模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)，國(guó)內(nèi)約有87.8%的高校將其作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目之一[10]。從2019年開始，該實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目也成為了全國(guó)高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程青年教師講課比賽實(shí)驗(yàn)題目規(guī)范表中的20個(gè)題目之一。因此，楊氏彈性模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)在當(dāng)前國(guó)內(nèi)高校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中的重要性不言而喻。目前，國(guó)內(nèi)不同高校的物理實(shí)驗(yàn)教材，采用了不同的實(shí)驗(yàn)原理來(lái)進(jìn)行固體材料楊氏模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)，已報(bào)道的文獻(xiàn)材料中也有很多關(guān)于楊氏模量的測(cè)量及改進(jìn)方法。然而，對(duì)該實(shí)驗(yàn)測(cè)量的系統(tǒng)歸納整理還未見報(bào)道。因此，為了能夠?qū)@個(gè)具有重要應(yīng)用價(jià)值的、開設(shè)范圍較廣的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目進(jìn)行一個(gè)系統(tǒng)梳理，以期為國(guó)內(nèi)高校的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供參考，并為后幾屆計(jì)劃參加全國(guó)高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程(實(shí)驗(yàn))講課培訓(xùn)的青年教師提供借鑒作用，本文系統(tǒng)地綜述了目前已報(bào)道的楊氏模量實(shí)驗(yàn)測(cè)量的原理和方法，分析了這些方法的測(cè)量精度及優(yōu)缺點(diǎn)等。2楊氏模量的測(cè)量方法目前，楊氏模量的測(cè)量方法通常分為以下4種：靜態(tài)拉伸法、動(dòng)態(tài)共振法、梁彎曲法以及超聲波測(cè)量法。其中，靜態(tài)拉伸法又可分為光學(xué)測(cè)量和電學(xué)測(cè)量?jī)纱箢?。?dòng)態(tài)共振法又可分為普通共振法、負(fù)載動(dòng)態(tài)法、激光雙光柵法等幾類。梁彎曲法可分為激光光杠桿放大測(cè)量、單縫衍射法、霍爾傳感器測(cè)量法及光纖布拉格傳感器法等。2.1靜態(tài)拉伸法靜態(tài)拉伸法主要適用于金屬絲、頭發(fā)絲等可拉伸絲狀材料，其測(cè)量原理是對(duì)被測(cè)材料施加一個(gè)使其產(chǎn)生伸長(zhǎng)形變的力，通過(guò)測(cè)量材料受力后的微小伸長(zhǎng)量，最終使用定義公式來(lái)計(jì)算楊氏模量。例如，在被測(cè)材料兩端加上與桿平行的力F，桿的長(zhǎng)度將由自然長(zhǎng)度L變?yōu)長(zhǎng)+ΔL，這種應(yīng)變以長(zhǎng)度的相對(duì)增量ΔL/L來(lái)表征。若被測(cè)材料的截面積為S，則根據(jù)胡克定律,在彈性限度內(nèi),應(yīng)力的大小與應(yīng)變成正比，即：(1)式(1)中，E就是被測(cè)材料的楊氏模量值[11]。從式(1)可以看出，如果要測(cè)量得到楊氏模量E的值，只需要測(cè)量得出F、S、ΔL、L即可。其中，最難測(cè)的物理量就是ΔL，因?yàn)槠淞恐捣秶浅Ｐ?，在通常的?shí)驗(yàn)條件下，僅為微米量級(jí)。因此，當(dāng)采用靜態(tài)拉伸法測(cè)量材料的楊氏模量時(shí)，如何精確測(cè)量ΔL，就成為實(shí)驗(yàn)測(cè)量的關(guān)鍵。2.1.1光學(xué)測(cè)量法目前，針對(duì)ΔL的測(cè)量，光學(xué)測(cè)量法有光杠桿法[12-16]、莫爾條紋測(cè)量法[17]、等厚干涉法[18]、邁克耳孫干涉法[19,20]、雙縫干涉法[21]、數(shù)字激光散斑法[22,23]、數(shù)字全息比較法[24]、光纖傳感器法[25]、光柵衍射法[26]等。我們首先闡述光杠桿法的測(cè)量原理。在楊氏模量的測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，最普遍的測(cè)量ΔL的方法是光杠桿法。該方法同時(shí)也是目前國(guó)內(nèi)高校大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中最常使用的測(cè)量方法[27]。其測(cè)量原理是通過(guò)光杠桿放大微小位移的特點(diǎn)，測(cè)出材料受力時(shí)的伸長(zhǎng)量。光杠桿的測(cè)量原理圖如圖1所示[12]，當(dāng)被測(cè)材料受力伸長(zhǎng)導(dǎo)致的α角度很小時(shí)，可以得出如下近似：(2)其中，b為光杠桿前后足的垂直距離；D為標(biāo)尺到光杠桿小平面鏡中心的距離；Δn為望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺讀數(shù)的改變量。從式(2)可以看出，光杠桿測(cè)量ΔL的原理，實(shí)際上就是通過(guò)D?b這一實(shí)驗(yàn)設(shè)置，將微小伸長(zhǎng)量ΔL進(jìn)行光學(xué)放大后測(cè)量得出。根據(jù)式(1)，若被測(cè)材料為一直徑為d的圓柱體，則楊氏模量測(cè)量的理論公式可寫為(3)將式(2)代入式(3)中可得光杠桿法測(cè)量楊氏模量的實(shí)際公式為(4)例如，文獻(xiàn)[12]利用光杠桿法測(cè)得典型的鋼絲的楊氏模量值為：E=2.10×1011Pa，相對(duì)不確定度為uE/E=5.7%。光杠桿法不僅可以測(cè)量金屬絲材料，也可對(duì)其他可拉伸材料進(jìn)行測(cè)量，例如，文獻(xiàn)[13]中測(cè)得某頭發(fā)絲的典型楊氏模量值為：E=4.40×1010Pa。但是，利用光杠桿的測(cè)量原理，進(jìn)行楊氏模量的測(cè)量時(shí)也有一些不利因素。基于此，有文獻(xiàn)給出了如下的一些改進(jìn)方法。首先，在實(shí)驗(yàn)裝置的調(diào)節(jié)方面，由于實(shí)驗(yàn)裝置中望遠(yuǎn)鏡的視角較小，需要調(diào)整光杠桿鏡面法線與望遠(yuǎn)鏡光軸重合，觀察由光杠桿的鏡面所反射的標(biāo)尺的像比較費(fèi)力，針對(duì)此問(wèn)題目前有以下兩種解決方案。例如，可將望遠(yuǎn)鏡換為激光器，使其發(fā)出的光束照射到光杠桿的平面反射鏡上，調(diào)節(jié)平面反射鏡鏡面使激光反射到標(biāo)尺上，直接讀取光斑在標(biāo)尺上的位置讀數(shù)即可[14]；或者，給標(biāo)尺加一個(gè)發(fā)光裝置，在標(biāo)尺背面靠近測(cè)量者的一面安裝可發(fā)某種光的光源，使其成為一個(gè)具有發(fā)光功能的LED標(biāo)尺，如發(fā)紅色的熒光管，紅光透過(guò)標(biāo)尺向外散射，使標(biāo)尺變成有別于周圍顏色的光源[15,16]。此時(shí)，在望遠(yuǎn)鏡中便可輕而易舉調(diào)節(jié)出標(biāo)尺在光杠桿鏡面里成的像，這樣就使標(biāo)尺讀數(shù)變得簡(jiǎn)單，減少了實(shí)驗(yàn)過(guò)程中調(diào)節(jié)儀器的時(shí)間。其次，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的測(cè)量方面，加減砝碼時(shí)下夾頭會(huì)隨著鋼絲晃動(dòng)，導(dǎo)致下夾頭上面的光杠桿會(huì)移位，有可能從支架平臺(tái)上掉落。針對(duì)此問(wèn)題的解決方案有以下兩種。例如，在下夾頭的適當(dāng)位置處打一個(gè)大小、深度適中的小槽，讓光杠桿的后支點(diǎn)剛好放在小槽里，這樣就避免了光杠桿隨著下夾頭的晃動(dòng)而移位[15]；或者，將砝碼換為拉力測(cè)力計(jì)，并增設(shè)一個(gè)固定于底板的定滑輪，增加減震效果[16]。由于光杠桿法在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中測(cè)量步驟繁瑣，讀數(shù)時(shí)需要“兩邊跑”，因此介紹下面幾種實(shí)驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)便的測(cè)量方法。第二種測(cè)量ΔL的方法是莫爾條紋法，圖2就是一個(gè)典型的原理圖[17]。其測(cè)量的原理是：莫爾條紋移動(dòng)距離與光柵移動(dòng)距離之間存在一定的線性關(guān)系，莫爾條紋的放大特性可以將物體的微小位移量轉(zhuǎn)化成莫爾條紋的移動(dòng)，從而便捷測(cè)量出材料的微小伸長(zhǎng)量ΔL，由文獻(xiàn)[17,28]知：微小伸長(zhǎng)量ΔL可表示為ΔL=NW=(Δn/B屏)W。其中，B屏為顯示屏上一個(gè)莫爾條紋對(duì)應(yīng)的寬度；W為光柵柵距；N為條紋移動(dòng)個(gè)數(shù)；Δn為被測(cè)材料受力時(shí)，莫爾條紋位移量。當(dāng)利用莫爾條紋原理測(cè)量得到ΔL的值后，最終可以得出楊氏模量的測(cè)量公式為(5)例如，文獻(xiàn)[17]就用這種方法測(cè)量了鋼絲的楊氏模量值，其測(cè)量值為E=1.961×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=8.16%。與光杠桿測(cè)量法相比，利用莫爾條紋法測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)儀器裝置簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)緊湊、占空間小、便于觀測(cè)、實(shí)驗(yàn)過(guò)程操作簡(jiǎn)便、安全且不會(huì)造成視覺疲勞。第三種測(cè)量ΔL的方法是等厚干涉測(cè)量法，其實(shí)驗(yàn)裝置圖由圖3所示[18]。該實(shí)驗(yàn)裝置將干涉儀兩個(gè)反射鏡(分別為M1、M2)的其中一片垂直固定到鋁片AB上，垂直的反射鏡經(jīng)過(guò)分光鏡所成的虛像與平行的鏡片不嚴(yán)格平行時(shí)可形成空氣楔形平板。鋁片上有三枚螺絲，其中只有一枚螺絲的為動(dòng)腳，將此螺絲放在楊氏模量測(cè)量?jī)x測(cè)量鋼絲長(zhǎng)度變化的地方，當(dāng)鋼絲長(zhǎng)度發(fā)生變化時(shí)，會(huì)使鋁片角度發(fā)生改變，最終導(dǎo)致條紋的寬度也發(fā)生變化。這種測(cè)量方法中，進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的輔助運(yùn)算，即可得到材料受力時(shí)的微小伸長(zhǎng)量：(6)其中，D是動(dòng)腳到水平面的高度;l為定腳到動(dòng)腳的距離;λn為實(shí)驗(yàn)使用單色光在空氣中的波長(zhǎng);

b1、b2分別為鋼絲伸長(zhǎng)前后從毛玻璃屏幕上測(cè)量到的兩相鄰明(暗)紋之間的距離。最后根據(jù)等厚條紋寬度變化，利用公式(7)即可求出楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[18]中，利用等厚干涉測(cè)量法實(shí)驗(yàn)測(cè)得鋼絲的楊氏模量為E=1.8×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=27.78%。盡管該測(cè)量方法的相對(duì)不確定度偏高，但其也有一定的優(yōu)點(diǎn)，如測(cè)量方法更加簡(jiǎn)單，無(wú)需用到顯微鏡，不用考慮顯微鏡的回程差等問(wèn)題，可以直接由肉眼進(jìn)行觀測(cè)。若需要更高精度的數(shù)據(jù)可選用電腦進(jìn)行圖像處理，也可作為一個(gè)綜合性實(shí)驗(yàn)納入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)。第四種測(cè)量ΔL的方法是利用邁克耳孫干涉原理，其測(cè)量原理圖如圖4所示[19]。當(dāng)金屬絲在外加拉力(裝置中水杯的重力)的作用下，帶動(dòng)靈敏杠桿的一端，靈敏杠桿的另一端帶動(dòng)邁克耳孫干涉儀的動(dòng)鏡M1，產(chǎn)生微小的移動(dòng)，進(jìn)而引起干涉圓環(huán)數(shù)目的變化，利用光電傳感器捕捉光信號(hào)進(jìn)行自動(dòng)記錄干涉圓環(huán)的“冒出”與“淹沒”，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)微小位移的測(cè)量：(8)其中，k為條紋的條數(shù)；n=a/b為放大倍數(shù)(支點(diǎn)O將杠桿分為長(zhǎng)度為a和b的兩部分，AO=a，BO=b)，λ為He-Ne激光的波長(zhǎng)。經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，楊氏模量的測(cè)量公式可寫為(9)其中，F(xiàn)為拉力傳感器測(cè)量到的水的重力。文獻(xiàn)[20]中對(duì)楊氏模量的測(cè)量也使用到了邁克耳孫干涉儀，不同的是其將經(jīng)過(guò)擴(kuò)束的半導(dǎo)體激光器更換為商用He-Ne激光器，使得干涉結(jié)果由同心圓環(huán)變成強(qiáng)度明暗變化的干涉，并將原本用于觀察干涉圓環(huán)的毛玻璃屏更換為強(qiáng)度探測(cè)器，該實(shí)驗(yàn)的測(cè)量公式為(10)其中，λ為入射激光的波長(zhǎng)；K=ΔN/F為單位拉力下探測(cè)到的干涉波峰(谷)的個(gè)數(shù)。實(shí)驗(yàn)所用的材料可能是黃銅的未知材料，其楊氏模量為E=1.588×1010Pa，相對(duì)不確定度uE/E=0.57%。該測(cè)量方法相對(duì)傳統(tǒng)方法精度高、數(shù)據(jù)處理方便，同時(shí)將大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常用的邁克耳孫干涉儀與楊氏模量的測(cè)量聯(lián)系起來(lái)，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，鍛煉學(xué)生的實(shí)驗(yàn)綜合能力。第五種測(cè)量ΔL的方法是雙縫干涉法，其測(cè)量原理圖如圖5所示[21]。這種方法的測(cè)量原理是將活動(dòng)雙縫裝置安裝在楊氏模量實(shí)驗(yàn)儀器的平臺(tái)上，鋼絲受力伸長(zhǎng)帶動(dòng)活動(dòng)雙縫下移，引起狹縫間寬度改變，干涉條紋發(fā)生變化。文獻(xiàn)[21]報(bào)道了ΔL的計(jì)算公式為(11)其中，s0、s1分別是加砝碼前后狹縫的寬度；Δx0為相鄰兩明(暗)紋間的距離；Δx1為加上砝碼后相鄰兩明(暗)紋間的距離；D為雙縫到屏的距離；λ為激光的波長(zhǎng)。利用如上所述的測(cè)量原理，最終得出楊氏模量的測(cè)量公式為(12)文獻(xiàn)[21]中，利用該原理實(shí)驗(yàn)測(cè)得鋼絲的楊氏模量為E=1.97×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=0.20%，該方法相對(duì)不確定度低，精度高，克服了光杠桿法讀數(shù)困難的缺點(diǎn)，簡(jiǎn)化了實(shí)驗(yàn)過(guò)程。第六種測(cè)量ΔL的方法為數(shù)字激光散斑法，其測(cè)量原理圖如圖6所示[22]。其測(cè)量ΔL的原理為：利用激光照射被測(cè)物品，激光通過(guò)樣品漫反射后在空間形成散斑圖像，利用圖像傳感器檢測(cè)散斑圖像，分析材料形變時(shí)散斑圖像的變化，從而計(jì)算出材料的楊氏模量，散斑測(cè)量系統(tǒng)被測(cè)物實(shí)際移動(dòng)位移d與圖像移動(dòng)像素n之間的關(guān)系為(13)其中，k=8.38×10-3mm/pix；這里的d就是鋼絲伸長(zhǎng)量ΔL。再根據(jù)式(3)即可計(jì)算出楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[22]利用此方法，實(shí)驗(yàn)測(cè)得鋼絲楊氏模量為E=2.13×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=8.92%。另外，文獻(xiàn)[23]也利用了散斑技術(shù)測(cè)量材料絲的楊氏模量，測(cè)量原理為：用光電成像器件記錄待測(cè)物體做微小面內(nèi)位移前后的散斑圖，通過(guò)數(shù)模轉(zhuǎn)換、Matlab疊加、傅里葉變換等過(guò)程，可觀察到楊氏干涉條紋，再進(jìn)行處理就可得到待測(cè)材料的位移信息，即數(shù)字散斑照相術(shù)。該文獻(xiàn)測(cè)量得到的金屬絲楊氏模量為E=2.1783×1011Pa，相對(duì)誤差為Er=8.915%。利用數(shù)字激光散斑法測(cè)量楊氏模量值的優(yōu)點(diǎn)是測(cè)量精度高、光路簡(jiǎn)單、易于操作、數(shù)據(jù)處理速度快等。第七種測(cè)量ΔL的方法是數(shù)字全息比較法，其測(cè)量原理圖如圖7所示[24]。通過(guò)全息法對(duì)鋁板在微小外力作用下所發(fā)生的微小形變量進(jìn)行測(cè)量，從而計(jì)算出其楊氏模量的值。實(shí)驗(yàn)中分別拍攝鋁板發(fā)生微小位移前后的圖片，并將其干涉圖樣通過(guò)電腦再現(xiàn)出來(lái)。最終，楊氏模量的測(cè)量公式可寫為(14)其中，L為鋁板長(zhǎng)度；b為鋁板寬度；Fy為自由端所施加的力；x為不同級(jí)數(shù)干涉暗紋所在處沿x軸方向的位置；α為拍攝記錄時(shí)入射光和反射光與位移方向的夾角。例如，文獻(xiàn)[25]利用這種方法測(cè)量得到鋁板的楊氏模量值為：E=7.48×1010Pa，相對(duì)不確定度uE/E=4.01%，相對(duì)誤差為3.9%。該方法相對(duì)于傳統(tǒng)光學(xué)全息法，不僅毋需化學(xué)試劑處理的繁瑣過(guò)程，縮短了測(cè)量時(shí)間，而且減少了由于傳統(tǒng)全息中曝光時(shí)間過(guò)長(zhǎng)外界環(huán)境干擾因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，提高了測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性。第八種測(cè)量ΔL的方法是光纖傳感器法。其測(cè)量原理圖如圖8所示[25]。由光纖傳感實(shí)驗(yàn)儀發(fā)射光纖發(fā)出的光照射到反射面上，經(jīng)反射面形成反射錐體，當(dāng)接收光纖在反射錐體內(nèi)，便能接收到反射光，因此一部分反射光由接收光纖傳回到光纖傳感實(shí)驗(yàn)儀的探測(cè)器上，經(jīng)過(guò)光電轉(zhuǎn)換元件將接收到的光信號(hào)轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，通過(guò)檢測(cè)反射光的強(qiáng)度變化，就能測(cè)出反射體的位移。這種方法中，通過(guò)將金屬絲作為反射體，則可測(cè)量出拉伸下的微小位移量，從而通過(guò)公式(15)

來(lái)測(cè)量得到楊氏模量值。其中，L為金屬絲長(zhǎng)度；g為重力加速度。例如，文獻(xiàn)[25]利用這種方法測(cè)量鋼絲的楊氏模量值為E=1.97×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=2.03%。該方法的優(yōu)點(diǎn)是精確度高，實(shí)驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)單方便，數(shù)字化儀器可使讀數(shù)更精確，進(jìn)而減小實(shí)驗(yàn)誤差。第九種測(cè)量ΔL的方法是光柵衍射法，其實(shí)驗(yàn)原理圖如圖9所示[26]，該實(shí)驗(yàn)將待測(cè)材料與光源相連接，初始時(shí)光柵第k級(jí)衍射光與望遠(yuǎn)鏡平行，而待測(cè)材料產(chǎn)生微小伸長(zhǎng)量ΔL的同時(shí)光源發(fā)生小角度Δθ的轉(zhuǎn)動(dòng)，要使光柵第k級(jí)衍射光再次與望遠(yuǎn)鏡平行，則需要光柵轉(zhuǎn)動(dòng)α，可得到Δθ與α的關(guān)系：(16)其中，θ為初始入射光與水平方向的夾角。從而測(cè)出待測(cè)材料的微小伸長(zhǎng)量ΔL：(17)該方法設(shè)計(jì)新穎，可行性較高，而且對(duì)于微小角的放大倍數(shù)很高，大大提高實(shí)驗(yàn)精確性。以上，即為目前報(bào)道的9種利用光學(xué)測(cè)量原理實(shí)現(xiàn)的楊氏模量測(cè)量實(shí)驗(yàn)概況。結(jié)合部分已報(bào)道了測(cè)量精度的文獻(xiàn)，表1給出了針對(duì)楊氏模量測(cè)量相對(duì)不確定度及其優(yōu)缺點(diǎn)的比較匯總，由表中可看出拉伸法測(cè)量楊氏模量的普遍缺陷是其實(shí)驗(yàn)裝置穩(wěn)定性低，鋼絲伸長(zhǎng)存在延遲導(dǎo)致誤差。從表1中可以看出，文獻(xiàn)[21]報(bào)道的雙縫干涉法的相對(duì)不確定度uE/E最低，可達(dá)到0.20%，其次是文獻(xiàn)[20]報(bào)道的邁克耳孫干涉法，為0.57%；文獻(xiàn)[20]報(bào)道的等厚干涉法的相對(duì)不確定度最高，達(dá)到了27.78%。

從實(shí)驗(yàn)操作方面而言，雙縫干涉法與光纖傳感器法都較為簡(jiǎn)便，實(shí)驗(yàn)步驟清晰。在實(shí)驗(yàn)構(gòu)想方面，除了光杠桿法，其他測(cè)量方法都將微小量的放大與其他光學(xué)技術(shù)(實(shí)驗(yàn))結(jié)合在一起，在簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)步驟的同時(shí)，又具有綜合性，可進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，增強(qiáng)學(xué)生綜合素質(zhì)。2.1.2電學(xué)測(cè)量法電學(xué)測(cè)量法的主要原理是利用金屬的導(dǎo)電性來(lái)進(jìn)行ΔL的測(cè)量，因此電學(xué)測(cè)量法只適用于金屬絲材料，目前報(bào)道的有直流雙臂電橋法[29]、惠斯通電橋法[30]、RLC串聯(lián)交流諧振法[31]、非平行板電容法[32]等。第一種測(cè)量方法是直流雙臂電橋法，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖10所示[29]。將金屬絲接入雙臂電橋的一路橋臂中充當(dāng)該橋臂的電阻，其他都接入已知電阻，則可以通過(guò)公式Rx=R1Rn/R2來(lái)計(jì)算出金屬絲的電阻值，又由于“同一材料的導(dǎo)體，其電阻與導(dǎo)體的長(zhǎng)度成正比，與導(dǎo)體的橫截面積成反比”[33]，即公式ΔR=ρΔL/A，當(dāng)金屬絲發(fā)生微小伸長(zhǎng)時(shí)，其電阻也會(huì)改變，由于金屬絲電阻已通過(guò)雙臂電橋簡(jiǎn)單測(cè)出，進(jìn)而其楊氏模量測(cè)量公式為(18)其中，ρ為導(dǎo)電系數(shù)；ΔR為電阻變化量。文獻(xiàn)[29]中測(cè)得碳鋼的楊氏模量值為E=2.00×1011Pa。該測(cè)量方法的優(yōu)點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)方法簡(jiǎn)便，測(cè)量數(shù)據(jù)符合精度要求；將金屬絲楊氏模量的測(cè)定實(shí)驗(yàn)與雙臂電橋測(cè)微小值電阻實(shí)驗(yàn)綜合成一個(gè)實(shí)驗(yàn)，保證了實(shí)驗(yàn)質(zhì)量，提高了實(shí)驗(yàn)效率,豐富了實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，開闊了學(xué)生的視野。但其缺點(diǎn)是，實(shí)際上金屬絲伸長(zhǎng)時(shí)其長(zhǎng)度和橫截面積均改變，而該實(shí)驗(yàn)中假設(shè)其伸長(zhǎng)前后面積不變，會(huì)造成一定誤差。第二種測(cè)量ΔL的方法是惠斯通電橋法，其電路原理如圖11所示[30]：其原理是將金屬絲接入電路作為惠斯通電橋的一路橋臂，根據(jù)電阻的微小變化測(cè)得金屬絲的微小伸長(zhǎng)，該方法下的楊氏模量計(jì)算公式為(19)其中，KS為應(yīng)變片絲柵的靈敏系數(shù)；R10是鋼絲的初始電阻；US是電源初始電壓；R2為電橋中鋼絲的相鄰橋臂；ΔUBD為電橋兩端點(diǎn)間的電壓變化量。該實(shí)驗(yàn)引入了應(yīng)變片，使得鋼絲的形變轉(zhuǎn)換成應(yīng)變片的電阻值，從而將電阻的變化放大，待測(cè)電壓的值變大，文獻(xiàn)[30]測(cè)出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果為E=2.13×1011Pa。利用該原理測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是：(1)實(shí)驗(yàn)考慮到金屬絲拉長(zhǎng)后長(zhǎng)度、面積對(duì)電阻都有影響，數(shù)據(jù)精確，誤差小；(2)實(shí)驗(yàn)使用應(yīng)變片來(lái)放大電阻變化，提高精確度。第三種測(cè)量ΔL的方法是采用RLC串聯(lián)諧振法，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖12所示[31]。將RLC串聯(lián)交流諧振電路的電感替換成自制的密繞長(zhǎng)螺線管，將待測(cè)金屬絲穿過(guò)磁棒，并用夾子將磁棒固定在金屬絲適當(dāng)位置，并保持磁棒在螺線管中下部位置，且將螺線管豎直放置。當(dāng)金屬受外力時(shí)，金屬絲會(huì)產(chǎn)生細(xì)微伸長(zhǎng)，進(jìn)而帶動(dòng)磁棒在長(zhǎng)螺線管內(nèi)伸長(zhǎng)，文獻(xiàn)[34]報(bào)道了電感變化量與螺線長(zhǎng)度變化量的關(guān)系：(20)其中，ΔL0為電感變化量；ΔL為螺線長(zhǎng)度變化；Δf0為諧振頻率變化量；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為相對(duì)磁導(dǎo)率；n0為螺線管線圈匝數(shù)；S為磁棒的截面積。利用該原理測(cè)量楊氏模量的公式可寫為(21)其優(yōu)點(diǎn)是原理簡(jiǎn)單、精度高；有較強(qiáng)的抗干擾能力，穩(wěn)定性好。第四種測(cè)量ΔL的方法為非平行板電容器法，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖13所示[32]。其原理是使用3個(gè)電容器板構(gòu)成兩個(gè)電容器，其中上下兩板平行且固定，中間板可繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)些許角度，初始位置與上下板平行，將鋼絲下端與中間板端點(diǎn)連接，鋼絲發(fā)生微小伸長(zhǎng)時(shí)，電容板會(huì)有小角度轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量電容改變量即可計(jì)算出鋼絲的伸長(zhǎng)量：(22)其中，D為電容器轉(zhuǎn)軸到鋼絲的距離；θ為平行板轉(zhuǎn)動(dòng)角度。最終利用該原理測(cè)量楊氏模量的公式可寫為(23)文獻(xiàn)[32]中對(duì)鋼絲的測(cè)量結(jié)果為E=1.98×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=21.72%。盡管測(cè)量得到的相對(duì)不確定度較高，但其優(yōu)點(diǎn)是測(cè)量方法新穎，結(jié)合了非平行板電容器，知識(shí)涉及廣泛，較有綜合性。以上為目前利用電學(xué)測(cè)量原理進(jìn)行楊氏模量測(cè)量的方法概況，上述4種方法中，只有非平行板電容器法[32]給出了相對(duì)不確定度：uE/E=21.72%，其相對(duì)不確定度偏高，值得繼續(xù)研究改進(jìn)。其余3種方法都利用了常用的電橋、電感原理，適合作為教學(xué)實(shí)驗(yàn)開展。在實(shí)驗(yàn)操作方面，電學(xué)測(cè)量法比光學(xué)測(cè)量法更加簡(jiǎn)便，尤其是在數(shù)據(jù)處理方面，不需要處理過(guò)多數(shù)據(jù)，且電學(xué)測(cè)量穩(wěn)定性更好。2.2動(dòng)態(tài)共振法除了靜態(tài)拉伸法測(cè)量楊氏模量值外，動(dòng)態(tài)共振法也是一種普遍使用的楊氏模量測(cè)量法，多適用于棒狀材料等難以拉伸的脆性材料，文獻(xiàn)[35]根據(jù)固體材料的動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)下楊氏模量的測(cè)量公式：(24)其中，L為材料絲的長(zhǎng)度；d為材料絲的直徑；m為質(zhì)量；f為固體材料的固有頻率。根據(jù)式(24)可知，材料的固有頻率和楊氏模量有關(guān)。由于固有頻率與共振頻率數(shù)值相等，因而利用動(dòng)態(tài)共振法測(cè)量楊氏模量的關(guān)鍵為用各種不同方法測(cè)量材料的共振頻率，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)材料楊氏模量的測(cè)量。一般動(dòng)態(tài)共振法的實(shí)驗(yàn)裝置如圖14所示[35]。其實(shí)驗(yàn)原理為：給試樣加機(jī)械振動(dòng)，當(dāng)信號(hào)發(fā)生器的頻率不等于試樣的共振頻率時(shí)，試樣不發(fā)生共振，示波器上幾乎沒有信號(hào)波形或波形很小。當(dāng)信號(hào)發(fā)生器的頻率等于試樣的共振頻率時(shí)，試樣發(fā)生共振，示波器上的波形突然增大，這時(shí)讀出的頻率就是試樣在該溫度下的共振頻率[35]。改變支撐點(diǎn)位置，記錄不同位置的共振頻率，用外延法或內(nèi)插法找出節(jié)點(diǎn)處共振頻率，利用式(24)便可計(jì)算出試樣的楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[36]利用智能手機(jī)上的SpectrumAnalyzer軟件來(lái)進(jìn)行共振頻率的讀數(shù)，測(cè)得銅棒的楊氏模量E=10.45×1010Pa，相對(duì)不確定度uE/E=3.83%，該方法增加了實(shí)驗(yàn)的可操作性和趣味性，簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)儀器，減小實(shí)驗(yàn)操作的難度。除了如上所述一般的測(cè)量方法，還有幾種較為創(chuàng)新的動(dòng)態(tài)測(cè)量法。首先是激光雙光柵法測(cè)固體材料的共振頻率，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖15所示[37]，主要原理是使激光器與銅棒產(chǎn)生共振，激光通過(guò)一固定光柵和與銅棒相連的動(dòng)光柵，發(fā)生衍射，用示波器接收并處理衍射光，示波器的光拍數(shù)則對(duì)應(yīng)輸出頻率，一個(gè)周期內(nèi)拍頻數(shù)目最多時(shí)的頻率，即為共振頻率，再通過(guò)式(24)計(jì)算出黃銅棒的楊氏模量E=1.109×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=5.6%。其次是負(fù)載動(dòng)態(tài)法，其直接提出了細(xì)桿橫振動(dòng)普適的定解問(wèn)題，通過(guò)建立理想振動(dòng)模型，導(dǎo)出了楊氏模量的計(jì)算公式[38]：(25)其中，l是細(xì)桿的長(zhǎng)度；ρ是桿的體密度；f是固有頻率；h是桿的厚度。該方法通過(guò)在桿上不同位置加載砝碼或同一位置加載不同質(zhì)量的砝碼來(lái)改變桿的共振頻率，通過(guò)光電門輸出信號(hào)到示波器來(lái)測(cè)量共振頻率，從而根據(jù)式(25)求出桿的楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[38]中測(cè)得鐵桿的楊氏模量E=1.75×1011Pa，相對(duì)不確定度uE/E=1.14%。利用負(fù)載動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是測(cè)量精度較高，相比傳統(tǒng)動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量，該方法不需要改變樣品長(zhǎng)度，只需要改變負(fù)載的位置和質(zhì)量，在測(cè)量大型桿或不易改變桿的長(zhǎng)度時(shí)具有較大的優(yōu)勢(shì)。但其也有缺點(diǎn)，例如該方法的推導(dǎo)過(guò)程比較復(fù)雜且專業(yè)性過(guò)高，不太適合大多數(shù)大學(xué)生在物理實(shí)驗(yàn)中理解使用。以上為目前利用動(dòng)態(tài)法測(cè)量楊氏模量的方法概況，表2為數(shù)據(jù)匯總，從數(shù)據(jù)精確度方面，負(fù)載動(dòng)態(tài)法[38]精確度最高，相對(duì)不確定度為1.14%；實(shí)驗(yàn)方法上，手機(jī)軟件記錄數(shù)據(jù)[36]十分新穎，數(shù)據(jù)精確度也較高。相比于靜態(tài)拉伸法，動(dòng)態(tài)共振法可以避免載荷大、存在弛豫過(guò)程等情況，且測(cè)量穩(wěn)定性更高，實(shí)驗(yàn)儀器更簡(jiǎn)化。2.3梁彎曲法對(duì)于片狀或塊狀材料，可采用梁彎曲法來(lái)進(jìn)行楊氏模量的測(cè)量。目前，已報(bào)道的彎曲法測(cè)量楊氏模量的方法主要有光纖布拉格光柵測(cè)量法[39]、激光光杠桿測(cè)量法[40]、霍爾位置傳感器法[41]、單縫衍射法[42,43]等。光纖布拉格光柵測(cè)量法主要使用到了FBG(纖芯折射率沿光纖軸向呈周期變化的光柵)，實(shí)驗(yàn)原理如圖16所示[39]。將FBG傳感器粘到待測(cè)金屬片下面，使用三點(diǎn)彎曲法使待測(cè)材料產(chǎn)生微小形變，從而通過(guò)測(cè)量該形變進(jìn)行楊氏模量的測(cè)量：(26)其中，a、b為壓力施加點(diǎn)與金屬片兩端的距離，a、b可取任意值；λB為布拉格中心反射波長(zhǎng)；s為應(yīng)變片粘貼位置到左端點(diǎn)的距離；k為光柵的應(yīng)力靈敏系數(shù)。文獻(xiàn)[39]使用該方法測(cè)得銅梁的楊氏模量E=1.10676×1011Pa，相對(duì)誤差約為Er=0.6%。采用這種方法測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是測(cè)量精度高，且具有普適性，可測(cè)量任意剛性固體材料的楊氏模量。激光光杠桿測(cè)量法是用光杠桿的放大原理將材料的微小形變放大進(jìn)行測(cè)量，實(shí)驗(yàn)裝置可如圖17所示[40]，通過(guò)添加砝碼使測(cè)試材料發(fā)生彎曲，從而帶動(dòng)平面鏡支點(diǎn)下移，使原本與水平光束垂直的平面鏡發(fā)生傾斜，則鏡面反射到墻上的激光光斑將隨之上移，通過(guò)光斑的位置變化計(jì)算實(shí)際的微小位移量，從而推導(dǎo)出楊氏模量的測(cè)量公式為(27)其中，a為梁的厚度；b為梁的寬度；d為刀口間距離；k是利用y=A+kM擬合而成的，M為砝碼質(zhì)量。文獻(xiàn)[40]使用該方法測(cè)得鑄鐵的楊氏模量E=1.874×1011Pa。該實(shí)驗(yàn)運(yùn)用了激光器，比傳統(tǒng)測(cè)量方法簡(jiǎn)便，操作直觀、準(zhǔn)確、實(shí)驗(yàn)率高。霍爾位置傳感器測(cè)量法運(yùn)用了霍爾位置器測(cè)量微小位移的原理，實(shí)驗(yàn)裝置如圖18(b)所示[41]，將厚為a、寬為b的金屬板放在相距為d的二刀口上(如圖18(a)所示)，在金屬板上二刀口的中點(diǎn)處掛上質(zhì)量為m的砝碼，板被壓彎，假設(shè)砝碼處下降ΔZ，即金屬板的微小形變量，使用霍爾位置傳感器來(lái)測(cè)量：(28)若dB/dZ為常數(shù)，ΔUH與ΔZ成正比。即當(dāng)位移量較小(<2mm)時(shí)，霍爾電勢(shì)差與位移量之間存在一一對(duì)應(yīng)的線性關(guān)系。結(jié)合梁彎曲的力學(xué)推導(dǎo)公式，待測(cè)材料彎曲后的楊氏模量公式可寫為(29)文獻(xiàn)[41]使用該方法的測(cè)得鑄鐵的楊氏模量E=1.846×1011Pa，相對(duì)誤差為Er=1.7%。利用該方法測(cè)量楊氏模量的優(yōu)點(diǎn)是，精確度較高，并且將楊氏模量的測(cè)量與霍爾位置傳感器結(jié)合起來(lái)，可提高學(xué)生的知識(shí)綜合能力。將單縫衍射法和梁彎曲法相結(jié)合也是測(cè)量材料楊氏模量的方法之一，其實(shí)驗(yàn)裝置如圖19所示[42]，測(cè)量原理是利用自制單縫裝置將梁彎曲產(chǎn)生的微小形變轉(zhuǎn)化為狹縫的縫寬變化，通過(guò)測(cè)量衍射條紋的變化得到負(fù)載不同時(shí)的玻璃板的微小形變，進(jìn)而得出樣品的楊氏模量：(30)其中，a、b分別為待測(cè)材料的厚度和寬度；ΔZ為玻璃板中心的撓度；d為玻璃板兩支撐點(diǎn)之間的距離。文獻(xiàn)[42]通過(guò)該方法測(cè)得玻璃板的楊氏模量為E=6.69×1010Pa，其相對(duì)誤差為Er=6.69%。另外，文獻(xiàn)[43]也利用該種方法測(cè)量了金屬棒的楊氏模量E=1.008×1011Pa，相對(duì)誤差Er=4.45%，實(shí)驗(yàn)較為準(zhǔn)確地測(cè)量了材料的楊氏模量，拓展豐富了測(cè)量楊氏模量的方法，培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)自主創(chuàng)新的思維。以上為目前利用梁彎曲法測(cè)量楊氏模量的方法概況，由于這幾篇文獻(xiàn)中都未提及相對(duì)不確定度，則用相對(duì)誤差來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)精確度分析(如表3所示)，可看出光纖布拉格光柵法的相對(duì)誤差最低，僅有0.6%；在實(shí)驗(yàn)操作方面，激光光杠桿的操