動態(tài)法測楊氏模量實驗報告

動態(tài)法測楊氏模量實驗報告1楊氏模量及其測量概述彈性模量是描述固體材料抵抗形變能力的物理量[1]。其只取決于固體材料本身的物理性質(zhì)，外界環(huán)境對其沒有影響。彈性模量越大，固體材料越不容易形變。各項同性物體的彈性模量包括拉壓彈性模量E、剪切彈性模量G、體積彈性模量K、泊松比μ以及拉梅彈性常數(shù)λ[2]等。1727年，歐拉提出了類似彈性模量的“模高”ω和“模重”h的概念，分別定義為ω=EA和h=E/ρg，其中，E表示材料的彈性模量；A為桿件的橫截面積；ρ為材料密度；g為重力加速度。1807年，托馬斯·楊(ThomasYoung)出版了《自然哲學(xué)與機械技術(shù)教程》一書，其中提到：“任一材料的彈性模量，是同一材料構(gòu)成的一個柱體，在柱體底部能夠產(chǎn)生一定的壓力，該壓力與引起柱體某一壓縮度的重量之比，等于柱體長度與其縮短量之比”，這里提出的彈性模量概念與歐拉提出的“模重”類似。若將“柱體”理解為“單位底面積柱體的重量”，則他的論述就是現(xiàn)在的彈性模量定義,故而彈性模量又被稱為“楊氏彈性模量”[3]，簡稱為楊氏模量。一方面，楊氏模量是研究微機械材料[4]、石墨烯材料、金屬復(fù)合材料[5]、混凝土[6]、納米材料[7]、陶瓷[8]、橡膠[9]等材料力學(xué)性能的關(guān)鍵參數(shù)。隨著工業(yè)材料的發(fā)展，楊氏模量的應(yīng)用變得必不可少，同時對楊氏模量的測量精度要求也越來越高。另一方面，據(jù)不完全統(tǒng)計，楊氏彈性模量測量實驗，國內(nèi)約有87.8%的高校將其作為大學(xué)物理實驗課程中的實驗項目之一[10]。從2019年開始，該實驗項目也成為了全國高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程青年教師講課比賽實驗題目規(guī)范表中的20個題目之一。因此，楊氏彈性模量測量實驗在當(dāng)前國內(nèi)高校大學(xué)物理實驗課程中的重要性不言而喻。目前，國內(nèi)不同高校的物理實驗教材，采用了不同的實驗原理來進(jìn)行固體材料楊氏模量測量實驗，已報道的文獻(xiàn)材料中也有很多關(guān)于楊氏模量的測量及改進(jìn)方法。然而，對該實驗測量的系統(tǒng)歸納整理還未見報道。因此，為了能夠?qū)@個具有重要應(yīng)用價值的、開設(shè)范圍較廣的大學(xué)物理實驗項目進(jìn)行一個系統(tǒng)梳理，以期為國內(nèi)高校的物理實驗教學(xué)提供參考，并為后幾屆計劃參加全國高等學(xué)校物理基礎(chǔ)課程(實驗)講課培訓(xùn)的青年教師提供借鑒作用，本文系統(tǒng)地綜述了目前已報道的楊氏模量實驗測量的原理和方法，分析了這些方法的測量精度及優(yōu)缺點等。2楊氏模量的測量方法目前，楊氏模量的測量方法通常分為以下4種：靜態(tài)拉伸法、動態(tài)共振法、梁彎曲法以及超聲波測量法。其中，靜態(tài)拉伸法又可分為光學(xué)測量和電學(xué)測量兩大類。動態(tài)共振法又可分為普通共振法、負(fù)載動態(tài)法、激光雙光柵法等幾類。梁彎曲法可分為激光光杠桿放大測量、單縫衍射法、霍爾傳感器測量法及光纖布拉格傳感器法等。2.1靜態(tài)拉伸法靜態(tài)拉伸法主要適用于金屬絲、頭發(fā)絲等可拉伸絲狀材料，其測量原理是對被測材料施加一個使其產(chǎn)生伸長形變的力，通過測量材料受力后的微小伸長量，最終使用定義公式來計算楊氏模量。例如，在被測材料兩端加上與桿平行的力F，桿的長度將由自然長度L變?yōu)長+ΔL，這種應(yīng)變以長度的相對增量ΔL/L來表征。若被測材料的截面積為S，則根據(jù)胡克定律,在彈性限度內(nèi),應(yīng)力的大小與應(yīng)變成正比，即：(1)式(1)中，E就是被測材料的楊氏模量值[11]。從式(1)可以看出，如果要測量得到楊氏模量E的值，只需要測量得出F、S、ΔL、L即可。其中，最難測的物理量就是ΔL，因為其量值范圍非常小，在通常的實驗條件下，僅為微米量級。因此，當(dāng)采用靜態(tài)拉伸法測量材料的楊氏模量時，如何精確測量ΔL，就成為實驗測量的關(guān)鍵。2.1.1光學(xué)測量法目前，針對ΔL的測量，光學(xué)測量法有光杠桿法[12-16]、莫爾條紋測量法[17]、等厚干涉法[18]、邁克耳孫干涉法[19,20]、雙縫干涉法[21]、數(shù)字激光散斑法[22,23]、數(shù)字全息比較法[24]、光纖傳感器法[25]、光柵衍射法[26]等。我們首先闡述光杠桿法的測量原理。在楊氏模量的測量實驗中，最普遍的測量ΔL的方法是光杠桿法。該方法同時也是目前國內(nèi)高校大學(xué)物理實驗中最常使用的測量方法[27]。其測量原理是通過光杠桿放大微小位移的特點，測出材料受力時的伸長量。光杠桿的測量原理圖如圖1所示[12]，當(dāng)被測材料受力伸長導(dǎo)致的α角度很小時，可以得出如下近似：(2)其中，b為光杠桿前后足的垂直距離；D為標(biāo)尺到光杠桿小平面鏡中心的距離；Δn為望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺讀數(shù)的改變量。從式(2)可以看出，光杠桿測量ΔL的原理，實際上就是通過D?b這一實驗設(shè)置，將微小伸長量ΔL進(jìn)行光學(xué)放大后測量得出。根據(jù)式(1)，若被測材料為一直徑為d的圓柱體，則楊氏模量測量的理論公式可寫為(3)將式(2)代入式(3)中可得光杠桿法測量楊氏模量的實際公式為(4)例如，文獻(xiàn)[12]利用光杠桿法測得典型的鋼絲的楊氏模量值為：E=2.10×1011Pa，相對不確定度為uE/E=5.7%。光杠桿法不僅可以測量金屬絲材料，也可對其他可拉伸材料進(jìn)行測量，例如，文獻(xiàn)[13]中測得某頭發(fā)絲的典型楊氏模量值為：E=4.40×1010Pa。但是，利用光杠桿的測量原理，進(jìn)行楊氏模量的測量時也有一些不利因素?；诖?，有文獻(xiàn)給出了如下的一些改進(jìn)方法。首先，在實驗裝置的調(diào)節(jié)方面，由于實驗裝置中望遠(yuǎn)鏡的視角較小，需要調(diào)整光杠桿鏡面法線與望遠(yuǎn)鏡光軸重合，觀察由光杠桿的鏡面所反射的標(biāo)尺的像比較費力，針對此問題目前有以下兩種解決方案。例如，可將望遠(yuǎn)鏡換為激光器，使其發(fā)出的光束照射到光杠桿的平面反射鏡上，調(diào)節(jié)平面反射鏡鏡面使激光反射到標(biāo)尺上，直接讀取光斑在標(biāo)尺上的位置讀數(shù)即可[14]；或者，給標(biāo)尺加一個發(fā)光裝置，在標(biāo)尺背面靠近測量者的一面安裝可發(fā)某種光的光源，使其成為一個具有發(fā)光功能的LED標(biāo)尺，如發(fā)紅色的熒光管，紅光透過標(biāo)尺向外散射，使標(biāo)尺變成有別于周圍顏色的光源[15,16]。此時，在望遠(yuǎn)鏡中便可輕而易舉調(diào)節(jié)出標(biāo)尺在光杠桿鏡面里成的像，這樣就使標(biāo)尺讀數(shù)變得簡單，減少了實驗過程中調(diào)節(jié)儀器的時間。其次，在實驗數(shù)據(jù)的測量方面，加減砝碼時下夾頭會隨著鋼絲晃動，導(dǎo)致下夾頭上面的光杠桿會移位，有可能從支架平臺上掉落。針對此問題的解決方案有以下兩種。例如，在下夾頭的適當(dāng)位置處打一個大小、深度適中的小槽，讓光杠桿的后支點剛好放在小槽里，這樣就避免了光杠桿隨著下夾頭的晃動而移位[15]；或者，將砝碼換為拉力測力計，并增設(shè)一個固定于底板的定滑輪，增加減震效果[16]。由于光杠桿法在實驗過程中測量步驟繁瑣，讀數(shù)時需要“兩邊跑”，因此介紹下面幾種實驗過程簡便的測量方法。第二種測量ΔL的方法是莫爾條紋法，圖2就是一個典型的原理圖[17]。其測量的原理是：莫爾條紋移動距離與光柵移動距離之間存在一定的線性關(guān)系，莫爾條紋的放大特性可以將物體的微小位移量轉(zhuǎn)化成莫爾條紋的移動，從而便捷測量出材料的微小伸長量ΔL，由文獻(xiàn)[17,28]知：微小伸長量ΔL可表示為ΔL=NW=(Δn/B屏)W。其中，B屏為顯示屏上一個莫爾條紋對應(yīng)的寬度；W為光柵柵距；N為條紋移動個數(shù)；Δn為被測材料受力時，莫爾條紋位移量。當(dāng)利用莫爾條紋原理測量得到ΔL的值后，最終可以得出楊氏模量的測量公式為(5)例如，文獻(xiàn)[17]就用這種方法測量了鋼絲的楊氏模量值，其測量值為E=1.961×1011Pa，相對不確定度uE/E=8.16%。與光杠桿測量法相比，利用莫爾條紋法測量楊氏模量的優(yōu)點是實驗儀器裝置簡單、結(jié)構(gòu)緊湊、占空間小、便于觀測、實驗過程操作簡便、安全且不會造成視覺疲勞。第三種測量ΔL的方法是等厚干涉測量法，其實驗裝置圖由圖3所示[18]。該實驗裝置將干涉儀兩個反射鏡(分別為M1、M2)的其中一片垂直固定到鋁片AB上，垂直的反射鏡經(jīng)過分光鏡所成的虛像與平行的鏡片不嚴(yán)格平行時可形成空氣楔形平板。鋁片上有三枚螺絲，其中只有一枚螺絲的為動腳，將此螺絲放在楊氏模量測量儀測量鋼絲長度變化的地方，當(dāng)鋼絲長度發(fā)生變化時，會使鋁片角度發(fā)生改變，最終導(dǎo)致條紋的寬度也發(fā)生變化。這種測量方法中，進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的輔助運算，即可得到材料受力時的微小伸長量：(6)其中，D是動腳到水平面的高度;l為定腳到動腳的距離;λn為實驗使用單色光在空氣中的波長;

b1、b2分別為鋼絲伸長前后從毛玻璃屏幕上測量到的兩相鄰明(暗)紋之間的距離。最后根據(jù)等厚條紋寬度變化，利用公式(7)即可求出楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[18]中，利用等厚干涉測量法實驗測得鋼絲的楊氏模量為E=1.8×1011Pa，相對不確定度uE/E=27.78%。盡管該測量方法的相對不確定度偏高，但其也有一定的優(yōu)點，如測量方法更加簡單，無需用到顯微鏡，不用考慮顯微鏡的回程差等問題，可以直接由肉眼進(jìn)行觀測。若需要更高精度的數(shù)據(jù)可選用電腦進(jìn)行圖像處理，也可作為一個綜合性實驗納入大學(xué)物理實驗。第四種測量ΔL的方法是利用邁克耳孫干涉原理，其測量原理圖如圖4所示[19]。當(dāng)金屬絲在外加拉力(裝置中水杯的重力)的作用下，帶動靈敏杠桿的一端，靈敏杠桿的另一端帶動邁克耳孫干涉儀的動鏡M1，產(chǎn)生微小的移動，進(jìn)而引起干涉圓環(huán)數(shù)目的變化，利用光電傳感器捕捉光信號進(jìn)行自動記錄干涉圓環(huán)的“冒出”與“淹沒”，即可實現(xiàn)對微小位移的測量：(8)其中，k為條紋的條數(shù)；n=a/b為放大倍數(shù)(支點O將杠桿分為長度為a和b的兩部分，AO=a，BO=b)，λ為He-Ne激光的波長。經(jīng)過推導(dǎo)，楊氏模量的測量公式可寫為(9)其中，F(xiàn)為拉力傳感器測量到的水的重力。文獻(xiàn)[20]中對楊氏模量的測量也使用到了邁克耳孫干涉儀，不同的是其將經(jīng)過擴束的半導(dǎo)體激光器更換為商用He-Ne激光器，使得干涉結(jié)果由同心圓環(huán)變成強度明暗變化的干涉，并將原本用于觀察干涉圓環(huán)的毛玻璃屏更換為強度探測器，該實驗的測量公式為(10)其中，λ為入射激光的波長；K=ΔN/F為單位拉力下探測到的干涉波峰(谷)的個數(shù)。實驗所用的材料可能是黃銅的未知材料，其楊氏模量為E=1.588×1010Pa，相對不確定度uE/E=0.57%。該測量方法相對傳統(tǒng)方法精度高、數(shù)據(jù)處理方便，同時將大學(xué)物理實驗中常用的邁克耳孫干涉儀與楊氏模量的測量聯(lián)系起來，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，鍛煉學(xué)生的實驗綜合能力。第五種測量ΔL的方法是雙縫干涉法，其測量原理圖如圖5所示[21]。這種方法的測量原理是將活動雙縫裝置安裝在楊氏模量實驗儀器的平臺上，鋼絲受力伸長帶動活動雙縫下移，引起狹縫間寬度改變，干涉條紋發(fā)生變化。文獻(xiàn)[21]報道了ΔL的計算公式為(11)其中，s0、s1分別是加砝碼前后狹縫的寬度；Δx0為相鄰兩明(暗)紋間的距離；Δx1為加上砝碼后相鄰兩明(暗)紋間的距離；D為雙縫到屏的距離；λ為激光的波長。利用如上所述的測量原理，最終得出楊氏模量的測量公式為(12)文獻(xiàn)[21]中，利用該原理實驗測得鋼絲的楊氏模量為E=1.97×1011Pa，相對不確定度uE/E=0.20%，該方法相對不確定度低，精度高，克服了光杠桿法讀數(shù)困難的缺點，簡化了實驗過程。第六種測量ΔL的方法為數(shù)字激光散斑法，其測量原理圖如圖6所示[22]。其測量ΔL的原理為：利用激光照射被測物品，激光通過樣品漫反射后在空間形成散斑圖像，利用圖像傳感器檢測散斑圖像，分析材料形變時散斑圖像的變化，從而計算出材料的楊氏模量，散斑測量系統(tǒng)被測物實際移動位移d與圖像移動像素n之間的關(guān)系為(13)其中，k=8.38×10-3mm/pix；這里的d就是鋼絲伸長量ΔL。再根據(jù)式(3)即可計算出楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[22]利用此方法，實驗測得鋼絲楊氏模量為E=2.13×1011Pa，相對不確定度uE/E=8.92%。另外，文獻(xiàn)[23]也利用了散斑技術(shù)測量材料絲的楊氏模量，測量原理為：用光電成像器件記錄待測物體做微小面內(nèi)位移前后的散斑圖，通過數(shù)模轉(zhuǎn)換、Matlab疊加、傅里葉變換等過程，可觀察到楊氏干涉條紋，再進(jìn)行處理就可得到待測材料的位移信息，即數(shù)字散斑照相術(shù)。該文獻(xiàn)測量得到的金屬絲楊氏模量為E=2.1783×1011Pa，相對誤差為Er=8.915%。利用數(shù)字激光散斑法測量楊氏模量值的優(yōu)點是測量精度高、光路簡單、易于操作、數(shù)據(jù)處理速度快等。第七種測量ΔL的方法是數(shù)字全息比較法，其測量原理圖如圖7所示[24]。通過全息法對鋁板在微小外力作用下所發(fā)生的微小形變量進(jìn)行測量，從而計算出其楊氏模量的值。實驗中分別拍攝鋁板發(fā)生微小位移前后的圖片，并將其干涉圖樣通過電腦再現(xiàn)出來。最終，楊氏模量的測量公式可寫為(14)其中，L為鋁板長度；b為鋁板寬度；Fy為自由端所施加的力；x為不同級數(shù)干涉暗紋所在處沿x軸方向的位置；α為拍攝記錄時入射光和反射光與位移方向的夾角。例如，文獻(xiàn)[25]利用這種方法測量得到鋁板的楊氏模量值為：E=7.48×1010Pa，相對不確定度uE/E=4.01%，相對誤差為3.9%。該方法相對于傳統(tǒng)光學(xué)全息法，不僅毋需化學(xué)試劑處理的繁瑣過程，縮短了測量時間，而且減少了由于傳統(tǒng)全息中曝光時間過長外界環(huán)境干擾因素對測量結(jié)果的影響，提高了測量結(jié)果的準(zhǔn)確性。第八種測量ΔL的方法是光纖傳感器法。其測量原理圖如圖8所示[25]。由光纖傳感實驗儀發(fā)射光纖發(fā)出的光照射到反射面上，經(jīng)反射面形成反射錐體，當(dāng)接收光纖在反射錐體內(nèi)，便能接收到反射光，因此一部分反射光由接收光纖傳回到光纖傳感實驗儀的探測器上，經(jīng)過光電轉(zhuǎn)換元件將接收到的光信號轉(zhuǎn)化為電信號，通過檢測反射光的強度變化，就能測出反射體的位移。這種方法中，通過將金屬絲作為反射體，則可測量出拉伸下的微小位移量，從而通過公式(15)

來測量得到楊氏模量值。其中，L為金屬絲長度；g為重力加速度。例如，文獻(xiàn)[25]利用這種方法測量鋼絲的楊氏模量值為E=1.97×1011Pa，相對不確定度uE/E=2.03%。該方法的優(yōu)點是精確度高，實驗過程簡單方便，數(shù)字化儀器可使讀數(shù)更精確，進(jìn)而減小實驗誤差。第九種測量ΔL的方法是光柵衍射法，其實驗原理圖如圖9所示[26]，該實驗將待測材料與光源相連接，初始時光柵第k級衍射光與望遠(yuǎn)鏡平行，而待測材料產(chǎn)生微小伸長量ΔL的同時光源發(fā)生小角度Δθ的轉(zhuǎn)動，要使光柵第k級衍射光再次與望遠(yuǎn)鏡平行，則需要光柵轉(zhuǎn)動α，可得到Δθ與α的關(guān)系：(16)其中，θ為初始入射光與水平方向的夾角。從而測出待測材料的微小伸長量ΔL：(17)該方法設(shè)計新穎，可行性較高，而且對于微小角的放大倍數(shù)很高，大大提高實驗精確性。以上，即為目前報道的9種利用光學(xué)測量原理實現(xiàn)的楊氏模量測量實驗概況。結(jié)合部分已報道了測量精度的文獻(xiàn)，表1給出了針對楊氏模量測量相對不確定度及其優(yōu)缺點的比較匯總，由表中可看出拉伸法測量楊氏模量的普遍缺陷是其實驗裝置穩(wěn)定性低，鋼絲伸長存在延遲導(dǎo)致誤差。從表1中可以看出，文獻(xiàn)[21]報道的雙縫干涉法的相對不確定度uE/E最低，可達(dá)到0.20%，其次是文獻(xiàn)[20]報道的邁克耳孫干涉法，為0.57%；文獻(xiàn)[20]報道的等厚干涉法的相對不確定度最高，達(dá)到了27.78%。

從實驗操作方面而言，雙縫干涉法與光纖傳感器法都較為簡便，實驗步驟清晰。在實驗構(gòu)想方面，除了光杠桿法，其他測量方法都將微小量的放大與其他光學(xué)技術(shù)(實驗)結(jié)合在一起，在簡化實驗步驟的同時，又具有綜合性，可進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，增強學(xué)生綜合素質(zhì)。2.1.2電學(xué)測量法電學(xué)測量法的主要原理是利用金屬的導(dǎo)電性來進(jìn)行ΔL的測量，因此電學(xué)測量法只適用于金屬絲材料，目前報道的有直流雙臂電橋法[29]、惠斯通電橋法[30]、RLC串聯(lián)交流諧振法[31]、非平行板電容法[32]等。第一種測量方法是直流雙臂電橋法，其實驗裝置如圖10所示[29]。將金屬絲接入雙臂電橋的一路橋臂中充當(dāng)該橋臂的電阻，其他都接入已知電阻，則可以通過公式Rx=R1Rn/R2來計算出金屬絲的電阻值，又由于“同一材料的導(dǎo)體，其電阻與導(dǎo)體的長度成正比，與導(dǎo)體的橫截面積成反比”[33]，即公式ΔR=ρΔL/A，當(dāng)金屬絲發(fā)生微小伸長時，其電阻也會改變，由于金屬絲電阻已通過雙臂電橋簡單測出，進(jìn)而其楊氏模量測量公式為(18)其中，ρ為導(dǎo)電系數(shù)；ΔR為電阻變化量。文獻(xiàn)[29]中測得碳鋼的楊氏模量值為E=2.00×1011Pa。該測量方法的優(yōu)點是實驗方法簡便，測量數(shù)據(jù)符合精度要求；將金屬絲楊氏模量的測定實驗與雙臂電橋測微小值電阻實驗綜合成一個實驗，保證了實驗質(zhì)量，提高了實驗效率,豐富了實驗內(nèi)容，開闊了學(xué)生的視野。但其缺點是，實際上金屬絲伸長時其長度和橫截面積均改變，而該實驗中假設(shè)其伸長前后面積不變，會造成一定誤差。第二種測量ΔL的方法是惠斯通電橋法，其電路原理如圖11所示[30]：其原理是將金屬絲接入電路作為惠斯通電橋的一路橋臂，根據(jù)電阻的微小變化測得金屬絲的微小伸長，該方法下的楊氏模量計算公式為(19)其中，KS為應(yīng)變片絲柵的靈敏系數(shù)；R10是鋼絲的初始電阻；US是電源初始電壓；R2為電橋中鋼絲的相鄰橋臂；ΔUBD為電橋兩端點間的電壓變化量。該實驗引入了應(yīng)變片，使得鋼絲的形變轉(zhuǎn)換成應(yīng)變片的電阻值，從而將電阻的變化放大，待測電壓的值變大，文獻(xiàn)[30]測出的實驗結(jié)果為E=2.13×1011Pa。利用該原理測量楊氏模量的優(yōu)點是：(1)實驗考慮到金屬絲拉長后長度、面積對電阻都有影響，數(shù)據(jù)精確，誤差?。?2)實驗使用應(yīng)變片來放大電阻變化，提高精確度。第三種測量ΔL的方法是采用RLC串聯(lián)諧振法，其實驗裝置如圖12所示[31]。將RLC串聯(lián)交流諧振電路的電感替換成自制的密繞長螺線管，將待測金屬絲穿過磁棒，并用夾子將磁棒固定在金屬絲適當(dāng)位置，并保持磁棒在螺線管中下部位置，且將螺線管豎直放置。當(dāng)金屬受外力時，金屬絲會產(chǎn)生細(xì)微伸長，進(jìn)而帶動磁棒在長螺線管內(nèi)伸長，文獻(xiàn)[34]報道了電感變化量與螺線長度變化量的關(guān)系：(20)其中，ΔL0為電感變化量；ΔL為螺線長度變化；Δf0為諧振頻率變化量；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為相對磁導(dǎo)率；n0為螺線管線圈匝數(shù)；S為磁棒的截面積。利用該原理測量楊氏模量的公式可寫為(21)其優(yōu)點是原理簡單、精度高；有較強的抗干擾能力，穩(wěn)定性好。第四種測量ΔL的方法為非平行板電容器法，其實驗裝置如圖13所示[32]。其原理是使用3個電容器板構(gòu)成兩個電容器，其中上下兩板平行且固定，中間板可繞中心轉(zhuǎn)動些許角度，初始位置與上下板平行，將鋼絲下端與中間板端點連接，鋼絲發(fā)生微小伸長時，電容板會有小角度轉(zhuǎn)動，測量電容改變量即可計算出鋼絲的伸長量：(22)其中，D為電容器轉(zhuǎn)軸到鋼絲的距離；θ為平行板轉(zhuǎn)動角度。最終利用該原理測量楊氏模量的公式可寫為(23)文獻(xiàn)[32]中對鋼絲的測量結(jié)果為E=1.98×1011Pa，相對不確定度uE/E=21.72%。盡管測量得到的相對不確定度較高，但其優(yōu)點是測量方法新穎，結(jié)合了非平行板電容器，知識涉及廣泛，較有綜合性。以上為目前利用電學(xué)測量原理進(jìn)行楊氏模量測量的方法概況，上述4種方法中，只有非平行板電容器法[32]給出了相對不確定度：uE/E=21.72%，其相對不確定度偏高，值得繼續(xù)研究改進(jìn)。其余3種方法都利用了常用的電橋、電感原理，適合作為教學(xué)實驗開展。在實驗操作方面，電學(xué)測量法比光學(xué)測量法更加簡便，尤其是在數(shù)據(jù)處理方面，不需要處理過多數(shù)據(jù)，且電學(xué)測量穩(wěn)定性更好。2.2動態(tài)共振法除了靜態(tài)拉伸法測量楊氏模量值外，動態(tài)共振法也是一種普遍使用的楊氏模量測量法，多適用于棒狀材料等難以拉伸的脆性材料，文獻(xiàn)[35]根據(jù)固體材料的動力學(xué)方程推導(dǎo)出動力學(xué)下楊氏模量的測量公式：(24)其中，L為材料絲的長度；d為材料絲的直徑；m為質(zhì)量；f為固體材料的固有頻率。根據(jù)式(24)可知，材料的固有頻率和楊氏模量有關(guān)。由于固有頻率與共振頻率數(shù)值相等，因而利用動態(tài)共振法測量楊氏模量的關(guān)鍵為用各種不同方法測量材料的共振頻率，進(jìn)而實現(xiàn)材料楊氏模量的測量。一般動態(tài)共振法的實驗裝置如圖14所示[35]。其實驗原理為：給試樣加機械振動，當(dāng)信號發(fā)生器的頻率不等于試樣的共振頻率時，試樣不發(fā)生共振，示波器上幾乎沒有信號波形或波形很小。當(dāng)信號發(fā)生器的頻率等于試樣的共振頻率時，試樣發(fā)生共振，示波器上的波形突然增大，這時讀出的頻率就是試樣在該溫度下的共振頻率[35]。改變支撐點位置，記錄不同位置的共振頻率，用外延法或內(nèi)插法找出節(jié)點處共振頻率，利用式(24)便可計算出試樣的楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[36]利用智能手機上的SpectrumAnalyzer軟件來進(jìn)行共振頻率的讀數(shù)，測得銅棒的楊氏模量E=10.45×1010Pa，相對不確定度uE/E=3.83%，該方法增加了實驗的可操作性和趣味性，簡化實驗儀器，減小實驗操作的難度。除了如上所述一般的測量方法，還有幾種較為創(chuàng)新的動態(tài)測量法。首先是激光雙光柵法測固體材料的共振頻率，其實驗裝置如圖15所示[37]，主要原理是使激光器與銅棒產(chǎn)生共振，激光通過一固定光柵和與銅棒相連的動光柵，發(fā)生衍射，用示波器接收并處理衍射光，示波器的光拍數(shù)則對應(yīng)輸出頻率，一個周期內(nèi)拍頻數(shù)目最多時的頻率，即為共振頻率，再通過式(24)計算出黃銅棒的楊氏模量E=1.109×1011Pa，相對不確定度uE/E=5.6%。其次是負(fù)載動態(tài)法，其直接提出了細(xì)桿橫振動普適的定解問題，通過建立理想振動模型，導(dǎo)出了楊氏模量的計算公式[38]：(25)其中，l是細(xì)桿的長度；ρ是桿的體密度；f是固有頻率；h是桿的厚度。該方法通過在桿上不同位置加載砝碼或同一位置加載不同質(zhì)量的砝碼來改變桿的共振頻率，通過光電門輸出信號到示波器來測量共振頻率，從而根據(jù)式(25)求出桿的楊氏模量。例如，文獻(xiàn)[38]中測得鐵桿的楊氏模量E=1.75×1011Pa，相對不確定度uE/E=1.14%。利用負(fù)載動態(tài)法測量楊氏模量的優(yōu)點是測量精度較高，相比傳統(tǒng)動態(tài)法測量楊氏模量，該方法不需要改變樣品長度，只需要改變負(fù)載的位置和質(zhì)量，在測量大型桿或不易改變桿的長度時具有較大的優(yōu)勢。但其也有缺點，例如該方法的推導(dǎo)過程比較復(fù)雜且專業(yè)性過高，不太適合大多數(shù)大學(xué)生在物理實驗中理解使用。以上為目前利用動態(tài)法測量楊氏模量的方法概況，表2為數(shù)據(jù)匯總，從數(shù)據(jù)精確度方面，負(fù)載動態(tài)法[38]精確度最高，相對不確定度為1.14%；實驗方法上，手機軟件記錄數(shù)據(jù)[36]十分新穎，數(shù)據(jù)精確度也較高。相比于靜態(tài)拉伸法，動態(tài)共振法可以避免載荷大、存在弛豫過程等情況，且測量穩(wěn)定性更高，實驗儀器更簡化。2.3梁彎曲法對于片狀或塊狀材料，可采用梁彎曲法來進(jìn)行楊氏模量的測量。目前，已報道的彎曲法測量楊氏模量的方法主要有光纖布拉格光柵測量法[39]、激光光杠桿測量法[40]、霍爾位置傳感器法[41]、單縫衍射法[42,43]等。光纖布拉格光柵測量法主要使用到了FBG(纖芯折射率沿光纖軸向呈周期變化的光柵)，實驗原理如圖16所示[39]。將FBG傳感器粘到待測金屬片下面，使用三點彎曲法使待測材料產(chǎn)生微小形變，從而通過測量該形變進(jìn)行楊氏模量的測量：(26)其中，a、b為壓力施加點與金屬片兩端的距離，a、b可取任意值；λB為布拉格中心反射波長；s為應(yīng)變片粘貼位置到左端點的距離；k為光柵的應(yīng)力靈敏系數(shù)。文獻(xiàn)[39]使用該方法測得銅梁的楊氏模量E=1.10676×1011Pa，相對誤差約為Er=0.6%。采用這種方法測量楊氏模量的優(yōu)點是測量精度高，且具有普適性，可測量任意剛性固體材料的楊氏模量。激光光杠桿測量法是用光杠桿的放大原理將材料的微小形變放大進(jìn)行測量，實驗裝置可如圖17所示[40]，通過添加砝碼使測試材料發(fā)生彎曲，從而帶動平面鏡支點下移，使原本與水平光束垂直的平面鏡發(fā)生傾斜，則鏡面反射到墻上的激光光斑將隨之上移，通過光斑的位置變化計算實際的微小位移量，從而推導(dǎo)出楊氏模量的測量公式為(27)其中，a為梁的厚度；b為梁的寬度；d為刀口間距離；k是利用y=A+kM擬合而成的，M為砝碼質(zhì)量。文獻(xiàn)[40]使用該方法測得鑄鐵的楊氏模量E=1.874×1011Pa。該實驗運用了激光器，比傳統(tǒng)測量方法簡便，操作直觀、準(zhǔn)確、實驗率高?；魻栁恢脗鞲衅鳒y量法運用了霍爾位置器測量微小位移的原理，實驗裝置如圖18(b)所示[41]，將厚為a、寬為b的金屬板放在相距為d的二刀口上(如圖18(a)所示)，在金屬板上二刀口的中點處掛上質(zhì)量為m的砝碼，板被壓彎，假設(shè)砝碼處下降ΔZ，即金屬板的微小形變量，使用霍爾位置傳感器來測量：(28)若dB/dZ為常數(shù)，ΔUH與ΔZ成正比。即當(dāng)位移量較小(<2mm)時，霍爾電勢差與位移量之間存在一一對應(yīng)的線性關(guān)系。結(jié)合梁彎曲的力學(xué)推導(dǎo)公式，待測材料彎曲后的楊氏模量公式可寫為(29)文獻(xiàn)[41]使用該方法的測得鑄鐵的楊氏模量E=1.846×1011Pa，相對誤差為Er=1.7%。利用該方法測量楊氏模量的優(yōu)點是，精確度較高，并且將楊氏模量的測量與霍爾位置傳感器結(jié)合起來，可提高學(xué)生的知識綜合能力。將單縫衍射法和梁彎曲法相結(jié)合也是測量材料楊氏模量的方法之一，其實驗裝置如圖19所示[42]，測量原理是利用自制單縫裝置將梁彎曲產(chǎn)生的微小形變轉(zhuǎn)化為狹縫的縫寬變化，通過測量衍射條紋的變化得到負(fù)載不同時的玻璃板的微小形變，進(jìn)而得出樣品的楊氏模量：(30)其中，a、b分別為待測材料的厚度和寬度；ΔZ為玻璃板中心的撓度；d為玻璃板兩支撐點之間的距離。文獻(xiàn)[42]通過該方法測得玻璃板的楊氏模量為E=6.69×1010Pa，其相對誤差為Er=6.69%。另外，文獻(xiàn)[43]也利用該種方法測量了金屬棒的楊氏模量E=1.008×1011Pa，相對誤差Er=4.45%，實驗較為準(zhǔn)確地測量了材料的楊氏模量，拓展豐富了測量楊氏模量的方法，培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識自主創(chuàng)新的思維。以上為目前利用梁彎曲法測量楊氏模量的方法概況，由于這幾篇文獻(xiàn)中都未提及相對不確定度，則用相對誤差來進(jìn)行數(shù)據(jù)精確度分析(如表3所示)，可看出光纖布拉格光柵法的相對誤差最低，僅有0.6%；在實驗操作方面，激光光杠桿的操