專題38 圓錐曲線常規(guī)解答題（原卷版）

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題38圓錐曲線常規(guī)解答題【考點預(yù)測】一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，通常將直線的方程代入圓錐曲線的方程，消去（也可以消去）得到關(guān)系一個變量的一元二次方程，，即，消去后得（1）當(dāng)時，即得到一個一元一次方程，則與相交，且只有一個交點，此時，若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線平行；若為拋物線，則直線與拋物線的對稱軸平行（2）當(dāng)時，，直線與曲線有兩個不同的交點；，直線與曲線相切，即有唯一的公共點（切點）；，直線與曲線二、圓錐曲線的弦連接圓錐曲線上兩點的線段稱為圓錐曲線的弦直線，曲線為與的兩個不同的交點，坐標(biāo)分別為，則是方程組的兩組解，方程組消元后化為關(guān)于的一元二次方程（），判別式，應(yīng)有，所以是方程的根，由根與系數(shù)關(guān)系（韋達定理）求出，所以兩點間的距離為，即弦長公式，弦長公式也可以寫成關(guān)于的形式三、定值問題解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．四、求最值問題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．五、求定值、最值等圓錐曲線綜合問題的“三重視”（1）重視定義在解題中的作用（把定義作為解題的著眼點）．（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用．（3）重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用（涉及弦長、中點要用根與系數(shù)的關(guān)系）．【典例例題】例1．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀┮阎p曲線的左、右焦點分別為，，點到一條漸近線的距離為1，點，且.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點（異于點），且直線的斜率之和為，求直線的方程.例2．（2023·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；(2)過橢圓C右焦點且傾斜角為的直線l交橢圓C于M、N兩點，求的值．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，點在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的標(biāo)準方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，求的面積.例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為.(1)求；(2)斜率為的直線過點，且與拋物線交于兩點，求線段的長.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中心為坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過點，．(1)求的方程；(2)已知點，直線與交于兩點，且直線的斜率之和為，證明：點在一條定拋物線上．例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，、是拋物線上異于的兩點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A，B在拋物線：上，拋物線C在A，B處的切線分別為，，且，交于點P.(1)若點，求的長；(2)從下面①②中選取一個作為條件，證明另外一個成立.①直線AB過拋物線C的焦點；②點P在拋物線C的準線上.例8．（2023·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€，點，為拋物線上的動點，直線為拋物線的準線，點到直線的距離為，的最小值為5．(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線相交于，兩點，與軸相交于點，當(dāng)直線，的斜率存在，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出；若不存在，說明理由．例9．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）已知拋物線C：與直線相切．(1)求C的方程；(2)過C的焦點F的直線l與C交于A，B兩點，AB的中垂線與C的準線交于點P，若，求l的方程．例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知動點M到兩定點的距離之和為4()，且動點M的軌跡曲線C過點.(1)求m的值；(2)若直線與曲線C有兩個不同的交點A，B，求k的取值范圍.例11．（2023·陜西西安·高三西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€：的焦點為，點在拋物線上，且.(1)求拋物線的標(biāo)準方程；(2)直線與拋物線交于，兩點，若線段的中點為，求直線的方程．【技能提升訓(xùn)練】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓經(jīng)過點且長軸長為.(1)求橢圓的標(biāo)準方程；(2)過點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，求弦長.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：的焦點與橢圓：的一個焦點重合．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l：交拋物線C于，兩點，O為原點，求證：．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)?分別為雙曲線的左右焦點，且也為拋物線的的焦點，若點，，是等腰直角三角形的三個頂點.(1)雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C相交于A?B兩點，求.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點在拋物線上.(1)求拋物線C的方程；(2)過點的直線l交拋物線C于A，B兩點，設(shè)直線，的斜率分別為，，O為坐標(biāo)原點，求證：為定值.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左右頂點分別為，，右焦點為，點在橢圓上.(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；(2)為橢圓上不與重合的任意一點，直線分別與直線相交于點，求證：.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點，右頂點．(1)求的方程(2)設(shè)為上一點（異于左、右頂點），為線段的中點，為坐標(biāo)原點，直線與直線交于點，求證：．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程及其離心率；(2)若為橢圓上第一象限的點，直線交軸于點，直線交軸于點，且有，求點的坐標(biāo).8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，當(dāng)時，為坐標(biāo)原點）是等邊三角形.(1)求拋物線的方程.(2)延長交拋物線于點，試問直線是否恒過點？若是，求出點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經(jīng)過一個定點，并求出此定點的坐標(biāo)．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右焦點，A為雙曲線在第一象限的點，的內(nèi)切圓與x軸交于點．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)圓上任意一點Q處的切線l，若l與雙曲線C左、右兩支分別交于點M、N，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點與點的距離比它到直線的距離小，若記點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若直線與曲線相交于兩點，且．求證直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知P(1，2)在拋物線C：y2＝2px上．(1)求拋物線C的方程；(2)A，B是拋物線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率之和為2，證明：直線AB過定點．13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為直線y＝x－2上一動點，過點M作拋物線C：x2＝y(tǒng)的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B，N為AB的中點．(1)證明：MN⊥x軸．(2)直線AB是否恒過定點？若是，求出這個定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，短軸長為2．（1）求橢圓的標(biāo)準方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，若的面積為（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的其中一個焦點為，一條漸近線方程為（1）求雙曲線的標(biāo)準方程；（2）已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標(biāo)為4，求直線的方程.16．（2023秋·天津北辰·高三?？计谀┮阎獧E圓的短半軸長為1，離心率為.（1）求的方程；（2）設(shè)的上?下頂點分別為?，動點(橫坐標(biāo)不為0)在直線上，直線交于點，記直線，的斜率分別為，，求的值.17．（2023秋·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點，是拋物線的焦點，點在上，且．(1)求的方程；(2)若是坐標(biāo)原點，直線與交于，兩點，求的面積．18．（2023秋·河南·高三期末）已知點P在橢圓C：上.(1)P與橢圓的頂點不重合，過P作圓的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，直線EF與x軸、y軸分別交于點M，N.求證：為定值；(2)若，過P的兩條直線交C于A，B兩點，兩直線PA，PB的斜率之和為0，求直線AB的斜率.19．（2023秋·北京·高三北理工附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C的兩個焦點分別為，，短軸長為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準方程及離心率；(2)M，D分別為橢圓C的左?右頂點，過M點作兩條互相垂直的直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，直線AB是否過定點？并求出面積的最大值.20．（2023秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點在拋物線上，圓(1)若，為圓上的動點，求線段長度的最小值；(2)若點的縱坐標(biāo)為4，過的直線與圓相切，分別交拋物線于（異于點），求證：直線過定點．21．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標(biāo)為.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線交于兩點，求面積的最小值.22．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C的焦點在x軸上，且短軸長為4，離心率．(1)求橢圓C的方程；(2)若過橢圓C的右焦點且斜率為2的直線交橢圓C于A、B兩點，求弦AB的長．23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，而焦點是雙曲線的右頂點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于、兩點，求直線與的斜率之積．24．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的漸近線為，焦點到漸近線的距離是．(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線與雙曲線交于不同的兩點A、B，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值．25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的方程為，離心率為2，右頂點為.(1)求雙曲線的標(biāo)準方程；(2)過的直線與雙曲線的一支交于、兩點，求的取值范圍.26．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的方程為，圓與軸相切于點，與軸正半軸相交于兩點，且，如圖．(1)求圓的方程；(2)如圖，過點的直線與橢圓相交于兩點，求證：射線平分．27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：，，分別為其左?右焦點，短軸長為2，離心率，過作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓交于A