山西省臨汾市洪洞縣向明中學2023-2024學年高二上學期第一次月考數學試卷

班級:姓名:考號：班級:姓名:考號：目標大學：數學試卷（A卷）考試時間：120分鐘；考試分數：150分；命題人：解慧明一、單選題★1．有下列說法:①若，則與，共面；②若與，共面，則=x+y；③若=x+y，則P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，則=x+y.其中正確的是（

）A．①②③④B．①③④C．①③D．②④★2．在空間直角坐標系中，若點關于z軸的對稱點的坐標為，則的值為（

）A．3B．5C．7D．9★3．已知向量，，若與互相垂直，則的值為（

）A．－1B．2 C．D．1★4．在空間直角坐標系中，，則的值是（

）A．B．C．D．★★5．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則=（

） B．C．D．★★6．已知是空間的一個單位正交基底，且，則與夾角的正弦值為（

）A． B． C． D．★7．已知，，與共線，則（

）A．1B． C．2D．3★★8．在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為正方形，，，則異面直線PA與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題★★9．以下關于向量的說法正確的有（

）A．若＝，則＝B．若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓C．若＝－且＝－，則=D．若與共線，與共線，則與共線★★10．已知向量，則與共線的單位向量（

）A．B． C． D．★★11．若，，是空間的一個基底，則下列各組中能構成空間一個基底的是A．，， B．，，C．，， D．，，★★12．如圖，平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（

）(第12題)（第16題）（第17題）A．B．C．向量與的夾角是.D．異面直線與所成的角的余弦值為.三、填空題★13．已知兩個向量，若，則m的值為.★14．已知，，則向量與的夾角為.★15．已知向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），若，則實數t的值為.★★16．已知線段垂直于三角形所在的平面，且，為垂足，為的中點，則的長為.四、解答題★17．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點，試建立恰當的坐標系求向量，，的坐標．18．已知，，．求：★(1)；★(2)．19．如圖，在棱長為2的正方體中，，，分別為，，的中點．★(1)求證：平面；★★(2)試在棱上找一點，使平面，并證明你的結論．20．在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點．★（1）求證：；★★（2）求異面直線與所成角的余弦值．21．已知在平行六面體中，，，，且.★（1）求的長；★★（2）求與夾角的余弦值.22．如圖所示，在四棱錐中，為等腰直角三角形，且，四邊形ABCD為直角梯形，滿足，，，．★★(1)若點F為DC的中點，求；★★(2)若點E為PB的中點，點M為AB上一點，當時，求的值．參考答案：1．C【來源】6.1.3共面向量定理（1）【分析】利用空間向量共面定理逐一判斷即可.【詳解】若，共線，由=x+y知一定與，共面，若，不共線，則滿足共面定理，與，共面，①對；同理③對；若與，共面，且，共線，則不一定有=x+y，故②不對；同理④不對，故選：C.2．A【來源】山東省濰坊市諸城第一中學2022-2023學年高二下學期2月月考數學試題【分析】根據給定條件，求出點M關于z軸對稱點坐標，再列式計算作答,【詳解】依題意，點關于z軸的對稱點，于是得，解得，所以.故選：A3．B【來源】江蘇省宿遷市沭陽塘溝高級中學2022-2023學年高二下學期第一次月考數學試題【分析】根據與互相垂直，可得，再根據數量積的坐標運算即可得解.【詳解】解：因為與互相垂直，所以，即，解得.故選：B.4．D【來源】廣東省佛山市南海區(qū)桂華中學2022-2023學年高二上學期第一次階段測試數學試題【分析】先求坐標，再根據向量數列積公式求解即可．【詳解】由題意得，所以故選：D5．A【來源】山東省煙臺市龍口市龍口第一中學東校2023-2024學年高二上學期開學數學試題【分析】根據空間向量的加減法運算法則，直接寫出向量的表達式，即可得答案.【詳解】=,故選：A.6．C【來源】新疆烏魯木齊市第八中學2022-2023學年高二上學期第一次月考數學試題【分析】設與夾角為，先利用向量的夾角公式求出，再利用同角三角函數的關系可求出的值.【詳解】設與夾角為，，因為是空間的一個單位正交基底，且，所以，所以，因為，所以，故選：C7．A【來源】1.1.1空間向量及其線性運算（分層作業(yè)）（題型分類基礎練能力提升綜合練）-【上好課】高二數學同步備課系列（人教A版2019選擇性必修第一冊）【分析】利用空間向量共線性質求參數的值.【詳解】因為，共線，則，∴，∴，故選：A．8．D【來源】突破1.1空間向量及其運算（課時訓練）【分析】由題意建立空間直角坐標系，求出的坐標，由兩向量所成角的余弦值求解．【詳解】解：由題意，建立如圖的空間坐標系，底面為正方形，，，底面，點，，，，則，，．異面直線與所成角的余弦值為．故選：．【點睛】本題考查利用空間向量求解空間角，考查計算能力，是中檔題．9．AC【來源】模塊三專題1空間向及其運算A基礎卷（人教B）【分析】根據向量的基本概念和性質即可逐項判斷.【詳解】若＝，則和的大小相等，方向相同，故A正確；將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個球，故B錯誤；若＝－，＝－，則＝－=，故C正確；若與共線，與共線，則當時，無法判斷與的關系，故D錯誤.故選：AC.10．AC【來源】遼寧省大連市第八中學2022-2023學年高二上學期10月月考數學試題【分析】直接利用向量求出向量的模，進一步求出單位向量．【詳解】解：由于向量，所以根據單位向量的關系式，可得或．故選：．11．ABD【來源】突破1.2空間向量基本定理（課時訓練）【解析】根據空間向量的共面定理，一組不共面的向量構成空間的一個基底，對選項中的向量進行判斷即可．【詳解】解：對于中、、，中、、，中、、，每組都是不共面的向量，能構成空間的一個基底；對于，、、，滿足，是共面向量，不能構成空間的一個基底．故選：ABD．【點睛】本題考查了空間向量共面的判斷與應用問題，屬于基礎題．12．AB【來源】1.1.2空間向量的數量積運算精講（4大題型）-【題型分類歸納】2023-2024學年高二數學同步講與練（人教A版2019選擇性必修第一冊）【分析】根據題意，引入基向量，分別用基向量表示，利用向量求長度的計算公式，計算可得A正確；利用向量證垂直的結論，計算可得B正確；利用向量求夾角公式，計算可得CD錯誤.【詳解】設，因為各條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，所以，因為，所以，，故A正確；由，所以，所以，故B正確；因為，且，所以，所以其夾角為，故C錯誤；因為，，，，所以，故D錯誤.故選：AB.13．【來源】山西省名校聯考2022-2023學年高二上學期期末數學試題【分析】根據向量垂直的坐標表示列式計算求解即可.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：.14．/【來源】1.3.2空間向量運算的坐標表示（AB分層訓練）-【沖刺滿分】2023-2024學年高二數學重難點突破分層訓練同步精講練（人教A版2019選擇性必修第一冊）【分析】運用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】，故答案為：15．﹣8【來源】練習10空間向量及其運算-2020-2021學年【補習教材·寒假作業(yè)】高二數學（蘇教版）【解析】利用空間向量共線定理直接求解即可．【詳解】∵向量＝（1，4，3），＝（﹣2，t，﹣6），，∴，解得t＝﹣8，∴實數t的值為﹣8．故答案為：﹣8．16．【來源】3.3空間向量的坐標表示（作業(yè)）（夯實基礎能力提升）-【教材配套課件作業(yè)】2022-2023學年高二數學精品教學課件（滬教版2020選修第一冊）【分析】則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設求得，即可求出的長.【詳解】因為線段垂直于三角形所在的平面，且，則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，因為在上，所以可設，先設，所以，，，所以，，，因為，所以，解得：，，，則的長為.故答案為：.17．＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【來源】1.3空間向量及其運算的坐標表示（精講）-2023-2024學年高二數學《一隅三反》系列（人教A版2019選擇性必修第一冊）【分析】以點C為原點，分別以CA，CB，CC1的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，利用空間向量坐標表示公式進行求解即可.【詳解】由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點C為原點，分別以CA，CB，CC1的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，如圖所示．則B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．18．(1)(2)【來源】第02講空間向量的坐標表示-【幫課堂】2021-2022學年高二數學同步精品講義（蘇教版2019選擇性必修第二冊）【分析】(1)根據向量的加減運算法則，即可得；（2）根據數乘與向量的加減運算法則，即可得．(1)解：，；(2)解：．19．(1)證明見解析；(2)為棱的中點時，平面，證明見解析.【來源】山東省東營市廣饒縣第一中學2022-2023學年高二上學期10月月考數學試題【分析】（1）以D為坐標原點建立空間直角坐標系，借助空間位置關系的向量證明求解作答.（2）設出點M的坐標，利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.【詳解】（1）以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，于是得，因此，平行于平面BEF，又平面BEF，所以AG//平面BEF.（2）依題意，設，，則，因平面BEF，，則當且時，DM⊥平面BEF，由（1）知，，解得，所以當，即M為棱的中點時，DM⊥平面BEF.20．（1）詳見解析；（2）．【來源】寧夏銀川三沙源上游學校2020-2021學年高二下學期第一次月考數學（理）試題【分析】（1）以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，計算得，即可證明結論；（2）先求出，再利用向量夾角公式即可得出.【詳解】（1）由題意在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，以為原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，，，，．因為為中點，所以，所以，，所以，所以．（2）由（1）得，，，，，所以與所成角的余弦值為．【點睛】本題考查了異面直線所成的角、向量夾角公式、數量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．21．（1）；（2）.【來源】課時1.2空間向量基本定理-2021-2022學年高二數學同步練習和分類專題教案（人教A版2019選擇性必修第一冊）【分析】(1)根據的模與夾角，利用數量積公式先求的值，再根據求得結果；（2）由先平方，再開平方即可.【詳解】（1）由題意得||=||=||=1，·=·=·=，∵=-=-，=-，∴·=·(-)=-+=.（2）∵=-=(+)-，∴==2+2+2+·-·-·=，∴||=.22．（1）；（2）.【來源】專練03專題強化訓練一空間向量的運算及應用-2021-2022學年高二數學上冊同步課后專練（人版A版選擇性必修第一冊）【解析】（1）由空間向量的加法法則可得，利用空間向量數量積的運算性質可求得的值，由此可求得的長；（2）計算出、的值，利用平面向量數量積可計算出的值，即可得解.【詳解】（1）由題可知，，那么，因此，的長為；（2）由題知，，則，，所以，.【點睛】本題考查利用空間向量法計算線段長，同時也考查了利用空間向量法計算向量夾角的余弦值，解題的關鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算能力，屬于中等題.2