高二數(shù)學(xué)（江蘇,理科）（新高三）暑期作業(yè)復(fù)習(xí)方法策略講-第講“數(shù)列”復(fù)習(xí)要全國(guó)通用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第10講“數(shù)列”復(fù)習(xí)要緊抓等差數(shù)列、等比數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)，復(fù)習(xí)數(shù)列時(shí)要注意函數(shù)思想方法的普遍性，又要考慮數(shù)列問題的特殊性．等差數(shù)列與等比數(shù)列是最基本的數(shù)列模型，從高考來看,數(shù)列問題往往要?dú)w結(jié)到這兩個(gè)數(shù)列模型．因此,數(shù)列復(fù)習(xí)要緊抓等差數(shù)列與等比數(shù)列，理解概念，熟練公式，會(huì)用性質(zhì)，注意運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合的方法．1．注意數(shù)列的函數(shù)特性，遷移函數(shù)的思想方法．復(fù)習(xí)時(shí)要從數(shù)列的概念中，認(rèn)識(shí)到數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，在研究數(shù)列問題時(shí)會(huì)遷移函數(shù)的思想方法．研究數(shù)列的圖象時(shí),要抓住函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，又要注意它的離散特點(diǎn)．研究數(shù)列單調(diào)性時(shí)，要判斷an＋1－an的符號(hào),甚至借助于導(dǎo)數(shù)．研究數(shù)列最大(小）項(xiàng)時(shí),要研究數(shù)列的單調(diào)性，或借助不等式組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（an≥an－1，an≥an＋1）)等．公差不為0的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an、前n項(xiàng)和公式Sn及eq\f(Sn，n），公比為不等于1的正數(shù)的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，都是關(guān)于n的基本初等函數(shù)，在研究等差數(shù)列與等比數(shù)列的圖象、性質(zhì)時(shí)，注意運(yùn)用函數(shù)思想．如研究Sn的符號(hào)、Sn的最值，就能利用二次函數(shù)來解決．【溫故知新】等差數(shù)列{an｝的公差為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，則n＝________時(shí),Sn取得最小值．2．能熟練地通過方程（組)求解基本量．求解通項(xiàng)、指定項(xiàng)、前n項(xiàng)和、前指定項(xiàng)和,是等差、等比數(shù)列公式的基本應(yīng)用，往往需要求解首項(xiàng)、公差(比）、項(xiàng)數(shù)等基本量，這些基本量都要列方程（組)解出來．根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)，能熟練地通過方程(組）求解基本量，是復(fù)習(xí)好數(shù)列最基本的要求．等差數(shù)列計(jì)算中常兩式“作差”，等比數(shù)列計(jì)算中常兩式“作比”．3．對(duì)比等差數(shù)列與等比數(shù)列，掌握基本性質(zhì)．等差、等比數(shù)列中尤其等差數(shù)列性質(zhì)較多，利用這些性質(zhì)解決問題方便簡(jiǎn)捷．對(duì)這些性質(zhì)，能利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,或利用函數(shù)方法推導(dǎo)成立,對(duì)于一些最基本的性質(zhì)要熟記和熟用，這些最基本的性質(zhì)在等差、等比數(shù)列中都是類似的，可對(duì)比復(fù)習(xí)．如等差數(shù)列等比數(shù)列m,n，s,t∈N＊，m＋n＝s＋tam＋an＝as＋ataman＝asatm，n∈N＊am－an＝（m－n）deq\f(am,an）＝qm－n｛kn}是等差數(shù)列,且kn∈N＊｛akn}是等差數(shù)列{akn｝是等比數(shù)列n＝2k－1，k∈N＊S2k－1＝(2k－1)·aka1a2·…·a2k－1＝aeq\o\al（2k－1,k）4。能熟練地運(yùn)用裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法求和．要掌握常見的裂項(xiàng)技巧，如eq\f（1,n（n＋1））＝eq\f（1,n）－eq\f(1，n＋1），eq\f（1，n（n＋k）)＝eq\f（1，k)（eq\f（1，n）－eq\f(1，n＋k）），eq\f(1,anan＋k)＝eq\f（1,kd)（eq\f(1,an)－eq\f(1，an＋k）)({an}是等差數(shù)列)等，凡形如eq\f(1,mn)且m－n＝c，都可裂項(xiàng)：eq\f（1,mn)＝eq\f（1，c）(eq\f（1，n）－eq\f（1，m)）．對(duì)于等差乘等比形式的數(shù)列求和，一定要清楚錯(cuò)位相減法的原理，否則，只會(huì)機(jī)械套用,不會(huì)化簡(jiǎn)結(jié)果．其原理如下:{an｝是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列,Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn.①qTn＝a1b1q＋a2b2q＋a3b3q＋…＋an－1bn－1q＋anbnq。即qTn＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋an－1bn＋anbn＋1。②①－②得，（1－q）Tn＝a1b1＋（a2－a1)b2＋（a3－a2)b3＋…＋（an－an－1）bn－anbn＋1，即(1－q）Tn＝a1b1＋db2＋db3＋…＋dbn－anbn＋1。即(1－q）Tn＝a1b1＋d（b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1.只有弄清了求解原理，才能清楚為何要“錯(cuò)位”相減，相減之后得到什么形式的結(jié)果．例1等差數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為________．解后反思當(dāng)n＝1，2，3,…時(shí)nSn也是一個(gè)數(shù)列．根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性，可以將nSn的最值轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的最值，但一定要注意數(shù)列的離散特點(diǎn)．例2已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝0，a6＋a8＝－10.（1）求數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式；(2）求數(shù)列｛eq\f（an，2n－1)｝的前n項(xiàng)和．解后反思“等差乘等比”型數(shù)列求和一般用錯(cuò)位相減法．這里的“等差乘等比"是指一個(gè)等差乘一個(gè)等比，如(－1）nn·2n，把它變形為n·(－2）n,再用錯(cuò)位相減法求其和．分式數(shù)列求和一般用裂項(xiàng)法，把一項(xiàng)裂為相鄰兩項(xiàng)的差．例3設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，eq\f（2Sn,n)＝an＋1－eq\f（1，3)n2－n－eq\f(2,3)，n∈N＊。（1)求a2的值；(2)求證：｛eq\f（an,n）}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解后反思1．對(duì)于數(shù)列的遞推關(guān)系，常常用n－1(n≥2）代n，得到它的一個(gè)姊妹式，兩式相減(除),就會(huì)得到一個(gè)新的遞推關(guān)系,揭示數(shù)列的本質(zhì)屬性．2．已知an與Sn的遞推關(guān)系,探索數(shù)列的通項(xiàng)公式,切入點(diǎn)是an＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（S1，n＝1，，Sn－Sn－1，n≥2，））利用an＝Sn－Sn－1（n≥2),可將an與Sn的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系．如2Sn＝nan＋1－eq\f(1，3)n3－n2－eq\f（2，3）n中，令an＋1＝Sn＋1－Sn，就得到2Sn＝n（Sn＋1－Sn)－eq\f(1,3)n3－n2－eq\f(2,3)n，即Sn的遞推關(guān)系．3．等差、等比數(shù)列的判定，主要依據(jù)定義，從相鄰兩項(xiàng)遞推關(guān)系看，判斷an＋1－an或eq\f(an＋1,an)是否為常數(shù),從相鄰三項(xiàng)遞推關(guān)系看，判斷2an＋1＝an＋an＋2或aeq\o\al(2，n＋1）＝anan＋2對(duì)n∈N＊是否成立．從通項(xiàng)公式看，判斷an是否是pn＋q或abn的形式．從前n項(xiàng)和公式看，判斷是否為等差數(shù)列，就看Sn是否是pn2＋qn的形式．如果Sn＝a（bn－1)(a≠0,b>0，b≠1）,那么該數(shù)列為等比數(shù)列．總結(jié)感悟1．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù),在研究數(shù)列問題時(shí)如單調(diào)性、最大(小)項(xiàng)等可以運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的思想方法，但要注意數(shù)列的圖象是一列孤立的點(diǎn)．2．由數(shù)列的遞推關(guān)系探索數(shù)列的本質(zhì)屬性，常常用n－1(n≥2)代n，得到姊妹式，兩式相減(除），就會(huì)得到新的遞推關(guān)系，揭示出數(shù)列的本質(zhì)屬性．3．已知an與Sn的遞推關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2),轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,進(jìn)一步揭示數(shù)列的本質(zhì)屬性．【誤區(qū)警示】已知Sn求an時(shí),一定要分n＝1與n≥2兩種情況分別求解．A級(jí)1．?dāng)?shù)列eq\f(2，3），－eq\f（4，5),eq\f(6，7)，－eq\f(8,9），…的第10項(xiàng)是________．2．等差數(shù)列{an}的公差為3，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則a4＝________．3．(2016·全國(guó)Ⅰ改編)已知等差數(shù)列｛an}前9項(xiàng)的和為27,a10＝8，則a100＝________。4．已知{an｝為等差數(shù)列,a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20＝________．5．在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________．6．若數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(2，3)an＋eq\f（1,3），則{an}的通項(xiàng)公式an＝________．B級(jí)7．已知等比數(shù)列｛an｝中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1,eq\f（1,2)a3，2a2成等差數(shù)列,則eq\f（a9＋a10，a7＋a8)＝__________．8．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________．9。若一個(gè)等差數(shù)列｛an｝的前3項(xiàng)和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有________項(xiàng)．10．設(shè)Sn為等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________．11．已知等比數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，Sn是｛an}的前n項(xiàng)和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個(gè)根，則S6＝________．12．設(shè)Sn為數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和，Sn＝（－1）nan－eq\f(1,2n）,n∈N＊,則：(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．13．等差數(shù)列｛an}中，a1＝－60，a17＝－12,求數(shù)列｛｜an｜}的前n項(xiàng)和．

第10講“數(shù)列”復(fù)習(xí)要緊抓等差數(shù)列、等比數(shù)列復(fù)習(xí)指導(dǎo)【溫故知新】5解析等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，則其前n項(xiàng)和Sn為n的二次函數(shù)，圖象是開口向上的拋物線，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0，0）,(10，0)，根據(jù)對(duì)稱性,x＝5是對(duì)稱軸，故n＝5時(shí)Sn取得最小值．題型分析例1－49解析由題意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝eq\f（10，3）.兩式相減得a15－a10＝eq\f（10，3）＝5d,∴d＝eq\f(2，3)，a1＝－3?！鄋Sn＝n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(na1＋\f（n（n－1),2)d))＝eq\f（n3－10n2,3）＝f（n），f′（n）＝eq\f（1，3）n(3n－20)．令f′（n)＝0得n＝0（舍）或n＝eq\f（20,3）.當(dāng)n〉eq\f（20,3）時(shí),f（n）是單調(diào)遞增的;當(dāng)0〈n<eq\f(20，3)時(shí)，f(n）是單調(diào)遞減的．f(6）＝－48.f（7)＝－49。故當(dāng)n＝7時(shí)，f(n）取最小值，f（n）min＝－49?！鄋Sn的最小值為－49.例2解（1）設(shè)等差數(shù)列｛an}的公差為d，由已知條件可得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a1＋d＝0，，2a1＋12d＝－10，））解得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a1＝1,，d＝－1。））故數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式為an＝2－n。（2）設(shè)數(shù)列{eq\f(an,2n－1）}的前n項(xiàng)和為Sn，即Sn＝a1＋eq\f（a2，2)＋…＋eq\f(an－1，2n－2）＋eq\f（an，2n－1)。①所以eq\f（Sn,2)＝eq\f(a1,2）＋eq\f(a2,4）＋…＋eq\f（an，2n）.②①－②得eq\f(Sn,2）＝a1＋eq\f(a2－a1，2）＋…＋eq\f(an－an－1，2n－1)－eq\f(an，2n)＝1－(eq\f（1，2)＋eq\f（1，4）＋…＋eq\f（1，2n－1))－eq\f（2－n，2n)＝1－(1－eq\f（1,2n－1))－eq\f（2－n,2n）＝eq\f(n，2n).所以Sn＝eq\f(n,2n－1）。即數(shù)列｛eq\f(an,2n－1）}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f（n，2n－1）.例3解(1)2S1＝a2－eq\f(1，3）－1－eq\f(2，3)，又S1＝a1＝1，所以a2＝4。(2)∵eq\f(2Sn，n）＝an＋1－eq\f（1，3）n2－n－eq\f（2,3)，n∈N＊.∴2Sn＝nan＋1－eq\f(1，3）n3－n2－eq\f（2，3)n＝nan＋1－eq\f(n(n＋1)（n＋2),3)。①∴當(dāng)n≥2時(shí),2Sn－1＝(n－1)an－eq\f((n－1）n（n＋1）,3)，②由①－②，得2Sn－2Sn－1＝naa＋1－(n－1）an－n（n＋1），∵2an＝2Sn－2Sn－1，∴2an＝nan＋1－（n－1)an－n(n＋1)，∴eq\f(an＋1，n＋1）－eq\f(an，n)＝1，∴數(shù)列{eq\f（an，n)}是以首項(xiàng)為eq\f（a1,1）＝1，公差為1的等差數(shù)列．∴eq\f（an，n）＝1＋1×（n－1）＝n，∴an＝n2（n≥2），當(dāng)n＝1時(shí)，上式顯然成立．∴an＝n2，n∈N*。線下作業(yè)1．－eq\f(20，21）解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間，求通項(xiàng)公式時(shí)，我們可以把每一部分進(jìn)行分解:符號(hào)、分母、分子．很容易歸納出數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式an＝(－1）n＋1·eq\f（2n，2n＋1），故a10＝－eq\f(20,21）。2．123．98解析由等差數(shù)列性質(zhì)，知S9＝eq\f（9（a1＋a9）,2）＝eq\f(9×2a5,2)＝9a5＝27，得a5＝3,而a10＝8，因此公差d＝eq\f(a10－a5,10－5)＝1，∴a100＝a10＋90d＝98.4．1解析方法一∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105,解得a3＝35，同理a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33，∵d＝eq\f(a4－a3,4－3）＝eq\f（33－35,1)＝－2.∴a20＝a4＋（20－4)d＝33＋16×（－2）＝1。方法二由a1＋a3＋a5＝105，得a1＋a1＋2d＋a1＋4d＝3a1＋6d＝105，由a2＋a4＋a6＝99，得a1＋d＋a1＋3d＋a1＋5d＝3a1＋9d＝99，所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(3a1＋6d＝105,，3a1＋9d＝99，））解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a1＝39,,d＝－2。))∴a20＝39＋（20－1）×(－2)＝1。方法三∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，∴(a2＋a4＋a6)－（a1＋a3＋a5)＝(a2－a1）＋（a4－a3)＋（a6－a5)＝3d＝99－105＝－6.解得d＝－2,又a1＋a3＋a5＝105,得a3＝35，a20＝a3＋(20－3）d＝35＋17×（－2)＝1.5．20解析設(shè)公差為d，則a3＋a8＝2a1＋9d＝10，∴3a5＋a7＝4a1＋18d＝2（2a1＋9d)＝20.6．（－2)n－1解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,3)an－eq\f（2，3）an－1，故eq\f(an，an－1）＝－2，故an＝(－2)n－1。7．3＋2eq\r(2)解析設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q（q≠0)，因?yàn)閍1,eq\f（1,2）a3，2a2成等差數(shù)列，則a1＋2a2＝a3，即a1＋2a1q＝a1q2.則1＋2q＝q2，解得q＝1±eq\r（2).又等比數(shù)列｛an｝中,各項(xiàng)都是正數(shù),則q>0，則q＝1＋eq\r（2）。所以eq\f(a9＋a10，a7＋a8）＝eq\f（(a7＋a8）·q2，a7＋a8)＝q2＝（1＋eq\r（2）)2＝3＋2eq\r(2）。8．10解析由a5a6＋a4a7＝18，得2a5a6＝18，即a5a6＝9.∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1·a2·…·a10）＝log3(a5·a6)5＝5log39＝10.9。13解析a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，所以3（a1＋an）＝180，即a1＋an＝60.由Sn＝390，知eq\f(n（a1＋an),2）＝390.所以eq\f（n×60,2)＝390，解得n＝13。10．3n－111．63解析∵a1,a3是方程x2－5x＋4＝0的兩根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4,則公比q＝2，因此S6＝eq\f（1×（1－26）,1－2)＝63。12．(1）－eq\f(1，16)（2)eq\f(1，3）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2100）－1）)解析∵an＝Sn－Sn－1＝(－1）nan－eq\f（1，2n)－（－1)n－1·an－1＋eq\f(1,2n－1），∴an＝（－1）nan－（－1）n－1an－1＋eq\f（1，2n)。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an－1＝－eq\f（1,2n)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),2an＋an－1＝eq\f（1,2n)，∴當(dāng)n＝4時(shí)，a3＝－eq\f（1，24）＝－eq\f（1,16)。根據(jù)以上｛an｝的關(guān)系式及遞推式可求．a(chǎn)1＝－eq\f（1，22)，a3＝－eq\f（1,24)，a5＝－eq\f(1，26),a7＝－eq\f(1，28)，a2＝eq\f（1，22），a4＝eq\f(1，24），a6＝eq\f(1，26)，a8＝eq\f(1,28)?！郺2