2021年中考數(shù)學(xué) 三輪沖刺：矩形、菱形（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)三輪專題沖刺：矩形、菱形

一、選擇題

1.如圖，菱形43。。的周長(zhǎng)為85,高AE長(zhǎng)為bcm,則對(duì)角線AC和3。長(zhǎng)

之比為（）

A.1；2B.l；3C.lD.l：y[3

2.如圖所示，P是菱形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過P垂直于AC的直線交

菱形ABCD的邊于M、N兩點(diǎn)，設(shè)AC=2,BD=1,AP=x,AAMN的面積為

y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀是（）

012X~7)12X-7)12^~012"

3.（2020.畢節(jié)）如圖，在矩形A8CO中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)、E,F

分別是A。，A0的中點(diǎn)，連接EF,若AB=6cm,BC=8cm,則EE的長(zhǎng)是（）

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

4.如圖，在口ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O.若增加一個(gè)條件，使^ABCD

成為菱形，下列給出的條件不巧碰的是（）

AAB=ADB.AC±BD

C.AC=BDD.ZBAC=ZDAC

5.（3分）如圖，四邊形ABC0是菱形，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,AC=8.BD

=6,點(diǎn)E是CO上一點(diǎn),連接0E,若OE=CE,則0E的長(zhǎng)是（)

A.22C.3D.4

6.（2020.樂山）如圖，在菱形ABCD中，AB=4,N8AO=120。，0是對(duì)角線

BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)0作OELCD于E,連接0A,則四邊形AOED的周長(zhǎng)為（）

A.9+2小B.9+小C.7+2小D.8

7.（2020?深圳）如圖，矩形紙片A8C。中，AB=6,BC=12.將紙片折疊,使

點(diǎn)8落在邊AO的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)G處，折痕為ER點(diǎn)E、F分別在邊A。和邊

BC±.連接BG,交C。于點(diǎn)K,FG交CD于點(diǎn)、H.給出以下結(jié)論：

?EF±BG；?GE=GF；③^GOK和△GKH的面積相等；④當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重

合時(shí)，NDEF=75°.其中正確的結(jié)論共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（2020?泰安）如圖，矩形A8C。中，AC,8。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)3作BbLAC

交CD于點(diǎn)、F,交AC于點(diǎn)過點(diǎn)。作。交A3于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)、N,

連接EMEM.則下列結(jié)論：①DN=BM；②EM〃FN；@AE=FC；④當(dāng)A。

=AO時(shí)，四邊形OEBb是菱形.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

D

二、填空題

9.如圖，矩形ABCD的面積是15,邊AB的長(zhǎng)比AD的長(zhǎng)大2,則AD的長(zhǎng)是

I)C

B

10.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AD、BD的中點(diǎn)，若EF=2,則菱形

ABCD的周長(zhǎng)為.

11.把圖①中的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形

分別拼成如圖②，圖③所示的正方形，則圖①中菱形的面積為.

12.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,且AC=8,BD=6,

則菱形ABCD的高DH=

13.如圖，菱形ABCD的面積為120cnr,正方形AECF的面積為50cm2,則菱

形的邊長(zhǎng)為cm.

14.如圖，正方形ABCO的頂點(diǎn)C,A分別在x軸，y軸上，BC是菱形BDCE

的對(duì)角線，若ND=60。，BC=2,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是.

15.如圖，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE.如果NADB

=30°,則NE=度.

16.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=10.點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿

BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將^ABG沿BG折疊,

點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處.有下列結(jié)論：

3

①NEBG=45。；?ADEF^AABG；③SAABG=/SAFGH;?AG+DF=FG.

其中正確的是.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)

三'解答題

17.如圖，在菱形A3CD中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E,尸分別在AB,A。上，BE=DF,

連接EE

(1)求證力。_1_所；

⑵延長(zhǎng)E尸交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接8。交AC于點(diǎn)O,若BD=4,tanG=J

求A。的長(zhǎng).

18.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,ZABC：ZBAD=1：2,

BE〃AC,CE〃BD.

(1)求31NDBC的值；

⑵求證：四邊形0BEC是矩形.

19.如圖，A8是。。的直徑，OO_L48于點(diǎn)。，連接D4交。。于點(diǎn)C,過點(diǎn)C

作0。的切線交。。于點(diǎn)E,連接3C交。。于點(diǎn)E

(1)求證:CE=EE

(2)連接AF并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)G填空：

①當(dāng)/。的度數(shù)為時(shí)，四邊形ECRJ為菱形；

②當(dāng)NO的度數(shù)為時(shí)，四邊形ECOG為正方形.

20.如圖，在菱形ABC。中，AB=5,sinZABD=^~,點(diǎn)P是射線3C上一點(diǎn),

連接AP交菱形對(duì)角線8。于點(diǎn)E,連接EC.

(1)求證：△ABE2CBE；

(2)如圖①，當(dāng)點(diǎn)尸在線段8C上時(shí)，且BP=2,求△2也?的面積；

(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CELEP,求線段8P的長(zhǎng).

BPCBCP

圖①圖②

21.如圖，在％BC。中，對(duì)角線AC與BO相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別為08,0D

的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE至G,使￡G=AE,連接CG

(1)求證:△ABEg△(?￡>￡

⑵當(dāng)AB與AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形EGC/是矩形?請(qǐng)說明理由.

2021中考數(shù)學(xué)三輪專題沖刺：矩形、菱形-答案

一、選擇題

1.【答案】D［解析］由菱形A8C。的周長(zhǎng)為8cm得邊長(zhǎng)AB=2cm.又高AE長(zhǎng)為舊

cm,所以NABC=60。，所以△ABC,XACD均為正三角形，AC=2cm,

BD=2AE=2y［3cm.故對(duì)角線AC和8。長(zhǎng)之比為1：百，應(yīng)選D.

2.【答案】C【解析】本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象和

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).解題思路:設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O,由于點(diǎn)P是菱形ABCD

AP

的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，所以0VxV2.當(dāng)OVxVl時(shí)，△AMNS^ABD=TK=

AU

MNxMN1

器巴=MN=x=y=#jlt二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是x=0,

此時(shí)y隨x的增大而增大.所以B和D均不符合條件.當(dāng)l<x<2時(shí)，^CMN

CPMN2—xMN11.

—;—=~7~=>MN=2—x=y=”(2—x)=—5x2+x.此二次

LUJDU11zz

函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸是x=l,此時(shí)y隨X的增大而減小.所以A不符

合條件.綜上所述，只有C是符合條件的.

3.【答案】D,

【解析】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理.

解：矩形ABC。中，\"AB=6cm,：.DC=6cm,ZBCD=90°,BC=8cm,：.

BD=\Q.

,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，.??。。=工3。=5.?.?點(diǎn)E,尸分別是A。，AD

2

的中點(diǎn)，：.EF=2.5.故選D.

4.【答案】C【解析】鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以A正確；對(duì)角線互

相垂直的平行四邊形是菱形，所以B正確；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，

所以C錯(cuò)誤；由N84C=ND4C可得對(duì)角線是角平分線，所以D正確.

5.【答案】B

【解析】根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出OB,OC,AC1BD,然后利用勾

股定理列式求出BC,最后根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的

一半求解即可.

???菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,

1111.

???OB=/O=2X6=3,0A=0C=/C=3X8=4,AC±BD,

由勾股定理得，BC=\碗2+0理=42+42=5,

：.AD=5,

\"0E=CE,

：.ZDCA=ZEOC,

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.ZDCA=ZDAC,

：.ZDAC=ZE0C,

：.0E//AD,

'：A0=0C,

是△AOC的中位線，

/.0E=)D=2.5.

6.【答案】B

【解析】由已知及菱形的性質(zhì)求得N4?O=NCD8=30。，A0±BD,利用含30。

的直角三角形邊的關(guān)系分別求得A。、DO、OE、DE,進(jìn)而求得四邊形AOEO的

周長(zhǎng).?四邊形ABCO是菱形，。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，.?.A0_L8D,AD=AB

=4,AB〃DC；ZBAD=120°,：.ZABD=ZADB=ZCDB=3Q0；'：OE±DC,

.?.在RfZ\AOO中，AD=4,AO=^AD=2,DO=\IAD2~AO2=2^3；在

DEO中,0E=^0D=y［3,。石二寸人。？一人。?：？，...四邊形4。石。的周長(zhǎng)為人。

+OE+OE+AO=2+/+3+4=9+小.

7.【答案】C

【解析】由軸對(duì)稱可知，B、G關(guān)于族對(duì)稱，族垂直平分BG,故①正確；又

由矩形ABCO知，AD//BC,：.ZGEF=ZBFE,連接BE,ZBEF=ZGEF,：.

ZBEF=ZBFE,：.BE=BF,WBE=GE,BF=GF,：.GE=GF,故②正確；

由BE=GE=B/=GF知，四邊形BEGb是菱形，:.GK平分NDGH,而。GV

GH,：.DK*KH,：$GD#SAGKH，故③錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，BF=BC=

工ISQ0~ZAEB

12,：.BE=\2,而AB=6,AZAEB=30°,:.NGEF=-----------------=75°,故

④正確；因此本題選C.

8?［答案］D

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的條件與性質(zhì)、等邊三角形的條件

與性質(zhì)、平行四邊形的條件與性質(zhì)以及菱形的判定方法，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是

矩形，所以AB=CD,AD=BC,AD〃BC,所以NDAN=NBCM.因?yàn)锽FLAC,

DE//BF,所以O(shè)ELAC,即NAND=NCMB=90。，所以△ADN04CBM,所以

DN=BM,ZAND=ZCBM,則AADE絲Z^CBF,所以AE=CF、DE=BF,所以

NE=MF,即①②③都是正確的，由AE=CF、AB=CD,所以BE=DF,所以四邊

形AEBF是平行四邊形.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AO=DO,因?yàn)楫?dāng)A。

=A。時(shí)，AO=DO=AO,所以AADO是等邊三角形，所以NAND=/BDE=30。,

所以NBDE=NABD=30。，所以DE=BE,所以四邊形DEBF是菱形，則④也是

正確的，因此本題選D.

二、填空題

9.【答案】3【解析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用問題.設(shè)AD=x,

由題知，AB=x+2,又?.?矩形ABCD的面積為15,則x(x+2)=15,得到x?十

2x—15=0,解得，xi=-5(舍)，X2=3,AD=3.

10.【答案】16【解析】VE,F分別是AD,BD的中點(diǎn)，】AB=2EF=4,

菱形ABCD周長(zhǎng)是4AB=16.

11.【答案】12［解析］設(shè)圖①中小直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,帥＞a),則

由圖②，圖③可列方程組『+"=5，解得『=2,所以菱形的面積

1b-a=1,(b=3,

S*x4x6=12.故答案為12.

2

12.【答案】48【解析】..飛菱彩=；ACBD=2ABDH,AAC-BD=2ABDH.V

11

四邊形ABCD是菱形，/.ZAOB=90°,A0=/AC=4,B0=/BD=3,...在Rt

_____8x6

△AOB中，AB=J42+32=5,，DH=痂=4.8.

13.【答案】13【解析】如解圖，連接AC、BD交于0,則有g(shù)ACBD=120,二

AC-BD=240,又?.?菱形對(duì)角線互相垂直平分，.?.2OA?2OB=240,0A-0B

=60,VAE2=50,OA2+OE2=AE2,OA=OE,/.OA=5,.*.OB=12,AAB

=^OA2+OB2=A/122+52=13.

14.【答案】（5+2,I）【解析】如解圖，過點(diǎn)D作DGLBC于G,DF，x軸

于F,?.?在菱形BDCE中，BD=CD,ZBDC=60°,二4BCD是等邊三角形，

/.DF=CG=1BC=1,CF=DG=V§,/.OF=V3+2,，D（S+2,1）.

15.【答案”5【解析】如解圖，連接AC「.?四邊形ABCD是矩形，；.AD=BC,

AC=BD,又'.'AB=BA,4DAB絲△CBA(SSS),NACB=NADB=30°,

VCE=BD,，AC=CE,/.ZE=ZCAE=|zACB=15°.

AD

BC解圖

16.【答案】鑿@【解析】由折疊的性質(zhì)得，ZCBE=ZFBE,NABG=/FBG,

AZEBG=ZFBE+ZFBG=1x90°=45°,故①正確；由折疊的性質(zhì)得，BF=BC

=10,BA=BH=6,AHF=BF-BH=4,AF=^BF2-BA2=^/102-62=8,設(shè)

GH=x,則GF=8—x,在^aGHF中，x2+42=(8-x)2,，x=3,.*.GF=5,

Q1AFD

，AG=3,同理在放ZSFDE中，由FD2=EF2—ED?,得ED=:J,EF=f~,.?.京

J3rD

4AB)

X

=1女6=2,.,.△DEF與△ABG不相似，故②不正確；SAABG=23X6=9,SAFGH

=^x3x4=6,二|：：：=’='!，故③正確；VAG=3,DF=AD—AF=2,FG

=5,...AG+DF=FG=5,故④正確.綜上，答案是①③④.

三、解答題

17.【答案］

解:(1)證明:四邊形ABCD為菱形，

：.AB=AD,AC平分NR4D

BE=DF,：.AB-BE=AD-DF,

：.AE=AF,

??.△AEF是等腰三角形，

：AC平分NBA。，C.ACLEF.

(2)?.?四邊形ABC。為菱形，

ACG//AB,B0=-BD=2,

2

易知EF//BD,

四邊形EBDG為平行四邊形，

/.Z.G=AABD,tanXABD-tanXG=~,

2

tanZ.ABD=—=—=~,'.A,O=\.

BO22

18.【答案】

(1)(思路分析】根據(jù)四邊形ABCD是菱形，NABC：ZBAD=1：2,可求出NDBC

的度數(shù)，其正切值可求出.

解：???四邊形ABCD是菱形，

，AD〃BC,ZDBC=|ZABC,

.,.ZABC+ZBAD=180°,

XVZABC：ZBAD=1：2,

AZABC=60°,(2分)

ZDBC=|ZABC=3O°,

：.tanZDBC=tan30°=*.(3分)

(2乂思路分析】由BE〃AC,CE〃BD可知四邊形BOCE是平行四邊形，再結(jié)

合菱形對(duì)角線垂直的性質(zhì)即可證明四邊形BOCE是矩形.

證明：?.?四邊形ABCD是菱形，

AAClBD,即ABOC=90°,（4分）

VBE/7AC,CE〃BD,

；.BE〃OC,CE〃OB,

四邊形OBEC是平行四邊形，且NBOC=90。，

，四邊形OBEC是矩形.（5分）

方法指導(dǎo)1（1）要求一個(gè)角的正切值,可通過相關(guān)計(jì)算先求得角的度數(shù)，再求其正

切值，這種情況往往所求角度為特殊值；或者將該角置于直角三角形中，通過求

直角三角形邊長(zhǎng)來，求其正切值.（2）矩形的判定：①平行四邊形+有一個(gè)角是

直角；②平行四邊形+對(duì)角線相等；③四邊形的三個(gè)角是直角.

19.【答案】

解:⑴證明:連接0C

?.?CE是。。的切線,:.OCLCE.

，ZFCO+ZECF=90°.

\'DO±AB,：.ZB+ZBFO=90°.

'：ZCFE=ZBFO,

：.NB+NCFE=90°.

'：OC=OB,：.ZFCO=ZB.

:.NECF=NCFE.

CE=EF.

(2)?..AB是。。的直徑，ZACB=90°.

ZDCF=90°.

：.ZDCE+ZECF=90°,ND+/EFC=90。.

由(1)得NECT=NCFE,

，/D=/DCE.

：.ED=EC.

：.ED=EC=EF.

即點(diǎn)E為線段。戶的中點(diǎn).

①四邊形ECFG為菱形時(shí)，CF=CE.

VCE=EF,：.CE=CF=EF.

/.△CEF為等邊三角形.

：.ZCFE=60°.

：.ZD=30°.

故填30。.

②四邊形ECOG為正方形時(shí)，△ECO為等腰直角三角形.

Z.ZCEF=45°.

ZCEF=ZD+ZDCE,

：.ZD=ZDCE=22.5°.

故填22.5°.

20.【答案】

(1)證明：???四邊形A3CO是菱形，

：.AB=BC,NABE=NCBE.

在△A3E和△C3E中，AB=BC,ZABE=ZCBE,BE=BE,

，AABE^ACBE(SAS)；

(2)解：如解圖①，連接AC交8。于點(diǎn)O,分別過點(diǎn)A、E作的垂線，垂足

分別為點(diǎn)“、F,

解圖①

?.?四邊形ABCO是菱形，

J.ACVBD,

J5

'：AB=5,sinZABD=^-,

：.AO=OC