2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)01 二次函數(shù)壓軸題匯總（解析版）(一)

考點(diǎn)01二次函數(shù)壓軸題匯總

一、單選題(共15小題)

1.(2021?密山市期末)用一根鐵絲圍成正方形、長(zhǎng)方形、正三角形和圓，那么面積最大的是()

A.長(zhǎng)方形B.正方形C.正三角形D.圓

【解答】解：設(shè)鐵絲的長(zhǎng)度為a,

①當(dāng)圍成長(zhǎng)方形時(shí)，設(shè)長(zhǎng)為右，則寬為(a-x),則長(zhǎng)方形的面積=/xX曰(?-A)

1,、

=--x(x-a),

4

12

當(dāng)x=^-a時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大為月一，此時(shí)長(zhǎng)方形為正方形，即正方形的面積大于長(zhǎng)

216

方形的面積；

②當(dāng)圍成正三角形時(shí)，則三角形的邊長(zhǎng)為^a,

則正三角形的面積為-^-X-i-aX-i-asin60°--:

23336

③當(dāng)圍成圓時(shí)，則圓的半徑為蘇，

則圓的面積為H(-^-)2=-^￡；

2714兀

而抵2＞巖2＞'空日?/

即圓的面積最大，

故選:D.

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)

2.(2021?江北區(qū)校級(jí)期中)若整數(shù)〃使得關(guān)于x的分式方程笠出+3=與有整數(shù)解，且使得二次函

2-xx-2

數(shù)y=(a-2)f+2(a-l)x+a+1的值恒為非負(fù)數(shù)，則所有滿足前提的整數(shù)。的值之和是()

A.12B.15C.17D.20

【解答】解：??,二次函數(shù)y=(a-2)/+2(d1)x+〃+l的值恒為非負(fù)數(shù),

.4-2>0

△=4(a-l產(chǎn)-4(a-2)(a+lXO

解得心3,

解關(guān)于x的分式方程$2+3凸■得至

2-xx-2a-2

由x#2得，”#5,

因?yàn)?、X是整數(shù)，

所以a=3,x=6,。=4,x=3,〃=8,x~1,

同理吻合的a值共有3,4.8,

故所有滿足前提的整數(shù)“的值之和=3+4+8=15,

故選:B.

【常識(shí)點(diǎn)】分式方程的解、拋物線與x軸的交點(diǎn)

3.（2021?安溪縣期中）為了節(jié)流材料，某工廠操縱岸堤MN（岸堤足夠長(zhǎng)）為一邊，用總長(zhǎng)為80米的

材料圍成一個(gè)由三塊面積相等的小長(zhǎng)方形組成的長(zhǎng)方形ABCD區(qū)域（如圖），若BC=（x+20）米,

則下列4個(gè)結(jié)論:①AB=(10-1.5JC)米；②BC=2CF；③AE=2BE；④長(zhǎng)方形ABC。的最大面積為

300平方米.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

C.②③D.③④

【解答】解：?.?三塊面積相等的小長(zhǎng)方形，

：.EG=GF,設(shè)EG=FG=a,AE=HG=DF=b,

則EF=2“，故8E=FC=*/7,無(wú)法得出BC=2CF,故選項(xiàng)②錯(cuò)誤;

此時(shí)③AE=2BE,正確；

可得：b+^b+b+^b+b—80-2（x+20）,

解得：8=10-去，

Q1

則48=手（10-新）

=1■15J--，X人，

4

故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；

長(zhǎng)方形A8C。的面積為：S=（15-2）（20+x）

4

3

=-4^+9300,

4

???一為wo,

4

...當(dāng)x=O,即BC=20米時(shí)，S的最大值為300平方米，故④正確.

故選:D.

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用

4.（2021?越城區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線尸病-2〃優(yōu)+加-1（/M>0）與x軸的交

點(diǎn)為4,B.若橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，當(dāng)拋物線在點(diǎn)A,B之間的部分與線段AB所

圍成的區(qū)域內(nèi)（包羅界限）恰有6個(gè)整點(diǎn)，聯(lián)合函數(shù)的圖象，可得相的取值范疇為（）

A.B.C.O<W<4-D.

【解答】解：如圖所示，拋物線在點(diǎn)4,8之間的部分與線段48所圍成的區(qū)域內(nèi)（包羅界限）恰有6

個(gè)整點(diǎn)，對(duì)稱軸x=l,

.?.點(diǎn)4在（-1,0）與（-2,0）之間（包羅（-1,0））,

當(dāng)拋物線經(jīng)由（-1.0）時(shí)，切

當(dāng)拋物線經(jīng)由點(diǎn)（-2,0）時(shí),tn=一,

的取值范疇為

故選:A.

Bx

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)

5.（2021?渝中區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)>=加+法+°（4不0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）,

與），軸的交點(diǎn)在8（0,-2）和（0,-1）之間（不包羅這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=l,下列結(jié)

論不對(duì)的是（）

36

【解答】解：拋物線尸加+bx+cQWO）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1,0）,對(duì)稱軸為x=l,則拋物

線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）,

有-?=1,即2。+6=0,

2a

圖象過(guò)點(diǎn)（3,0）,是以，9“+38+c=0,故選項(xiàng)A不吻合題意；

圖象過(guò)點(diǎn)（-1,0）,故有a-b+c=O,即-c,

：.4b-3c=6+3。=-2。+3“=。>0,是以選項(xiàng)B不吻合題意，

因?yàn)?2<c<-1,對(duì)稱軸為x=\,是以極點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于-1,即嗎史<-1,就是

4a

4ac-b2<-4a,故選項(xiàng)C不吻合題意；

1o

由-2Vc<-l,b=-la,a-h+c=O可得，-2<-3a<-1,所以三<4<三，故選項(xiàng)。

33

吻合題意；

故選:D.

【常識(shí)點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

6.（2021?安徽模擬）將函數(shù)y=-d+2x+*0WxW4）在x軸下方的圖象沿x軸向上翻折，在x軸上方

的圖象連結(jié)不變，得到一個(gè)新圖象.新圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)最大值與最小值之差最小，則小的值為

（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

【解答】解：如下圖，函1數(shù)曠=-f+2r+,"的對(duì)稱軸為產(chǎn)1,故極點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,W+1）,

Ki

x

令y=0,則x=l±4m+l，設(shè)拋物線于x軸右側(cè)的交點(diǎn)A（l+Vm+L0）,

根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，圖象翻折后圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故翻折后的函數(shù)表達(dá)式為：

^+2x+m,

當(dāng)x=4時(shí)，y'=8-m,

當(dāng)0WxW4時(shí)，函數(shù)的最小值為0,故函數(shù)最大值與最小值之差最小，只需要函數(shù)的最大

值最小即可；

①當(dāng)點(diǎn)4在直線x=4的左側(cè)時(shí)（直線〃所處的位置），

即l+Vm+l<4,解得：,”<8：

當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)P處取得最大值時(shí)，即"?+128-見(jiàn)解得：，"23.5,

當(dāng)，”=3.5時(shí)，此時(shí)最大值最小為3.5；

當(dāng)函數(shù)在x=4處取得最大值時(shí)，即〃?+1W8-見(jiàn)解得：AMW3.5,

機(jī)最大為3.5時(shí)，此時(shí)最大值為，〃+1=4.5,

故"1=3.5；

②當(dāng)點(diǎn)A在直線x=4的右側(cè)時(shí)（直線"，所處的位置），

即1+471>4,解得：，">8；

函數(shù)的最大為??+1>9>3.5；

綜上，"1=3.5,

故選:C.

【常識(shí)點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與幾何變換、二次函數(shù)的最值

7.（2021?徐州模擬）如圖，拋物線尸混+以+。（a,h,。是常數(shù)，#0）與x軸交于A,B兩點(diǎn)，極

點(diǎn)PCm,n）給出下列結(jié)論:①2a+c<0；②若（-'!■，X），以），《，》）在拋物

線上，則>1>”>丫3；③關(guān)于x的方程加^灰+2。有實(shí)數(shù)解，則A>c-〃；④當(dāng)〃=-1吐AABP

A.①②B.①③C.②③D.②④

【解答】解:①；a>0,

2a2

Aa>-b,

Vx=-1時(shí)，y>0,

??a-b+c>0,

2a+c>a-/?+c>0,故①錯(cuò)誤;

②若（-yi）,（-J2）,（y.>,3）在拋物線上，

由圖象法可知，”>52>門(mén)；故②正確;

③：拋物線與直線y=f有交點(diǎn)時(shí)，方程蘇+&x+c=f有解，t^n,

：.wr+bx+c7=0有實(shí)數(shù)解

要使得a^+bx+k^O有實(shí)數(shù)解，則k=c-Kc-〃；故③錯(cuò)誤；

④設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于從毗鄰RtPB

Atr-44c=4,

?_-b±2

.-x--------.

2a

2

.?.僅1-必|=一,

a

:?AB=2PH,

■:BH=AH,

:?PH=BH=AH,

???△附3是直角三角形，

,:PA=PB,

???△鞏3是等腰直角三角形.故④正確.

故選:D.

【常識(shí)點(diǎn)】根的判別式、等腰直角三角形、拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特點(diǎn)

8.（2021?嘉興）已知二次函數(shù)y=f,當(dāng)aWxWb時(shí)加則下列說(shuō)法對(duì)的是（）

A.當(dāng)〃-相=1時(shí),b-4有最小值

B.當(dāng)〃-m=\時(shí),b-。有最大值

C.當(dāng)b-a=l吐n-m無(wú)最小值

D.當(dāng)b-a=l時(shí),n-m有最大值

【解答】解：方式1、①當(dāng)力-〃=1時(shí)，當(dāng)〃，。同號(hào)時(shí)，如圖1,

過(guò)點(diǎn)B作BC1AD于C,

：?NBCD=90°,

VZADE=ZBED=90<3,

:?NADE=/BCD=NBED=90°,

???四邊形8CDE是矩形，

:?BC=DE=b-。=1,CD=BE=m,

：.AC=AD-CD=n-m,

AC*

在RtAACB中，lanZABC=^=n-m,

BC

,點(diǎn)A,B在拋物線y=f上,且a,匕同號(hào)，

A45°^ZABC<90°,

/.tanZ/ABC^1,

.*./?-m21,

當(dāng)a,b異號(hào)時(shí)，〃?=0,

當(dāng)〃=-《，0=2時(shí)，〃=],此時(shí)，〃-

2244

-/n<1,

4

即〃一m2一,

4

即〃-“無(wú)最大值，有最小值，最小值為1，故選項(xiàng)C,D都錯(cuò)誤;

4

②當(dāng)〃-m=1時(shí)，如圖2,

當(dāng)a,6同號(hào)時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NHLMQ于H.

同①的方式得，NH=PQ=b-a,HQ=PN=m,

：.MH=MQ-HQ=n-m=\,

iru1

在中，lanNMNH=M=-^,

NHb-a

??,點(diǎn)M,N在拋物線y=f上，

.,?團(tuán)20,

當(dāng)zn=0時(shí)，n=l9

，點(diǎn)N(0,0),M(l,1),

:?NH=1,

此時(shí)，NMNH=45：

：.45°WNMNHV90；

???tanNMAW21,

當(dāng)4,b異號(hào)時(shí)，〃7=0,

；?〃=1,

；?a=-1,b=l,

即〃-〃=2,

?,北-a無(wú)最小值，有最大值，最大值為2,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

故選:B.

方式2、當(dāng)"-,”=1時(shí)，

當(dāng)&。在y軸同側(cè)時(shí)，a,b都越大時(shí)，〃越接近于0,但不能取0,即沒(méi)有最小

值，

當(dāng)4,6異號(hào)時(shí).，當(dāng)a=-l,6=1時(shí)，b-a=2最大，

當(dāng)〃-a=l時(shí)，當(dāng)a,匕在）'軸同側(cè)時(shí)，a,b離y軸越遠(yuǎn)，〃-越大，但取不到最大，

當(dāng)a,匕在y軸兩側(cè)時(shí)，當(dāng)a=-5，?時(shí)，取到最小，最小值為

224

是以，只有選項(xiàng)B正確，

故選:B.

圖1

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值

9.（2021?龍沙區(qū)一模）如圖，對(duì)稱軸為x=l的拋物線>=加+云+<;?與），軸的交點(diǎn)在1和2之間，與x

軸的交點(diǎn)在-1和0之間，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.h~-~2a

B.此拋物線向下移動(dòng)c個(gè)單位后過(guò)點(diǎn)（2,0）

C.-l<a<

2

D.方程f-2x=上無(wú)實(shí)根

a

【解答】解:A.函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-2=l,解得：方=-2公

2a

故A正確，不吻合題意；

B.此拋物線向下移動(dòng)c個(gè)單位后，新拋物線表達(dá)式為:y=ax2+bx=ax1-2ax=ax（x-2）,

令y=0,則x=0或2,故拋物線過(guò)點(diǎn)（2,0）,

故3正確，不吻合題意；

C.當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+cVO①，

當(dāng)x=1時(shí)，y=〃+〃+c=2②，

而1W2③，

聯(lián)立①②③并整理得：c=a+2,即1V4+2V2,解得-1<?<0,

故C錯(cuò)誤，吻合題意；

D.V?<0,

Ax2-2x=—變形為or2-lax-1=0,

a

?.?△=4〃2+4〃=44（tz+l）,iTff-1<a<0,

...△VO,故方程r-2x=上無(wú)實(shí)根，正確，不吻合題意；

a

故選:C.

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、根的判別式、拋物線與x軸

的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

10.（2021?浙江自主招生）已知函數(shù)/（x）-2ax+5,當(dāng)xW28t函數(shù)值隨x增大而減小，且對(duì)隨意

率性的lWxiWa+1和l&2Wa+l,孫M相應(yīng)的函數(shù)值巾，”總滿足M-"IW4,則實(shí)數(shù)。的取值

范疇是（）

A.-B.-1，<2C.2，W3D.2，W4

【解答】解：函數(shù)的對(duì)稱軸為x=〃，而xW2時(shí)，函數(shù)值隨x增大而減小，故a》2；

,.TWxiWa+1和1<及<。+1,

時(shí)，函數(shù)的最小值=5-

故函數(shù)的最大值在x=l和x=a+l中產(chǎn)生，

則x=l,x=a+l那個(gè)距x=a遠(yuǎn)，函數(shù)就在那一邊取得最大值，

??,心2,

I.a-121,而a+1-a=1,

???I間隔a更遠(yuǎn)，

???x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為：6-2〃，

??,對(duì)隨意率性的和IWJQWGH,孫必相應(yīng)的函數(shù)值*"總滿足I）"-"區(qū)4,

只需最大值與最小值的差小于等于4即可，

/.6-2a-（5-a2）<4,

a2-2a-3^0,

解得-1W〃W3,而〃22,

故選:C.

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

11.（2021?高青縣一模）如圖，拋物線y=-f+2x+〃z+l（加為常數(shù)）交y軸于點(diǎn)A,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)

在2和3之間，極點(diǎn)為B.

①拋物線）=-f+Zr+m+l與直線>=次+2有且只有一個(gè)交點(diǎn)；

②若點(diǎn)M（-2,%）、點(diǎn)、N弓,?。?、點(diǎn)P（2,y3）在該函數(shù)圖象上，則“<），2<”；

2

③將該拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線解析式為y=-（x+1）+m；

④點(diǎn)A關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)為C,點(diǎn)。、E分別在x軸和y軸上，當(dāng)〃?=1時(shí)，四邊形8CDE

周長(zhǎng)的最小值為V34W2.

其中對(duì)的判斷有（）

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①③

【解答】解：①把y="?+2代入y=-e+Zr+m+l中，得A2-2x+l=0,

,.?△=4-4=0,

此方程兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則拋物線產(chǎn)-『+2x+m+l與直線y=m+2有且只有一個(gè)交點(diǎn),

故①結(jié)論正確：

②?..拋物線的對(duì)稱軸為x=l,

...點(diǎn)P（2,券）關(guān)于x=l的對(duì)稱點(diǎn)為P（0,火），

-1<0,

，當(dāng)x<1時(shí)，y隨%增大而增大，

又；-2<0弓點(diǎn)M(-2,yi)、點(diǎn)N(a.y2)、點(diǎn)P'(0,y3)在該函數(shù)圖象上，

.?.y2>y3>yi,故②結(jié)論錯(cuò)誤；

③將該拋物線向左平移2個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，拋物線的解析式為：y=-(x+2)

2+2(x+2)x+m+1-2,即y=-(x+1)2+m,故③結(jié)論正確；

④當(dāng)"?=1時(shí)，拋物線的解析式為:y=-X2+2X+2,

.?.4(0,2),C(2,2),B(1,3),作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)8'(-1,3),作

C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'(2,-2),毗鄰8'C',與x軸、y軸分別交于。、E點(diǎn)、,如

則8E+ED+CD+8C=8'E+ED+C'D+BC=B'C+BC,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，知8'C

最短，而B(niǎo)C的長(zhǎng)度必然，

此時(shí)，四邊形BCDE周長(zhǎng)=8'C+BC最小，為：依砂+而2式砂=

^32+52+^12+12=V34+V2,故④結(jié)論正確；

綜上所述，對(duì)的結(jié)論是①③④.

故選:C.

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題

12.(2021?柯橋區(qū)期中)如圖是拋物線y=o?+及+。(〃#0)的部分圖象，其極點(diǎn)坐標(biāo)為(1,及)，且

與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)和(4,0)之間，則下列結(jié)論：

①b=2a；

@C-4=〃；

③拋物線另一個(gè)交點(diǎn)(丸0)在-2到7之間；

④當(dāng)x〈0時(shí)，加+(。+2)x<0；

⑤一元二次方程加+(〃-*)x+c=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解:①因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x=l,

即-3=1,所以6=-2a,

2a

所以①錯(cuò)誤；

②當(dāng)x=l時(shí)，y=",

所以a+b+c=n,因?yàn)閎=-2a,

所以-a+c=n,

所以②正確；

③因?yàn)閽佄锞€的極點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),

即對(duì)稱軸為x=l,

且與x軸的?個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)和(4,0)之間，

所以拋物線另一個(gè)交點(diǎn)(九0)在-2到-1之間；

所以③正確；

④因?yàn)閛x2+Cb+2)x<0,即加+版<-

根據(jù)圖象可知：

把拋物線卜=加+歷什。("W0)圖象向下平移c個(gè)單位后圖象過(guò)原點(diǎn),

即可得拋物線)，=加+汝(aWO)的圖象，

所以當(dāng)x<0時(shí)，ax2+hx<-2x,

即ax2+(b+2)x<0.

所以④正確；

⑤一元二次方程加+"-!)X+C

因?yàn)楦鶕?jù)圖象可知:a<0,c>0,

所以-4ac>0,

所以△=(/?--)2-4ac>0

所以一元二次方程加+(Z)-l)x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

所以⑤正確.

故選:D.

【常識(shí)點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、二次函數(shù)與不等式(組)

13.(2021?井研縣模擬)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的大抵圖象如圖所示，極點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-

9a),下列結(jié)論：①〃歷<0；(2)4a+2b+c>0；③5〃-b+c=0；④若方程a(x+5)(x-1)=-1有兩

個(gè)根汨和X2,且M<X2,則-5VX|<X2<1；⑤若方程k^+fer+cin有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為-

8,其中對(duì)的結(jié)論有()

A.①②③④B.①②③⑤C.②③④⑤D.①②④⑤

【解答】解：二次函數(shù)表達(dá)式為：y=a(x+2)2-9a—ax2+4ax-5a—a(x+5)(x-1),

①拋物線對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，則M同號(hào)，而c<0,則"c<0,故正確；

②函數(shù)在y軸右側(cè)的交點(diǎn)為x=l,x=2時(shí)，y=4“+2&+c>0,故正確；

③5a-b+c=5a-4a-5aW0,故錯(cuò)誤；

④y=a(x+5)(x-1)+1,相當(dāng)于由原拋物線,向上平移了1個(gè)單位，故有兩

個(gè)根M和X2,且Xl<*2,則-5VXI<X2<1,正確；

⑤若方程|af+6x+c|=l,即：若方程加+汝+^二士1,當(dāng)o^+bx+c-1=0時(shí)，用韋達(dá)定理得：

其兩個(gè)根的和為-4,同理當(dāng)加+反+c+l=0時(shí)，其兩個(gè)根的和也為-4,故正確.

故選:D.

【常識(shí)點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)、根的判別式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系

數(shù)的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系

14.(2021?西湖區(qū)校級(jí)月考)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)圖形F給出如下定義：若圖形F上的所有點(diǎn)都在

以原點(diǎn)為極點(diǎn)的角的內(nèi)部或界限上，在所有滿足前提的角中，其度數(shù)的最小值稱為圖形的坐

標(biāo)角度，例如，如圖中的矩形A8CO的坐標(biāo)角度是90°.現(xiàn)將二次函數(shù))，="*(lWaW3)的圖象

在直線y=l下方的部分沿直線y=l向上翻折，則所得圖形的坐標(biāo)角度a的取值范疇是()

A.30°WaW60°B.60°WaW90°

C.90°WaW120°D.120°WaW150°

【解答】解：當(dāng)a=l時(shí)，如圖1中,

圖1

???角的兩邊分別過(guò)點(diǎn)A(-1,1),B(1,1),作BELx軸于E,

：.BE=OE,

；.NBOE=45：

根據(jù)對(duì)稱性可知乙408=90°

.?.此時(shí)坐標(biāo)角度加=90°；

當(dāng)a=3時(shí)，如圖2中，

角的兩邊分別過(guò)點(diǎn)A(-K,1),8(11),作BELx軸于E,

33

：tanNBOE=?

3

；.NBOE=60°,

根據(jù)對(duì)稱性可知NAO8=60°

,此時(shí)坐標(biāo)角度a=60°,

，60°WaW90°；

故選:B.

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

15.（2021?番禺區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx（k為常數(shù)）與拋物線尸9-2

交于A,8兩點(diǎn)，且4點(diǎn)在〉軸左側(cè)，尸點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-4）,毗鄰B4,PB.有以下說(shuō)法：

①PO2=%.p8；②當(dāng)Q>0時(shí)，（用+AO）（PB-BO）的值隨k的增大而增大；

③當(dāng)％=-2/③時(shí)，BP2=BO?BA；④面積的最小值為4氓,

3

其中對(duì)的個(gè)數(shù)是（）

\1/

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：設(shè)A（肛km）,B（n,kn）,其中機(jī)<0,n>0.

聯(lián)立-2與y—kx得：gv2-2—kx,即x2-3kx

-6=0,

33

/.m+n=3k,mn=-6.

設(shè)直線以的解析式為將P（0,-4）,/\（tn,km）代入得：

尸，

Ima+b=km

解得。=叵艮，b=-4,

ID

.zkm+4.

??y=（--------）xx-4.

ID

令）Lt）,得L

kirH-4

.?.直線以與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為％露。）?

同理可得，直線尸B的解析式為y=（應(yīng)此士）x-4,直線PB與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（華j

nkn+4

0)

..4m?4n=8kmn+16(n+n)_8kx(-6)+16X3k=0

kirrl-4kn+4(km+4)(kn+4)(knH-4)(kn+4)

.?.直線以、尸8與x軸的交點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，即直線用、PB關(guān)于)，軸對(duì)稱.

(1)說(shuō)法①錯(cuò)誤.來(lái)由如下：

如答圖1所示，：以、PB關(guān)于y軸對(duì)稱，

...點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'落在P8上.

毗鄰0A',則04=04',ZPOA=ZPOA'.

假定結(jié)論：尸。2=%.尸8成立，即十及

?PO-PB

"PA7P0'

又?：NBP0=NBP0,

：.^P0A'S^PBO,

：.ZP0A'=NPB0,

：.ZAOP^ZPBO.

而/AOP是△P80的外角，

ZAOP>ZPBO,抵悟，

說(shuō)法①錯(cuò)誤.

(2)說(shuō)法②錯(cuò)誤.來(lái)由如下：

：.OB=--OA.

m

由對(duì)稱可知，P0為△AP8的角平分線，

?PB=OB

"PA^0A)

：.PB=--PA.

ID

A(PA+AO)(PB-BO)=(PA+AO)[--PA-(-—OA)]=--(PA+AO)(PA-OA)

IDIDID

=(PA2-AO1).

m

如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)A作AQ_Ly軸于點(diǎn)Q,則。。=-外兒PD=4+km.

：.PA2^AO2=(PD2+AD2)-(OD2+AD2)=PD2-0D2=C4+km)2-(-hn)2=8^+16,

m+n=3k,/.k=^-C/n+h),

1ooRRQ

.,./^42-A01=89—(m+n)?fn+16=—nr+—nin+16=—nr-^—X(-6)+16=—w2.

333333

8o

.??(%+4O)CPB-BO)--{PA2-AO2)[?0=-----mn=造X(-6)=16

IDID33

即：(以+A0)(PB-BO)為定值，所以說(shuō)法②錯(cuò)誤.

(3)說(shuō)法③正確.來(lái)由如下：

3

尸~X

當(dāng)k=-返時(shí)，聯(lián)立方程組：，

,,得A(-2?,2)B(V3,-1),

3y=1yx2-2c

ABP2=12,5O?5A=2X6=12,

:.BM=BO，BA,故說(shuō)法③正確.

(4)說(shuō)法④正確.來(lái)由如下：

SAPAR=S&PAO+S^PHO=~OP^-m)+^-OP*n—^-OP^n-m)=2(”-"?)=2((城門(mén))2-4益

=2V9k2+24'

...當(dāng)&=0時(shí)，△外8面積有最小值，最小值為2颯=4加.

故說(shuō)法④正確.

綜上所述，對(duì)的說(shuō)法是：③④.

故選：B.

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題

二'填空題(共7小題)

16.(2021?武漢模擬)拋物線'=五+區(qū)+。經(jīng)由A(-1,3),B(2,3),則關(guān)于x的一元二次方程

a(x-2)2-3=26-bx-c的解為.

【解答】關(guān)于x的一元二次方程a(x-2)2+/>x=2b-c變形為a(x-2)2+b(x-2)+c=0,

把拋物線)'=加+云+。沿x軸向右平移2個(gè)單位得到y(tǒng)'=a(x-2)2+b(x-2)+c,

設(shè)V'=3,

當(dāng)V'=y''時(shí)，即“(x-2)2+b(x-2)+c=3,即a(x-2)2-3=2b-hx-c,

即一元二次方程a(x-2)2-3=2b-bx-c的解轉(zhuǎn)化為y'=y''的交點(diǎn)，

而平移前函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1或2,向右平移2個(gè)單位后交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1或4

故答案為1或4.

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)

17.(2021?巴南區(qū)期末)若整數(shù)a使關(guān)于x的二次函數(shù))=(a-1)/-(2a+3)x+a+2的圖象在x軸

的下方，且使關(guān)于x的分式方程2+」之=畢二有負(fù)整數(shù)解，則所有滿足前提的整數(shù)。的和

x+33+x

【解答】解：由題意得：a-1<0且△=(-2o-3)2-4(a-1)(a+2)<0,

解得a<-/-；

o

解分式方程2+筆=辱”得，x=W，

x+33+xa-1

且xW-3,即-^<0且-3

a-1a-1

解得：4Vl且aW-3,

故“V-?且。=-3,

a=-5或-11時(shí)，x=烏有負(fù)整數(shù)解，

a-1

故所有滿足前提的整數(shù)“的和為-16.

故答案為-16.

【常識(shí)點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、分式方程的解

18.(2021?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)二模)如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)0處練習(xí)發(fā)球，將球從0點(diǎn)正上方2m的A處

發(fā)出，把球算作點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y(/n)與運(yùn)行的水平間隔尤(相)滿足關(guān)系式)，=a(x-6)?+江己

知球網(wǎng)與。點(diǎn)的水平間隔為9肛高度為2.24肛球場(chǎng)的界限距。點(diǎn)的水平間隔為18/n.若球必然

能越過(guò)球網(wǎng)，又不出界限(可落在界限)，則/?的取值范疇是

【解答】解：點(diǎn)4(0,2),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：2=”(0-6)2+反解得：〃=紀(jì)\

故拋物線的表達(dá)式為丫=第(x-6)2+h,

36

由題意得：當(dāng)x=9時(shí)，y=2^(x-6)2+h=^-(9-6)2+/z>2.24,解得：〃>2.32；

3636

當(dāng)x=18時(shí)，y=Z^(x-6)2+h=^-(18-6)2+h^0,解得：/?》反,

36363

故h的取值范疇是為

0

故答案為h一卷.

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用

19.(2021?廣州)對(duì)某條線段的長(zhǎng)度進(jìn)行了3次測(cè)量，得到3個(gè)成果(單位:〃如)9.9,10.1,10.0,若

用“作為這條線段長(zhǎng)度的近似值，當(dāng)〃=巾，”時(shí)，(a-9.9)2+(a-10.1)2+(a-10.0)2最小.對(duì)

另一條線段的長(zhǎng)度進(jìn)行了〃次測(cè)量，得到"個(gè)成果(單位:相〃?)XI,X2,…，X”,若用x作為這條

線段長(zhǎng)度的近似值，當(dāng)X="Wl時(shí)，(JC-Xl)2+(X-X2)2+,,,+(X-X”)2最小.

【解答】解：設(shè)曠=（67-9.9）2+Ca-10.1）2+（a-10.0）2=3a2-60.0a+300.02,

Va=3>0,

...當(dāng)*=_-呼JO0時(shí)，y有最小值，

0

2

設(shè)W=（X-Xi）+（X-X2）?+…+（X-Xfi）2=-2（用+12+…+x〃）X+（工/+^^+…+X/）,

Vn>0,

，，，

I尹???+「

...當(dāng)x=---2--（-Xii+X?9-+----+-X2Y1-）=>X_+x------X-巴時(shí)，w有最小值.

2nn

故答案為10.0,

n

【常識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用

20.（2021?荊門(mén)）如圖，拋物線），=五+法+。QW0）與x軸交于點(diǎn)4、B,極點(diǎn)為C,對(duì)稱軸為直線x

=1,給出下列結(jié)論：①HcVO；②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,2）,則△4BC的面積可以等于2；③M

（X|,>,l）,N（X2,>2）是拋物線上兩點(diǎn)（X1<X2）,若Xl+X2>2,則力<丫2；④若拋物線經(jīng)由

點(diǎn)（3,-1）,則方程五+bx+c+l=O的兩根為-1,3.其中正確結(jié)論的序號(hào)為

【解答】解:①拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則。匕<0,而c>0,故a6c<0,正確，吻合題意；

②△ABC的面積=aAB?yc=/xA8X2=2,解得：A8=2,則點(diǎn)A（0,0）,即c=0與

圖象不符，故②錯(cuò)誤，不吻合題意；

③函數(shù)的對(duì)稱軸為X—1,若XI+X2>2,則（X1+X2）>1,則點(diǎn)N離函數(shù)對(duì)稱軸遠(yuǎn)，故yi

>）%故③錯(cuò)誤，不吻合題意；

④拋物線經(jīng)由點(diǎn)（3,-I）,則y'ua^+bx+c+l過(guò)點(diǎn)（3,0）,

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸該拋物線也過(guò)點(diǎn)（-1,0）,故方程渥+法