2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓》解答題36

2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓》解答題

1.如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)8的坐標(biāo)分別是（1,0）,（5,0）,點(diǎn)尸是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）使/APB=30°的點(diǎn)尸有無數(shù)個(gè);

（2）若點(diǎn)尸在y軸上，且/AP2=30°,求滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在），軸上移動(dòng)時(shí)，N4PB是否有最大值？若有，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說明此時(shí)

NAPB最大的理由；若沒有，也請說明理由.

%

5-

4-

3-

2-

1-/B

iiii????“

-4-3-2-1012345X

-1-

-2-

-3-

-4-

【分析】（1）已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是定點(diǎn)，要使N4P8=30°,只需點(diǎn)P在過點(diǎn)4、點(diǎn)8的

圓上，且弧AB所對的圓心角為60。即可，顯然符合條件的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè).

（2）結(jié)合（1）中的分析可知：當(dāng)點(diǎn)尸在y軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)P是（1）中的圓與y

軸的交點(diǎn)，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可求出符合條件的

點(diǎn)尸的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)尸在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的

圓外角.要NAPB最大，只需構(gòu)造過點(diǎn)A、點(diǎn)B且與y軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得NAP8

最大的點(diǎn)P,然后結(jié)合切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理

等知識即可解決問題.

【解答】解：（1）以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,

以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作OC,交y軸于點(diǎn)Pi、P2.

在優(yōu)弧AP1B上任取一點(diǎn)P,如圖1,

則NAPB=￡ACBTX60°=30°.

22

...使/4P8=30°的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè).

故答案為：無數(shù).

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，

過點(diǎn)C作CGLAB,垂足為G,如圖1.

?.?點(diǎn)A（1,0）,點(diǎn)B（5,0）,

：.OA=\,08=5.

."8=4.

?.?點(diǎn)C為圓心，CGLAB,

：.AG=^BG=—AB=2.

2

OG=OA+AG=3.

???△A8C是等邊三角形，

：.AC=BC=AB=4,

?,-CG=VAC2-AG2

=V42-22

=2遮.

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,2?）.

過點(diǎn)C作C￡>，y軸，垂足為。，連接CP2,如圖1,

?.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,2&）,

:.CD=3,O￡>=2?.

VPHP2是。C與y軸的交點(diǎn)，

：.ZAP]B=ZAP2B=30C,.

"：CP2=CA=4,CD=3,

DP2—，42.32=5/7.

?.?點(diǎn)C為圓心，CDLP1P2,

：.PID=P2D=E

:.PI（0,2V3-V7）.PI（0,2V3+V7）.

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，

同理可得：尸3（0,-2?-祈）.「4（0,-2代W7）.

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：

（0,2加-赤、（0,2百班）、（0,-2?-行）、（0,-2?+赤）.

（3）當(dāng)過點(diǎn)A、B的OE與），軸相切于點(diǎn)P時(shí)，NAP8最大.

理由：可證：ZAPB=ZAEH,當(dāng)NAPB最大時(shí)，NAEH最大.由sin/A￡77=2得:

AE

當(dāng)AE最小即PE最小時(shí)，NAEH最大.所以當(dāng)圓與y軸相切時(shí)，/AP8最大.

①當(dāng)點(diǎn)P在），軸的正半軸上時(shí)，

連接E4,作EHLx軸，垂足為4,如圖2.

與），軸相切于點(diǎn)P,

：.PE1OP.

；EHLAB,OPLOH,

，NEPO=ZPOH=NEHO=90°.

四邊形OPEH是矩形.

AOP=EH,PE=OH=3.

：.EA=3.

?；NEHA=90°,AH=2,EA=3,

A￡//=VEA2-AH2

=V32-22

—A/5

：3=娓

：.P（0,&）.

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，

同理可得：P（0,-煙）.

理由：

①若點(diǎn)P在了軸的正半軸上，

在y軸的正半軸上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），

連接MA,MB,交。E于點(diǎn)M連接24,如圖2所示.

???ZANB隹2MN的外角,

NANB>NAMB.

2APB=/ANB,

：.ZAPB>