可加危險模型在生存分析中的應用

可加危險模型在生存分析中的應用

1在文獻中的應用最近，有許多關于生存疾病的文章。該模型通常用于模擬生命數(shù)據(jù)中包含的所謂“長期生存者”的生存數(shù)據(jù)，并廣泛應用于癌癥、艾滋病研究、犯罪學、市場學和工程可靠性的研究。鮑爾和肖喬從頻率分析的角度詳細討論了這種模型。當需要考慮這種帶有共同變量的模型時，kuk和chen在文獻中討論了該模型。S(t)=1-p[1-F0(t)]exp(zTβ).(1.1)這里F0(t)是一個正確的分布函數(shù),z是協(xié)變量,β是協(xié)變量系數(shù),p是人群中的易感染人群的比例,1-p是治愈比例,T表示向量的轉置.Yakovlev等在文獻中給出了另一個生存治愈模型,稱之為“非混合”治愈模型.其定義如下:S(t)=exp{-θF0(t)}.(1.2)這里θ是待估的參數(shù),F0(t)是一個正常的分布函數(shù).Chen等在文獻中指出,在模型(1.1)中,當β=0時,則它和模型(1.2)有明確的數(shù)學聯(lián)系.但當其帶有協(xié)變量的時候,則各自有不同的生物學的背景.當模型(1.2)帶有協(xié)變量的時候,變?yōu)槿缦碌哪Ｐ?S(t)=exp{θ[1-F0(t)]exp(zTβ)-θ}.(1.3)Tsodikov在文獻中,假設分布函數(shù)F0(t)是連續(xù)的情形,研究了模型(1.3).Zhao在文獻中研究了離散情況下的模型(1.3).我們注意到,模型(1.1)和(1.3)都不具有比例危險率(proportionalhazrads)結構.因此,Maller和Zhou在文獻中提出了另一個模型:S(t)=[1-pF0(t)]exp(zTβ).(1.4)我們稱之為“不正確”的比例危險率模型,Zhao在文獻中從多個方面研究了模型(1.4)的性質(zhì).雖然比例危險率(可乘)模型已經(jīng)被廣泛討論,但最近以來,可加危險模型也引起了廣泛重視,Lin和Ying在文獻中首次給出了可加模型λ(t)=ˉλ0(t)+zΤβ(1.5)的部分似然估計方法,這里λ(t)是危險率函數(shù),ˉλ0(t)是基礎危險率函數(shù).我們這里假定了協(xié)變量及其系數(shù)與時間t無關,或叫獨立于時間t.那么模型(1.5)所對應的生存函數(shù)為:s(t)=[1-f0(t)]·exp{-zTβt}.(1.6)讀者可參看另外的相關文獻,如文獻、等.類似地,如果我們同時考慮可加的危險函數(shù)和生存治愈模型,上面的模型(1.1)和(1.3)可以推廣為:F(t)=pF0(t),λ0(t)=ˉλ0(t)+zΤβt,(1.7)S(t)=exp{-θF0(t)},λ0(t)=ˉλ0(t)0(t)+zΤβt.(1.8)這里,λ0(t)是相應于F0(t)的危險率函數(shù),ˉλ0(t)是未知的基礎危險函數(shù),可以完全未知或參數(shù)化.模型(1.4)可以推廣為:λ(t)=ˉλ0(t)+zΤβ=pf0(t)1-pF0(t)+zΤβ.(1.9)注意到模型(1.9)的基礎危險率ˉλ0(t)是“半?yún)?shù)”的,當然我們可以將其參數(shù)化,這也是此模型與前兩個模型不相同的地方.我們注意到模型(1.7)-(1.9)都是可乘模型的自然延伸,這3個模型目前的文獻沒有研究過.本文的目的就是希望將可乘危險模型推廣到可加危險模型,并且可以容許生存數(shù)據(jù)中有治愈部分出現(xiàn).我們再注意到模型(1.9)是模型(1.5)的推廣,即在模型(1.6)中允許其基礎危險函數(shù)1-F0(t)可以“不正確”為1-pF0(t).我們這里重點研究模型(1.9).在第2節(jié),我們研究模型(1.9)的模型識別問題,其參數(shù)估計和大樣本性質(zhì)我們放在第3節(jié)討論.第4節(jié)我們做了一個小的模擬,總結和討論放在本文的第5部分.2模型不可識別性的定理Li等在文獻中討論了“不正確”可乘危險模型的識別問題,這里我們可以類似討論模型(1.9)的識別問題.假設T+(允許T+=∞)是一個充分大的時間,除此之外,我們不再感興趣.我們假設參數(shù)p通過函數(shù)p(x)依賴于協(xié)變量x,正常的分布函數(shù)F0(t)獨立于變量x.不妨假設x是一維的變量.假設F0={F0(t,Ψ):Ψ∈ΘΨ}是正常的失效時間分布函數(shù)的一個類,令χ是設計空間.為了方便,我們假設χ是閉區(qū)間[a0,a1],記易感染人群的比例函數(shù)空間為Ρ={p(x)≠0、1,x∈χ}.本節(jié)我們假設Ρ是獨立于協(xié)變量x的常數(shù).定義H1={S(t,p,Ψ)=[1-pF0(t,Ψ)]·exp(-r(x)t),t<T+,x∈χ,p∈(0,1],F0(t,Ψ)∈F0]}(2.1)我們先給出“不正確”AH模型可識別的定義.定義2.1“不正確”AH模型類H1是可識別的,如果對H1中任意兩個元素S(t,p)=[1-pF0(t)]·exp(-r(x)t)和SΔ(t,p)=[1-pΔFΔ0(t)]exp(-rΔ(x)t],則S(t,p)≡SΔ(t,p)成立當且僅當p≡pΔ,r(x)≡rΔ(x)和F0(t)≡FΔ0(t)對x∈χ和幾乎所有t∈(0,T+]成立.定義2.2“不正確”AH模型類H1是可識別的,如果對H1中任意兩個元素,SΔ(t,pΔ,ΨΔ)=[1-pΔF0(t,ΨΔ)]·exp(-rΔ(x)t)和S(t,p,Ψ)=[1-pF0(t,Ψ)]·exp(-r(x)t),則S(t,p,Ψ)≡SΔ(t,pΔ,ΨΔ)成立當且僅當p≡pΔ,r(x)≡rΔ(x)和F0(t,Ψ)≡FΔ0(t,Ψ)對x∈χ和幾乎所有t∈(0,T+]成立.下面我們建立“不正確”AH模型的可識別性定理.定理2.1假設x是設計空間χ=[a0,a1]上的連續(xù)變量,-∞<a0<a1<∞.那么,模型S(t,p)=[1-pF0(t)]·exp(-r(x)t),t∈T+(2.2)是不可識別的.定理2.2假設x是設計空間χ=[a0,a1]上的連續(xù)變量,-∞<a0<a1<∞.那么,模型S(t,p,Ψ)=[1-pF0(t,Ψ)]·exp(-r(x)t),t∈T+(2.3)是可識別的.證明定理2.1,我們需要證明S(t,p)≡SΔ(t,p)成立當且僅當p≡pΔ,r(x)≡rΔ(x)和F0(t)≡FΔ0(t)對幾乎所有t∈(0,T+]成立.充分性是顯然的,我們只證明必要性.假設S(t,p)≡SΔ(t,p).由(2.2)我們可以看出:r(x)-rΔ(x)=[log(1-pF0(t)-log(1-pΔFΔ0(t))]t.(2.4)注意到(2.4)的左邊僅僅依賴于x而右邊僅僅依賴于t,所以差必定是不依賴x∈χ和t<T+的常數(shù)c,于是我們有:r(x)-rΔ(x)=c,(2.5)1-pΔFΔ0(t)=[1-pF0(t)]·exp(-ct).(2.6)那么對任意的c>0,我們可以找到比例p≠pΔ,和分布函數(shù)F0(t)≠FΔ0(t)使得(2.6)對所有t<T+成立,這是基于以下理由:對任意固定的p,c>0和生存函數(shù)1-pF0(t),生存函數(shù)1-pF0(t)可以被視為兩個獨立隨機變量的生存函數(shù)[1-pF0(t)]}和exp(-ct)(指數(shù)生存函數(shù))的聯(lián)合生存函數(shù),因此模型(2.2)是不可識別的.證明定理2.2如果模型不可識別,那么必定存在兩個互不相同的函數(shù)(pΔ,F0(t,ΨΔ),rΔ(x))和(p,F0(t,Ψ),r(x))使得:r(x)-rΔ(x)=c,(2.7)1-pΔF0(t,ΨΔ)=[1-pF0(t)]·exp(-ct).(2.8)我們?nèi)菀字?如果c≠0,則(2.8)不正確.因為此時F0(t,ΨΔ)不再屬于F0(t,Ψ)所在的分布函數(shù)類.3估計p:0正如文獻所做的那樣,我們也假設計數(shù)過程Ni(t)表示第i個對象的直到時刻t(含t)我們感興趣的事情發(fā)生的次數(shù),則相應的強度函數(shù)定義為:Yi(t)Λ(dt,zi)=Yi(t){Λ0(dt)+zΤiβdt}.(3.1)這里,Yi(t)=Ι{Τi∧ci≥t}={1,在t前(含t),第i人仍處于觀測中；0?其它.失效時間T常常被另一個隨機時間c右刪失,Λ0(t)=∫t0λ0(u)du,λ0(u)定義于(1.9)中.對任意的i和t,計數(shù)過程可以被唯一地分解為:Ni(t)=Mi(t)+∫t0Yi(u)Λ(u,zi).(3.2)此處Mi(t)是一個局部鞅(localmartingale).因此,自然地,Λ0(t)的一個估計可以定義為:?Λ0(?β,t)=∫t0∑ni=1{dΝi(u)-Yi(u)?β′zidu}∑nj=1Yj(u).(3.3)其中,β^是某個相合估計.我們注意到,由(1.6)和(1.9),參數(shù)p的一個估計可以定義為:p^=1-exp{-Λ^0(β^,∞)}.(3.4)模仿Cox的部分似然估計,Lin和Ying在文獻中給出了參數(shù)β的一個估計為:β^=[∑in∫0∞Yi(t){zi-zˉ}×2dt]-1[∑in∫0∞{zi-zˉ}dΝi(t)].(3.5)這里a×2=aa′,zˉ=∑j=1nYj(t)zj/∑j=1nYj(t).當沒有治愈部分出現(xiàn)的時候,即在模型(1.6)的情形下,Lin和Ying在文獻中證明了以下事實:(Ⅰ)由(3.5)式定義的β的估計有下列大樣本性質(zhì):n{β^-βL→Ν(0,σ2)}.這里,σ2可以由它的一個相合估計A-1BA-1代替,其中A=n-1∑i=1n∫0∞Yi{zi(t)-z^}×2dt,B=n-1∑i=1n∫0∞{zi-z^}×2dΝi(t).(Ⅱ)由(3.3)式定義的估計Λ^0(t)滿足下列漸近性質(zhì):n(Λ^0(t)-Λ0(t))弱收斂到一個零均值Gaussian過程,它的協(xié)方差函數(shù)的一個相合估計為:∫0sn∑i=1ndΝi(u){∑j=1nYj(u)}2+C′(t)A-1BA-1C(s)-C′(t)A-1D(s)-C′(s)A-1D(t).(3.6)其中C(t)和D(t)定義為:C(t)=∫0tzˉdt,D(t)=∫0t∑i=1n{zi-zˉ}dΝi(u)∑i=1nYi(u).由性質(zhì)(Ⅰ)和(Ⅱ),我們?nèi)菀椎玫侥Ｐ?1.9)中的參數(shù)的估計p^(參看(3.4)式)的大樣本性質(zhì).為了節(jié)省篇幅,我們不給出詳細的證明過程.由泛函版本的δ-方法,我們?nèi)菀鬃C明下列性質(zhì):定理3.1在某些規(guī)則條件下,由(3.4)所定義的估計p^滿足下列性質(zhì):當n→∞時,p^p→p以及n1/2(p^-p)→dΝ(0,exp(-2Λ0(+∞))∑Λ^0(+∞)-1).這里Λ0(t)=∫0tλ?0(u)du,λ?0(u)定義于(1.9)中;∑Λ^0(+∞)是Λ^0(+∞)的漸近方差,其估計由(3.6)式給出.4樣本均值和協(xié)變量系數(shù)我們考慮一個小的模擬來檢驗我們提出的估計的精度.我們考慮兩樣本問題.假設我們的失效分布函數(shù)是F(t)=pF0(t),這里我們假設F0(t)是均值為1/λ=1/0.0581的指數(shù)分布,刪失分布我們?nèi)?到100之間的均勻分布,易感染人群的比例我們?nèi)閜=0.85,協(xié)變量系數(shù)β=-0.385.就兩樣本問題而言,樣本一和二的協(xié)變量系數(shù)分別取為zi=0和zi=1.我們主要考慮樣本均值和樣本方差和真實值的差異.樣本大小我們考慮n=100和n=400,重復1000次.當n=100時,Mean(β^)=-0.364,STD(β^)=0.0156,Mean(p^)=0.8211,STD(p^)=0.0328;當n=400時,Mean(β^)=-0.383,STD(β^)=0.0042;Mean(p^)=0.8503,STD(p^)=0.0065;這里Mean(·)表示樣本均值,STD(·)表示樣本方差.從我們模擬的結果看,我們提出的估計是真實的參數(shù)值的一個合理的估計,并且隨著樣本容量的增加,估計更靠近真實參數(shù)值.5生存治療性模型的離散化本文首先總結了生存治愈模型中的可乘危險模型,即常見的比例危險模型,然后將這幾類可乘危險模型推廣到可加危險模型,并重點討論了模型(1.