專(zhuān)題6.5+反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（北師大版）

第第頁(yè)專(zhuān)題6.5反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）【知識(shí)點(diǎn)1】反比例函數(shù)的圖象圖象的畫(huà)法（描點(diǎn)法）（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線.圖象的特點(diǎn)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；反比例函數(shù)圖象的兩支分別位于第一、第三象限或第二、四象限；雙曲線的兩支都無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。特別提醒：雙曲線既是中心對(duì)稱(chēng)圖形(對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn))又是軸對(duì)稱(chēng)圖形(對(duì)獼軸是直線：y=x或直線y=-x)；實(shí)際問(wèn)題中反比例函數(shù)的圖象，受目變量取值范圍的限制，有時(shí)只是第一象限內(nèi)的一支或其中一部分?！局R(shí)點(diǎn)2】反比例函數(shù)的性質(zhì)y＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，)圖象[來(lái)源:Zxxk.Com][來(lái)所在象限[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]一、三(x，y同號(hào))[二、四(x，y異號(hào))增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大對(duì)稱(chēng)性1.圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)；2.圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，兩條對(duì)稱(chēng)軸分別是平面直角坐標(biāo)系一、三象限的角平分線和二、四象限的角平分線．特別提醒：在描述反比例函數(shù)的噌減性時(shí),必須指明在每一個(gè)家限內(nèi)”.因?yàn)楫?dāng)k>0(k<0)時(shí),整個(gè)函數(shù)不是y隨x的增大而減小(增大)而是函數(shù)在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減小(增大),所以籠統(tǒng)地說(shuō)對(duì)于函數(shù)y隨×的增大而減小是錯(cuò)誤的.【知識(shí)點(diǎn)三】系數(shù)k的幾何意義(1)意義：從的圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為.如圖①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)|k|.(2)常見(jiàn)的面積類(lèi)型：已知相關(guān)面積求反比例函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，若函數(shù)圖象在第二、四象限，則k＜0.(3)越大，雙曲線離原點(diǎn)越遠(yuǎn).(4)求k的常用方法①由面積關(guān)系求k值：用含k的代數(shù)式表示已知圖形的面積；②設(shè)點(diǎn)法列方程求k值:化斜為直，把相似轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系.【考點(diǎn)一】判斷（畫(huà)）反比例函數(shù)的圖象【例1】（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出反比例函數(shù)與的圖象，并比較與的圖象，概括出反比例函數(shù)的圖象在位置和對(duì)稱(chēng)性方面的性質(zhì)．【答案】見(jiàn)分析【分析】根據(jù)題意畫(huà)出同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出反比例函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象分析性質(zhì)即可求解．解：列表如下，列表如下，同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫(huà)出反比例函數(shù)與的圖象，如圖所示，的圖象，位于一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)隨的增大而減小，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，關(guān)于象限平分線軸對(duì)稱(chēng)，的圖象，位于二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)隨的增大而增大，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，關(guān)于象限平分線軸對(duì)稱(chēng)，【點(diǎn)撥】本題考查了畫(huà)反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】分別討論和時(shí)，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖像特征，即可得到答案．解：若，則，一次函數(shù)單調(diào)遞減且過(guò)點(diǎn)（0，-5），所以一次函數(shù)的圖像單調(diào)遞減，過(guò)二、三、四象限；反比例函數(shù)圖像在一、三象限，此時(shí)沒(méi)有選項(xiàng)的圖像符合要求．若，則，一次函數(shù)單調(diào)遞增且過(guò)點(diǎn)（0，-5），所以一次函數(shù)的圖像單調(diào)遞增，過(guò)一、三、四象限；反比例函數(shù)在二、四象限，此時(shí)選項(xiàng)C符合要求．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示是三個(gè)反比例函數(shù)、、的圖象，由此觀察得到、、的大小關(guān)系是（用“＜”連接）．【答案】k1＜k2＜k3【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得k=xy，進(jìn)而可分析k1、k2、k3的大小關(guān)系．解：讀圖可知：反比例函數(shù)y＝的圖象在第二象限，故k1＜0；y=，y=在第一象限；且y=的圖象距原點(diǎn)較遠(yuǎn)，故有：k1＜k2＜k3；故答案為k1＜k2＜k3．【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)y=的圖象，反比例函數(shù)y=的圖象是雙曲線，當(dāng)k＞0時(shí)，它的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，它的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限．且圖象距原點(diǎn)越遠(yuǎn)，k的絕對(duì)值越大．【考點(diǎn)二】反比例函數(shù)的圖象位置求解析式【例2】（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，，，求的值．【答案】4【分析】設(shè)，，，，則，，然后根據(jù)，，列式求解即可．解：設(shè)，，，，則，，則，，得，同理：，得，又，，解得．【點(diǎn)撥】考查反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的象限是（

）A．一、二、三B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四【答案】B【分析】由圖可知，反比例函數(shù)位于二、四象限，則根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知k<0，再結(jié)合一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可作答．解：由圖可知，反比例函數(shù)位于二、四象限，∴k<0，∴y=kx+2經(jīng)過(guò)一、二、四象限．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正比例函數(shù)y＝x和反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象在第一象限交于點(diǎn)A，且OA＝2，則k的值為．【答案】2【分析】利用正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)A（t，t）（t＞0），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式0得到，求出得到A點(diǎn)坐標(biāo)（，），然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝（k≠0）中即可求出k的值．解：設(shè)A（t，t）（t＞0），∵OA＝2，∴，解得t=（負(fù)值舍去），∴A（，），把A（，）代入y＝得：k＝＝2．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)，掌握兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】反比例函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性【例3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知反比例函數(shù)的圖象的左支如圖6-3所示，它經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）判斷k是正數(shù)還是負(fù)數(shù)．（2）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式．（3）補(bǔ)畫(huà)這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支．【答案】（1）負(fù)數(shù)；（2）；（3）見(jiàn)分析【分析】（1）由圖像上的點(diǎn)第二象限，可以判斷k的取值；（2）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入解析式，求k的值，寫(xiě)出解析式；（3）利用圖像的對(duì)稱(chēng)性，取四個(gè)點(diǎn)，找到它們的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，用平滑曲線作出另一分支．解：（1）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象的一支在第二象限，所以圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)異號(hào)，即．（2）將圖象上點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)2分別代入表達(dá)式，得，解得．所以所求的反比例函數(shù)的表達(dá)式是．（3）在已知圖象上分別取一些點(diǎn)作出它們關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，然后用光滑曲線把它們依次連結(jié)，這樣就得到反比例函數(shù)的圖象中的另一分支．【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022秋·福建泉州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為M，連結(jié)BM．若，則k的值是（

）A．2 B． C．m D．4【答案】A【分析】設(shè)A坐標(biāo)為，根據(jù)直線與雙曲線的對(duì)稱(chēng)性得到點(diǎn)B坐標(biāo)為，即可得到，根據(jù)點(diǎn)A在點(diǎn)第一象限，即可得到．解：設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為，由直線與雙曲線的對(duì)稱(chēng)性得點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴，∵點(diǎn)A在點(diǎn)第一象限，∴．故選：A【點(diǎn)撥】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何意義和中心對(duì)稱(chēng)性，熟知反比例函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)確定點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【變式2】（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為，則的值為．【答案】0【分析】根據(jù)“正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”即可求解.解：∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)均關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，∴正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)亦關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，∴，故答案為：0.【點(diǎn)撥】本題考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)，根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)這個(gè)特點(diǎn)即可解題.【考點(diǎn)四】已知反比例函數(shù)的圖象的位置求參數(shù)取值范圍【例4】（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知反比例函數(shù)y=（m為常數(shù)）（1）若函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，6），求m的值：（2）若函數(shù)圖象在第二、四象限，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求得m的值；（2）根據(jù)圖象所處的象限確定m的取值范圍即可．解：（1）∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，6），∴m-8=xy=-1×6=-6，解得：m=2，∴m的值是2；（2）∵函數(shù)圖象在二、四象限，∴m-8＜0，解得：m＜8，∴m的取值范圍是m＜8．【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是比較典型的題目，解題的關(guān)鍵是了解反比例函數(shù)的性質(zhì)．【舉一反三】【變式1】（2020·湖北武漢·中考真題）若點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】由反比例函數(shù)，可知圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，由此分三種情況①若點(diǎn)A、點(diǎn)B在同在第二或第四象限；②若點(diǎn)A在第二象限且點(diǎn)B在第四象限；③若點(diǎn)A在第四象限且點(diǎn)B在第二象限討論即可．解：∵反比例函數(shù)，∴圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，①若點(diǎn)A、點(diǎn)B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式無(wú)解；②若點(diǎn)A在第二象限且點(diǎn)B在第四象限，∵，∴，解得：；③由y1＞y2，可知點(diǎn)A在第四象限且點(diǎn)B在第二象限這種情況不可能．綜上，的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論，不要遺漏．【變式2】（2022春·重慶·八年級(jí)重慶八中?？计谀┰谝粋€(gè)不透明的紙箱內(nèi)裝有形狀、質(zhì)地、大小、顏色完全相同的5張卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字－4，－3，0，1，2，將它們洗勻后，背面朝上，從中隨機(jī)抽取1張，把抽得的數(shù)字記作a，再?gòu)氖Ｏ碌目ㄆ须S機(jī)抽取1張，把抽得的數(shù)字記作b，則使得反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的概率為．【答案】/0.3【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，要使得反比例函的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的，則，根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖后，由樹(shù)狀圖求得所有等可能結(jié)果，再直接利用概率公式求解即可解：由題意知，反比例函的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限畫(huà)樹(shù)狀圖得，所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果共20種，其中a+b>0的所有可能為6種，使得反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的概率故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和畫(huà)樹(shù)狀圖求概率等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)取值范圍或所在象限【例5】（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣東廣雅中學(xué)校考期末）在反比例函數(shù)圖象的每一條曲線上，y隨x的增大而減小．（1）函數(shù)經(jīng)過(guò)哪些象限？（2）求的取值范圍．【答案】（1）第一、三象限；（2）【分析】（1）根據(jù)y隨x的增大而減小，即可求解；（2）由（1）得：函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，可得到5-﹥0，即可求解．解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象上，y隨x的增大而減小∴函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，（2）∵函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三象限，∴5-﹥0，即﹤5【點(diǎn)撥】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖象，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；當(dāng)k>0，雙曲線兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．【舉一反三】【變式1】（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，那么一次的數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第（）A．一，二，三象限 B．一，二，四象限C．一，三，四象限 D．二，三，四象限【答案】B【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得到，再利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解．解：∵反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∴，∴的圖像經(jīng)過(guò)第一，二，四象限，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）若函數(shù)（k為常數(shù)，且）過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是．【答案】/【分析】先求出反比例函數(shù)解析式為：，即可得反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，問(wèn)題隨之得解．解：∵函數(shù)過(guò)點(diǎn)，∴，，∴反比例函數(shù)解析式為：，∴反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴y的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)解析式判斷出反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，且在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六】比較反比例函數(shù)值的大小【例6】（2023·廣東茂名·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)圖象的一支在第一象限．

（1）求k的取值范圍；（2）在這個(gè)函數(shù)圖象的某一支上任取兩點(diǎn)，，如果，那么和有怎樣的大小關(guān)系？【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題意可得：，解不等式即可；（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．（1）解：∵反比例函數(shù)圖象的一支在第一象限，∴，解得．（2）∵，∴反比例函數(shù)在每一個(gè)象限內(nèi)，y都隨x的增大而減?。?，∴．∴．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖像上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式求出，然后進(jìn)行比較即可．解：將三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，得：，解得；，解得；，解得；∵-8<2<4，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)，關(guān)鍵在于能熟練通過(guò)已知函數(shù)值求自變量．【變式2】（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系為．【答案】y2＜y3＜y1【分析】將點(diǎn)A（1，y1），B（-2，y2），C（-3，y3）分別代入反比例函數(shù)，并求得y1、y2、y3的值，然后再來(lái)比較它們的大?。猓焊鶕?jù)題意，得當(dāng)x=1時(shí)，y1=，當(dāng)x=-2時(shí)，y2=，當(dāng)x=-3時(shí)，y3；∵-3＜-2＜6，∴y2＜y3＜y1；故答案是y2＜y3＜y1．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，此題比較簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)及平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，屬較簡(jiǎn)單題目．【考點(diǎn)七】已知比例系數(shù)求特殊四邊形的面積【例7】（2022秋·湖南常德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)M是反比例函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn)N．（1）若點(diǎn)M（，3），求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是x軸上的任意一點(diǎn)，那么△PMN的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出它的面積是多少？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）不變，5【分析】（1）將y=3代入，求得點(diǎn)N的坐標(biāo)；（2）連接OM，ON，記MN與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)H，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得△MOH和△NOH的面積，得到△MON的面積，由MN∥x軸得到△MON和△MNP的面積相等，從而得到△PMN的面積不變．解：（1）∵M(jìn)Ny軸，∴點(diǎn)M、N的y值相等，將y=3代入，得，∴；（2）不變，如圖，連接OM，ON，記MN與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)H，∵M(jìn)Nx軸，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在函數(shù)和函數(shù)圖象上，∴，∴，∴S△PMN=5，∴△PMN的面積不變，且△PMN的面積為5．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是連接MO和NO，得到△MON和△PMN的面積相等．【舉一反三】【變式1】（2022·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，△AOB和△ACD均為正三角形，且頂點(diǎn)B、D均在雙曲線（x＞0）上，連接BC交AD于P，連接OP，則圖中是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】C【分析】先根據(jù)△AOB和△ACD均為正三角形可知，故可得出ADOB，所以，故，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E，由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出結(jié)論．解：如圖：∵△AOB和△ACD均為正三角形，∴，∴ADOB，∴，∴，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OA于點(diǎn)E，則，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是反比例函數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義等知識(shí)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·福建廈門(mén)·九年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y的圖象上，CA∥y軸，交反比例函數(shù)y的圖象于點(diǎn)A，CB∥x軸，交反比例函數(shù)y的圖象于點(diǎn)B，連結(jié)AB、OA和OB，已知CA＝2，則△ABO的面積為．【答案】4【分析】設(shè)A（a，），則C（a，），根據(jù)題意求得a＝1，從而求得A（1，3），C（1，1），進(jìn)一步求得B（3，1），然后作BE⊥x軸于E，延長(zhǎng)AC交x軸于D，根據(jù)S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S△ABO＝S梯形ABED，即可求得結(jié)果．解：設(shè)A（a，），則C（a，），∵CA＝2，∴2，解得a＝1，∴A（1，3），C（1，1），∴B（3，1），作BE⊥x軸于E，延長(zhǎng)AC交x軸于D，∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE，∴S△ABO＝S梯形ABED（1＋3）（3﹣1）＝4；故答案為：4.【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和三角形的面積，得出S△ABO=S梯形ABED是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)八】已知面積求比例系數(shù)【例8】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)（其中）的圖象經(jīng)過(guò)平行四邊形的頂點(diǎn)A，函數(shù)（其中）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，點(diǎn)B在x軸上，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，的面積為6．（1）求k的值；（2）求直線的解析式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再由平行四邊形得出軸，根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，故可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出k的值；（2）根據(jù)四邊形是平行四邊形可知，故可得出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式即可．（1）解：∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是2，∴，，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴軸，∵，即，∴，∴，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為．【點(diǎn)撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)（k2是非零常數(shù)