2021年內(nèi)蒙古包頭市數(shù)學(xué)中考真題含詳解

2021年內(nèi)蒙古包頭市數(shù)學(xué)中考真題含詳解

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題（共12題）

1、據(jù)交通運(yùn)輸部報(bào)道，截至2020年底，全國(guó)共有城市新能源公交車46.61萬輛，位居全

球第一.將46.61萬用科學(xué)記數(shù)法表示為4.661x10*,則〃等于（）

A.6B.5C.4D.3

2、下列運(yùn)算結(jié)果中，絕對(duì)值最大的是（）

A.1+G4）B.（T）’C.（-5尸D.邪

3、已知線段AB=A,在直線48上作線段BC,使得BC=2.若〃是線段〃'的中點(diǎn)，

則線段AD的長(zhǎng)為（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

4、柜子里有兩雙不同的鞋，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋是同一雙的概率為

（）

1_211

A.3B.4c.5D.6

5、如圖，在及“BC中，乙4cB=90。，AB=^5,8C=2,以點(diǎn)力為圓心，然的長(zhǎng)

為半徑畫弧，交加于點(diǎn)〃，交〃'于點(diǎn)。，以點(diǎn)3為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB

于點(diǎn)￡，交BC于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的面積為（）

A.8-^B.4一開

6、若x=V2+l,則代數(shù)式x?—2x+2的值為（）

A.7B.4C.3D.3-272

7、定義新運(yùn)算“⑥”，規(guī)定：a?b=a-2b.若關(guān)于*的不等式的解集為

x>T,則m的值是（）

A.-1B.-2c.1D.2

8、如圖，直線“%,直線？3交4于點(diǎn)A，交3于點(diǎn)B,過點(diǎn)、B的直線4交A于點(diǎn)。.若

Z3=50°,Zl+Z2+Z3=240°,則N4等于（）

9、下列命題正確的是（）

1

y——

A.在函數(shù)2x中，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小

B.若貝1+。>1一。

C.垂直于半徑的直線是圓的切線

D.各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形

10、已知二次函數(shù)-公+C0WO）的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)則一次函數(shù)

丁=版-ac的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11、如圖，在中，AB=AC,和"RC關(guān)于直線以對(duì)稱，連接AD,

與回相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作CELCD,垂足為c,與49相交于點(diǎn)E.若4?=8,

2OE+AE

BC=6,則BD的值為（）

4355

A.3B.4C.3D.4

12、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的勿邊在x軸的正半軸上，OC邊在y軸

2

y=—（x>0）

的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,2）,反比例函數(shù)x的圖象與BC交于點(diǎn)D,

與對(duì)角線OB交于點(diǎn)E,與AB交于點(diǎn)尸，連接勿，DE,EF,班?下列結(jié)論：①

sinZDOC=cosABOC；②OE=BE.③'GDCS=；④OD:DF=2:3,其中正確

的結(jié)論有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

二、解答題（共6題）

1、為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽.參加知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生

分為甲乙兩組，每組學(xué)生均為20名，賽后根據(jù)競(jìng)賽成績(jī)得到尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表（如圖），

已知競(jìng)賽成績(jī)滿分為100分，統(tǒng)計(jì)表中a,8滿足5=2a.

請(qǐng)根據(jù)所給信息，解答下列問題:

甲組20名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表

成績(jī)（分）708090100

人數(shù)3ab5

乙組20名學(xué)生竟騫成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖

（1）求統(tǒng)計(jì)表中a,b的值；

（2）小明按以下方法計(jì)算甲組20名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均分是：

（70+80+90+100）-4=85（分）.根據(jù)所學(xué)統(tǒng)計(jì)知識(shí)判斷小明的計(jì)算是否正確，若不正確，

請(qǐng)寫出正確的算式并計(jì)算出結(jié)果；

（3）如果依據(jù)平均成績(jī)確定競(jìng)賽結(jié)果，那么競(jìng)賽成績(jī)較好的是哪個(gè)組？請(qǐng)說明理由.

2、某工程隊(duì)準(zhǔn)備從A到B修建一條隧道，測(cè)量員在直線AB的同一側(cè)選定C,。兩個(gè)

—（5^+x/6）km—km

觀測(cè)點(diǎn)，如圖，測(cè)得長(zhǎng)為2，切長(zhǎng)為4，劭長(zhǎng)為2,

ZACD=60°,288=135。（［、B、C、〃在同一水平面內(nèi)）.

D

(1)求4、〃兩點(diǎn)之間的距離：

(2)求隧道AB的長(zhǎng)度.

3、小剛家到學(xué)校的距離是1800米.某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在家中，此時(shí)

離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎自行車按原路返回學(xué)

校.已知小剛騎自行車時(shí)間比跑步時(shí)間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度是跑步的平

均速度的1.6倍.

(1)求小剛跑步的平均速度；

(2)如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請(qǐng)說

明理由.

4、如圖，在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，以AD為直徑的。。交加于點(diǎn)￡,

交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FG1.AB,垂足為〃，交記于點(diǎn)G,交/〃于點(diǎn)M,連接

AG,DE,DF.

o

(1)求證：ZG^D+Z￡DF=180;

(2)若4理=45°,AD=4,tan4BC=2,求法的長(zhǎng).

5、如圖，已知是等邊三角形，尸是內(nèi)部的一點(diǎn)，連接解，CP.

(1)如圖1,以6。為直徑的半圓。交46于點(diǎn)Q,交4c于點(diǎn)A,當(dāng)點(diǎn)P在°氏上

時(shí)，連接北，在回邊的下方作^BCD=￡BAP,CD=AP,連接如，求NC心的度

數(shù)；

(2)如圖2,E是BC邊上一點(diǎn)，且SC=3BE,當(dāng)BP=CP^,連接痔并延長(zhǎng),

交4c于點(diǎn)尸.若幣AB=ABF,求證：4即=345；

(3)如圖3,M是47邊上一點(diǎn)，當(dāng)3=2/7時(shí)，連接MP.若NC鮑P=150。,

AB=6a,MP=y/3a,的面積為$i,ABCF的面積為耳，求Si—SZ的值(用含a

的代數(shù)式表示).

圖3

6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=一/+以經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)

A，點(diǎn)腸(陽刈是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)m>0,?>0,且%=3.時(shí)，

①求點(diǎn)，"的坐標(biāo)：

J15)

B\—y

②若點(diǎn)1491在該拋物線上，連接Q",BM,C是線段8"上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C與點(diǎn)〃，

B不重合)，過點(diǎn)C作CDIIMO,交矛軸于點(diǎn)D,線段0D與MC是否相等？請(qǐng)說明理

由；

（2）如圖2,該拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)K,點(diǎn)〈3J在對(duì)稱軸上，當(dāng)搐>2,

?>0,且直線EM交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)F時(shí)，過點(diǎn)［作x軸的垂線，交直線EM于點(diǎn)N,

G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1。歲5人連接".若EF+NF=2MF,求證：射線FE

平分ZAFG.

三、填空題（共8題）

ax2

---+ax+a=

1、因式分解：4

,2m1、1

(-2H--------)+--------

2、化簡(jiǎn)：w-41-mm+2

3、一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)平方根是2力-1和b+A,則a+5的立方根為.

4、某人5次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為5,10,7,x,10,若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8,

則這組數(shù)據(jù)的方差為.

5、如圖，在RUABC^,乙4C￡=90。，過點(diǎn)8作BDLCB,垂足為8,且BD=3,

連接切，與46相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)"作MNLCB,垂足為N.若AC=2,則初V的

長(zhǎng)為

D

6、如圖，在aABCD^,AD=12,以AD為直徑的與BC相切于點(diǎn)人連接0C.若

OC=AB,則口幺8c3的周長(zhǎng)為.

7、如圖，8〃是正方形力靦的一條對(duì)角線，￡是劭上一點(diǎn)，尸是"延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

連接龍，EF,AF.若DE=DC,=則NR4F的度數(shù)為.

8、已知拋物線V=x2-2x-3與x軸交于4，8兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)3的左側(cè)），與y軸

交于點(diǎn)C,點(diǎn)3（4,力在拋物線上，￡是該拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)?shù)闹底钚?/p>

時(shí)，△金匿的面積為.

============參考答案:

一、選擇題

1、B

【分析】

把46.61萬表示成科學(xué)記數(shù)法的形式<2X10",即可確定n.

【詳解】

46.61萬=466100=4.661xlO$,故〃=5

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查把一個(gè)絕對(duì)值較大的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示，科學(xué)記數(shù)法的形式為ax1?！?其中

〃為絕對(duì)值較大的數(shù)的整數(shù)數(shù)位與1的差.

2、A

【分析】

計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)的結(jié)果的絕對(duì)值，比較即知.

【詳解】

,.T+(⑷=-3,,(-5)1=5,7?=2

111

而卜3|=3,|1卜1,一5=5,忸=2,且3>2>1>5

二1+(-4)的絕對(duì)值最大

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算、實(shí)數(shù)的絕對(duì)值等知識(shí)，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

3、C

【分析】

先分。在4?上和。在的延長(zhǎng)線上兩種情況，分別畫出圖形，然后運(yùn)用中點(diǎn)的定義和

線段的和差進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：如圖：當(dāng)。在46上時(shí)，AC=AB-BC=2,

工

AD=2AC=1

.A.D.C.B

如圖：當(dāng)。在48的延長(zhǎng)線上時(shí)，AC=AB+BC=6,

1_

...AD=2AC=3

ADB.C

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線段的和差、中點(diǎn)的定義以及分類討論思想，靈活運(yùn)用分類討論思想成為解

答本題的關(guān)鍵.

4、A

【分析】

畫樹狀圖，共有12個(gè)等可能的結(jié)果，取出的鞋是同一雙有4個(gè)，再由概率公式求解即可.

【詳解】

解：設(shè)兩雙鞋的型號(hào)分別為：4A-4,當(dāng)，

其中42為一雙，B1,B2為一雙，

畫樹狀圖如下:

開始

AiAzBiB：

/i\NNN

AiBiB：AiBiB：AiAsB；A\AiB)

共有12種等可能的結(jié)果，取出的鞋是同一雙的有4種，

4_=1_

則取出的鞋是同一雙的概率為：12-3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的

列出所有可能的結(jié)果，列表法適用于兩步完成是事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的

事件.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5、D

【分析】

利用勾股定理可求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得N4+N6=90°,

根據(jù)S陰影=s△腋-s扇形戚-S扇形彳。即可得答案.

【詳解】

乙4cB=90。，

AZA+AB=90°,

AB=#>,BC=2,

22

AC=y(AB-BC=1,

...S陰影=S△W—SBF.F-S扇影ACO

190-TTAC2

=2BC-AC-360

190”

=2X1X2-360

7T

=1-4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理及扇形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題關(guān)鍵.

6、C

【分析】

先將代數(shù)式，-2x+2變形為1一1廣+1,再代入即可求解.

【詳解】

解X2-2X+2=(X-1)2+1=I>/2+1-1|2+1=3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了求代數(shù)式的值，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵，也可將x的值直接代入計(jì)算.

7、B

【分析】

題中定義一種新運(yùn)算，仿照示例可轉(zhuǎn)化為熟悉的一般不等式，求出解集，由于題中給出解集

為x>7,所以與化簡(jiǎn)所求解集相同，可得出等式2根+3=-1,即可求得m.

【詳解】

解：由a?b=a-2b,

/.x?冽=工一2加>3,

得：x>2活+3,

???X?溶>3解集為X>-1,

2w+3=-l

m=-2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查對(duì)新運(yùn)算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，難點(diǎn)是將運(yùn)算轉(zhuǎn)化為

所熟悉的不等式.

8、B

【分析】

根據(jù)平行線性質(zhì)計(jì)算角度即可.

【詳解】

解：N3=50。，

21=180。-50。=130。，

Nl+N2+N3=240。，

Z2=240o-180°=60,

Z4=Z5T4C=180O-Z2-Z^C5=180O-60O-50O=70°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線性質(zhì)，熟練識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角是解決本題的關(guān)鍵.

9、D

【分析】

分別根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

k=—<0y-----

A、當(dāng)2時(shí)，反比例函數(shù)2x在x>0時(shí)，函數(shù)值y隨矛的增大而增大，故

此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、當(dāng)a〈0時(shí)，-a>0,故-a>a,從而1-a>1+a,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、過半徑的外端點(diǎn)且垂直于半徑的直線是圓的切線，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、由于圓內(nèi)接四邊形的四邊相等，故每邊所對(duì)的圓心角相等且均為360。+4=90。，由此可

得四邊形的對(duì)角線相互垂直且相等，因而此四邊形是正方形，故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題分別考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，切線的定義，圓與正多邊形等知識(shí)，關(guān)

鍵是要對(duì)這些知識(shí)熟練掌握.

10、C

【分析】

根據(jù)直角坐標(biāo)系和象限的性質(zhì)，得匕<0；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得a+c=0,從而得

y=bx-ac=bx+a\通過計(jì)算即可得到答案.

【詳解】

?.?點(diǎn)（1，一打）在第一象限

，>0

，匕<0

???二次函數(shù)y=ax-力x+c(awO)的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)(1,一切

/.-b=a-b+c

/.以+c=0

.?.y=bx-ac=bx+a2

當(dāng)x=0時(shí)，丁=/，即y=bx-ac^y軸交點(diǎn)為：（°，，

_a

當(dāng)『=0時(shí)，X=~T,即丁=以一數(shù)和X軸交點(diǎn)為：I

/.一次函數(shù)丁=以一盤的圖象不經(jīng)過第三象限

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、直角坐標(biāo)系的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一

次函數(shù)、直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，從而完成求解.

11、D

【分析】

根據(jù)AB=AC,△)(7和關(guān)于直線a'對(duì)稱，證明出四邊形A8DC是菱形,再根

據(jù)菱形的性質(zhì)得到8CJ,/〃，0C=OB,勿=①，最后由勾股定理求出結(jié)果.

【詳解】

解：AB=AC,△8。和關(guān)于直線勿對(duì)稱，

/.AB=AC=CD=BD,

...四邊形ABDC是菱形，

/.BCVAD,0C=OB,0A=OD,

AD=Z,BC=6,

：.0C=OB=3,0A=0D=4,

在Rt△COD中，0C=3,OD=4,

，DC=6+4?=5,

，AB=AC=CD=BD=5,

CEA.CD,

CE2+CD2=DE2,CE2=0E2+CO2,

2222

...O￡+3+5=(O￡+4))

9

0E=-

20E+AE_OE+AE+OE_4+4_5

~~BD~BD5__4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，關(guān)鍵在

于利用等腰三角形與折疊的性質(zhì)證明出四邊形是菱形，再用菱形的性質(zhì)與勾股定理進(jìn)行求解.

12、A

【分析】

CDoc

sinZDOC=—cosZ50C=—

根據(jù)題意，圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)均可以求出來,OD,OB,只需證明

CD_PC

五一5萬即可證明結(jié)論①；先求出直線辦的解析式，然后求直線如與反比例函數(shù)

2

V——(X>0)ryrr

X的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可證明結(jié)論②；分別求出感和進(jìn)行比較即可證明

結(jié)論③；只需證明AOCZWA功尸，即可求證結(jié)論④.

【詳解】

解：???OABC為矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2),

AA點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

2

y=—(x>0)

根據(jù)反比例函數(shù)x

當(dāng)丁=2時(shí)，x=l,即D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

_11

y————

當(dāng)x=4時(shí)，2,即F點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2),

OC=2,CD=1,

OC=2,CB=4,

OB=722+42=2y/5,

CD_1

sinZDOC

OD~^5~~5

oc?

cosZ5OC=—

OB2s

sin/DOC=cosABOC,

故結(jié)論①正確；

設(shè)直線煙的函數(shù)解析式為：y=kx,

點(diǎn)8代入則有：2=4k,

k=-

解得：2,

1

V=-X

故直線0B的函數(shù)解析式為：2,

1=1

當(dāng)｝xx時(shí)，再=2；々=—2(舍)

即x=2時(shí)，丁=1,

；.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,1),

:.點(diǎn)、E為0B的中點(diǎn)，

OE=BE,

故結(jié)論②正確；

CD=\,AF=-

2,

3

BD=3,BF=-

：.2,

13

SA=S4加亮=—xBDx1=一

由②得：23322,

13

="X^X2=—

/.=SaISF,

故結(jié)論③正確；

在和RNDBF中,

OCDB3c

---=2,---=亍=2

CDBF3

2,

qc即NDBF,

：.OD:DF=OC:DB=2:3,

故結(jié)論④正確，

綜上：①②③④均正確，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，反比例函數(shù)與幾何綜合,

結(jié)合題意求出圖中各點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵.

二、解答題

a=4

<

1、(1)⑦=8；(2)不正確，87.5分；(3)甲組成績(jī)好，見解析

【分析】

(1)根據(jù)總?cè)藬?shù)為20人與b=2a,求出a,6的值;

的網(wǎng)+做々+…+%/

(2)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式為+。2+-+%判斷出原結(jié)果是錯(cuò)誤的，計(jì)算出正確結(jié)

果；

(3)算出甲乙兩組的平均成績(jī)進(jìn)行比較，得出結(jié)論.

【詳解】

3+以+8+5=20a=4

<

解：(1)根據(jù)題意，得匕=2。，解得但=8,

(2)不正確.正確的算法：甲組20名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均分是：

(70x3+80x4+90x8+100x5)*20=87.5(分)

(3)根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，乙組學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?0分，80分，90分，100分的人

數(shù)占乙組總?cè)藬?shù)的百分比分別為40%,25%,25%,10%.所以乙組20名學(xué)生競(jìng)

賽成績(jī)的平均分是：

70x40%+80x25%+90x25%+100xl0%=80.5(分)

因?yàn)?7.5>80.5,所以甲組競(jìng)賽成績(jī)較好.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表的意義和表示數(shù)據(jù)的特征，理解平均數(shù)的意義是正確解

答的前提.

3鳳

2、(1)2；(2)3km

【分析】

(1)過點(diǎn)［作AELCD,垂足為E,在RtA』作中，可利用特殊角的三角函數(shù)值和

已知分別求出AE,CE及DE,則可由勾股定理求得A、D兩點(diǎn)之間的距離；

(2)利用(1)中所求結(jié)果，可判斷出△ADE是等腰直角三角形，結(jié)合已知角度可推

出△力龍是直角三角形，即可由勾股定理求得隧道AB的長(zhǎng)度.

【詳解】

解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AELCD,垂足為E,

4配=90°.

/tr?g3y/2

sinAr=---j4c=---

在Rta工C下中，AC9乙4cz)=60。，2,

=—sin60°=^

24.

'：cos^ACE=—

ACf

C￡=-.cos60o=—

24.

2

?：CD=*&+般)

4

DE=CD-CE=^-

4.

在Rt△絲。中，\-AD=^AE2+DE2,

?。?哈\亭3）

AD=

述1cm

A,〃兩點(diǎn)之間的距離為2

AE=DE=^~

(2),.,2J4ED=90°,4,

/.△ADE是等腰直角三角形,

/ADE=45°,

?.?"28=135°,

AADB=ZCDB-&DE=90°,

是直角三角形.

3

I一----yBD=-

在Rt^ADB中，AB='JAD25+BEr,2,

■■也“半產(chǎn)+*=33)

隧道AB的長(zhǎng)度為3km.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值并正確作出輔助線構(gòu)造

直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3、(1)小剛跑步的平均速度為150米/分；(2)小剛不能在上課前趕回學(xué)校，見

解析

【分析】

(1)根據(jù)題意，列出分式方程即可求得小剛的跑步平均速度；

(2)先求出小剛跑步和騎自行車的時(shí)間，加上取作業(yè)本和取自行車的時(shí)間，與上課時(shí)間20

分鐘作比較即可.

【詳解】

解：（1）設(shè)小剛跑步的平均速度為X米/分，則小剛騎自行車的平均速度為1.6x米/

分，

根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得才=150,

經(jīng)檢驗(yàn)，為=150是所列方程的根，

所以小剛跑步的平均速度為150米/分.

（2）由（1）得小剛跑步的平均速度為150米/分，

照=12

則小剛跑步所用時(shí)間為150（分），

騎自行車所用時(shí)間為12-4.5=7.5（分），

在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分，

所以小剛從開始跑步回家到趕回學(xué)校需要12+7.5+3=22.5（分）.

因?yàn)?2.5>20,

所以小剛不能在上課前趕回學(xué)校.

【點(diǎn)睛】

本題考查路程問題的分式方程，解題關(guān)鍵是明確題意，列出分式方程求解.

述

4、（1）見解析；（2）虧

【分析】

（1）功是0°的直徑，可以得到ZA5D=90°,推出ZAED=ZAHF,再用平行線的

判定和性質(zhì)可求出^GAD+ZEDF=130°.

(2)連接冰，得到AD=CD,由于他是O。的直徑，得到DFLAC,OA=OD,

DC，用平行線的判定得到4。尸=90。，再用角之間的關(guān)系證明△FMgbAB口，再

用相似三角形的性質(zhì)，證明△工HMS△FOM就可求出HF.

【詳解】

如圖

答案圖2

解：（1）證明：?.YD是。。的直徑,

ZAED=90°.

"FGLAB,

AAHF=90°,

&ED=&HF,

DEIIGF,

/如尸+NZ）尸G=180°.

?:4GAD=4DFG,

NG4ZJ+N助尸=180°.

(2)連接冰，

'：AD是BC邊上的高，

ZADC=90°.

■：ZACB=45°,

ZCAD=ZACB=45°.

AD=CD.

..?加是0。的直徑，

ZAFD=90°,

DFLAC,

AF=CF.

■：OA=OD,

OFIIDC.

&0F=90°.

AMFO+ZFMO=90°.

:/AT航=90。,

NM4//+乙4M/=90°.

???AFMO=AAMH,

AMFO=AMAH,

AMFO=ABAD.

"ZFOM=ZADB=90°,

:.AFMO^ABD,

MO_F0

~BD~~AD.

AD

■：tanZABD=—

在RtZUBD中,BD,AD=4,tanZABC=2,

BD=2,0F=0A=2,

MO_2

■V=4,

/.MO=1,

AM=1.

在RtAWF中，???MF=yloM'OF”,

="+22=4,

vZAHM=ZFOM=90°,AAMH=ZFMO,

XAHMSXFOM,

,HM_AM

HM_1

二7,

HF=HM+MF=曲+乒在

55.

【點(diǎn)睛】

此題考查圓的性質(zhì)和相似三角形的證明的綜合運(yùn)用，熟悉掌握相似三角形的性質(zhì)和靈活作輔

助線是解題的關(guān)鍵.

9封：

5、(1)30°；(2)見解析；(3)2

【分析】

(1)連接物，易證&ABm匕CBD,則由全等三角形的性質(zhì)可得△〃藥是等邊三角

形，則可得Z版=60°,再由回邊是直徑即可求得結(jié)果；

(2)連接/尸并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G,則由垂直平分線的性質(zhì)可得/G,a'，且BG=CG,

設(shè)m=x，則"、EG、BC、AB、露均可用x的代數(shù)式表示，這樣在Rt&5G尸由

勾股定理可求得尸C的長(zhǎng)，在RtAEGF中，由正切的三角函數(shù)可求得/必尸=60。，從

而可得ACEFSAC班，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)MP交AB于點(diǎn)H,連接AP,過點(diǎn)P作對(duì)'AC,垂足為N,則由已知易

得/掰％=90°,由直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得AH、物/的長(zhǎng),從而可求得XPAB

的面積，在Rt叢MNP中,由直角三角形的性質(zhì)可得月V的長(zhǎng)，從而可求得△必。的面積，

而用一$2=$/圖+￡必4,從而可求得結(jié)果.

【詳解】

(1)如圖，連接BD

2R

B

D

?.?A49c是等邊三角形,

AB=BC=AC,AABC=60°.

?:乙BCD=4BAP,CD=AP,

AABP^ACBD,

BP=BD,^ABP=￡CBD

\-ZABP+ZPBC=60°,

ZCBD+ZPBC=60°,

ZDBP=60°,

-△口?產(chǎn)是等邊三角形,

乙BPD=60°.

??.勿為半圓。的直徑,

/.ZFR7=90°,

ZCPD=30°.

(2)如圖，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G

-,-AB=AC,BP=CP,

..AG±BC,BG=CG.

設(shè)BE-x,則EC=3x,

二AB=BC=4x.

BG=CG=2x,

EG=x.

-：幣AB=ABP,

BF=/ix.

-：AG±BC,

Z5GP=90°.

在RtaSGF中，由勾股定理得：GP1=BP2-BG2,

GP=J(缶)2_(2x)2=&x

在RtAEG產(chǎn)中，EG9

乙GEP=60°,

ZGEP=乙ABC.

■：ZECF=ZBCA,

:.ACEF^ACBA,

,-E-F_EC3?x

BABCAx,

:.AEF=3AB.

(3)如圖，延長(zhǎng)MP交AB于點(diǎn)H,連接AP,過點(diǎn)P作對(duì),AC,垂足為N

A

BC

■：AB=6a,AM=2MC,

AM=4a.

■.■ZCMP=150°,

&MH=30°

???/班。=60°,

ZAHM=900.

在Rt△力中,ZAMH=30°,AM=4a,

AH=2a,

MH=4AM2-AH1=2。.

■：MP=j3a,

HP=回.

S△皿=以尸=；x6a低=3低2

在RtzkMVP中，NMl擁=30。，MF=&,

:.NP=^a

2.

.?1.ro1r30a2

..S=—^4C*'"bJP=-x6??—a=---------

a

''?$\一$2=+叢4=~'^

【點(diǎn)睛】

本題是一個(gè)幾何綜合題，考查了圓的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

相似三角形的判定與性質(zhì)，30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形面積的計(jì)算，銳

角三角函數(shù)等知識(shí)，題目不算太難，但涉及的知識(shí)點(diǎn)多，關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用這些知識(shí).

6、（1）①舷。，3）；②OD=MC,見解析；（2）見解析

【分析】

（1）①直接將點(diǎn)舷（幽，％）代入解析式，又有花=3加，

即可解出坐標(biāo)；②相等，先求出點(diǎn)B,由兩點(diǎn)求出直線的方程，添加輔助線構(gòu)建直角三角

形，利用勾股定理求出邊長(zhǎng)，證明三角形是等腰三角形即可；

（2）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)民材的坐標(biāo)，再求出所在直線的解析式，求出直線與丁軸的

交點(diǎn)，添加輔助線，利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，找到邊與邊之間的關(guān)系，在直角三角形

中利用勾股定理建立等式求出邊長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩條線之間的距離相等，即可

判斷出為角平分線.

【詳解】

解：（1）如答案圖6.

答案圖6

①?.?點(diǎn)加（冽㈤在拋物線上，且n=3憎,

：.-ni1+Am=3m,解得的=0,（舍去）

的=1,

:.”3,:舷（1,》

②?？?MC,

???點(diǎn)4在該拋物線上,

16,416.

設(shè)直線MB交x軸于點(diǎn)H，解析式為丁=用芯+4,

3

用=一

用+瓦=3,4

15,,15,一15

--片+a=----.4=彳

1416解得

315

y=——xd-----

44

當(dāng)『=0時(shí)，x=5,

.?砥5,0),,OH=5,

過點(diǎn)"作軸，垂足為R,

OR=1,MR=3,

RH=4,

■.根據(jù)勾股定理得MH=5,

OH=MH,

乙HOM=AHMO.'：CDIIMO,

ZHOM=ZHDC,￡HMO=AHCD,￡HDC=￡HCD,

HD=HC,OD=MC.

(2)如答案圖7.

答案圖7

x=——--=2..2,->1

證明：對(duì)稱軸2x(7),I3九

?：EF+NF=2MF,NF-MF=MF-EF,

:MN=ME.過點(diǎn)"作MQ'x軸，垂足為Q,

.QK_ME

EK//MQ//NA-QA=MN

：.QK=QA.

當(dāng)-V+4x=0時(shí)，解得X1=O,X?=4,

.■440).

??.《(2,0),。(得0),

m-2=4-w,

m=3.n=-32+4x3=3,

..M(3,3)

設(shè)直線以/的解析式為y=^+b2,

7[2

.<2芍+%=-,〈玲=§，

3/^+b2=3,解得色=L

2,

：.y=-x+1

3.設(shè)直線EM交y軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)S作SPA.GF,垂足為P.

當(dāng)x=0時(shí)，7=1.

3

$(0,1).當(dāng)時(shí)，*=一5,

3

尸(-1°),

3

OF=-

2,OS=1.

-cr—18

5,

?N-13

5.

,:乙GPS=乙GOF=90°,/產(chǎn)GS==^OGF,

△GFSS&GOF,

,GP_PS.GP_12

GO~OF,7s~~5.

設(shè)GP=12a,則PS=5a.

在RtZiG烈中,

GP2+PS2=GS2,

(124+(5a)2=(§2

a=±—

5（負(fù)值舍去），

1

a=-

5,二尸S=l,

PS=OS

■：SP±GF,SOLAF,

..射線4平分4FG.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，還涉及等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形、相似

三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定，題目綜合性強(qiáng)，涉及知識(shí)點(diǎn)多、難度較大，解題的

關(guān)鍵是：掌握以上相關(guān)知識(shí)點(diǎn)后，需要做到靈活運(yùn)用，同時(shí)考查了添加輔助線的能力.

三、填空題

］、嗎

【分析】

首先將公因式a提出來，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】

22

^—+ax+a=a(—+x+l)=a(—+1)

442

a（—+1）

故填：2

【點(diǎn)睛】

本題考查提公因式因式分解，公式法因式分解，解題關(guān)鍵是掌握因式分解的方法：提公因式

因式分解和公式法因式分解.

2、1

【分析】

直接按照分式的四則混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】

2m11

解：（-2-------------）.

m-42-mm+2

/2w1、1

=1-4—用-2"一+2

2根一（冽+2）

x（幽+2）

m-20

------------------x（制+2）

_（冽+2）（冽-2）

故填1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分式的四則混合運(yùn)算，掌握分式的四則混合運(yùn)算法則成為解答本題的關(guān)鍵.

3、2

【分析】

根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)，將28-1和8+4相加等于0,列出方程，解出b，

再將b代入任意一個(gè)平方根中，進(jìn)行平方運(yùn)算求出這個(gè)正數(shù)a,將5算出后，求立方

根即可.

【詳解】

26-1和8+4是正數(shù)a的平方根，

25-1+8+4=0,

解得》=-1，

將b代入2b-1=2?(1)-1=-35

正數(shù)。=(-方、%

/.a+b=-14-9=8,

a+小的立方根為：Ma+b=泥=2,

故填：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查正數(shù)的平方根的性質(zhì)，求一個(gè)數(shù)的立方根，解題關(guān)鍵是知道一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根

互為相反數(shù).

4、3.6

【分析】

根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，得x=8；再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)題意，x=8

.*.5次射擊命中的環(huán)數(shù)分別為5,10,7,8,10

5+10+7+8+10_g

,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：5一

(5-8)+(10-8)+(7-8)+(8-8)+(10-8)9+4+1+4

這組數(shù)據(jù)的方差為：5=-5—='

故答案為：3.6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)據(jù)分析的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握中位數(shù)、方差的性質(zhì)，從而完成求解.

6

5、5

【分析】

根據(jù)MN±BC,AC1,BC,DBLBC,得V5W:“BCA,7CNM:MABD,可得

W_BNW_CNBN+CN_}

IF-5C,因?yàn)?C~BC~,列出關(guān)于"V的方程，即可求出"V的長(zhǎng).

【詳解】

?：MN±BC,DBLBC,41CB=9O°

AC//MN//DB,

...V5W:VBCA,ycNM:VABD,

W_BNW_CN

：.~AC~~BC'^D~~BC

W_BNMN_CN

即-2__5C'_35C,

BN,CN,

-----+------=1

又BCBC

胸、MN,

-----+-----=1

23

MN=-

解得5,

6

故填：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩組相似三角形以及它們對(duì)應(yīng)

邊之比的等量關(guān)系.

6、24+6指

【分析】

連接0E,作"'J,3。于/，先證明口