高中數(shù)學(xué) 解三角形中的基本問題 練習(xí)題（含答案）

專題23解三角形中的基本問題【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系.高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式.1、正弦定理：，其中為外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化.其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征.如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則不可行例如：（1）（2）（恒等式）（3）2、余弦定理：變式：（1）①此公式通過邊的大小（角兩邊與對(duì)邊）可以判斷出是鈍角還是銳角當(dāng)時(shí)，，即為銳角；當(dāng)（勾股定理）時(shí)，，即為直角；當(dāng)時(shí)，，即為鈍角學(xué)/科-+網(wǎng)②觀察到分式為齊二次分式，所以已知的值或者均可求出（2）此公式在已知和時(shí)不需要計(jì)算出的值，進(jìn)行整體代入即可3、三角形面積公式：（1）（為三角形的底，為對(duì)應(yīng)的高）（2）（3）（為三角形內(nèi)切圓半徑，此公式也可用于求內(nèi)切圓半徑）（4）海倫公式：（5）向量方法：（其中為邊所構(gòu)成的向量，方向任意）證明：，而坐標(biāo)表示：，則4、三角形內(nèi)角和（兩角可表示另一角）.5、確定三角形要素的條件：（1）唯一確定的三角形：①已知三邊（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三個(gè)角②已知兩邊及夾角（SAS）：可利用余弦定理求出第三邊，進(jìn)而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余兩角③兩角及一邊（AAS或ASA）：利用兩角先求出另一個(gè)角，然后利用正弦定理確定其它兩條邊（2）不唯一確定的三角形①已知三個(gè)角（AAA）：由相似三角形可知，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形有無數(shù)多個(gè).由正弦定理可得：已知三個(gè)角只能求出三邊的比例：②已知兩邊及一邊的對(duì)角（SSA）：比如已知，所確定的三角形有可能唯一，也有可能是兩個(gè).其原因在于當(dāng)使用正弦定理求時(shí)，，而時(shí)，一個(gè)可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)角（1個(gè)銳角，1個(gè)鈍角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角對(duì)大邊的特點(diǎn)，具體可參考例1）6、解三角形的常用方法：（1）直接法：觀察題目中所給的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）間接法：可以根據(jù)所求變量的個(gè)數(shù)，利用正余弦定理，面積公式等建立方程，再進(jìn)行求解7、三角形的中線定理與角平分線定理（1）三角形中線定理：如圖，設(shè)為的一條中線，則（知三求一）證明：在中①②為中點(diǎn)①②可得：（2）角平分線定理：如圖，設(shè)為中的角平分線，則證明：過作∥交于為的角平分線為等腰三角形而由可得：【經(jīng)典例題】例1.【2017北京，理15】在△ABC中，=60°，c=a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】例2.【2017天津，理15】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.【答案】(1).(2)【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，[來源:學(xué)_科_網(wǎng)Z_X_X_K].故.例3.【2017課標(biāo)3，理17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，a=2,b=2.（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC,求△ABD的面積.【答案】(1)；(2)【解析】試題分析：(1)由題意首先求得，然后利用余弦定理列方程，邊長(zhǎng)取方程的正實(shí)數(shù)根可得；(2)利用題意首先求得△ABD面積與△ACD面積的比值，然后結(jié)合△ABC的面積可求得△ABD的面積為.試題解析：（1）由已知得，所以.在△ABC中，由余弦定理得，即.解得：(舍去)，.例4.【2018年佛山市高三檢測(cè)（二）】如圖,在平面四邊形中，.(Ⅰ)若,求的面積；(Ⅱ)若，求.【答案】（1）（2）【解析】分析：(Ⅰ)由余弦定理求出，再用公式求得面積；(Ⅱ)設(shè)，在中用正弦定理表示出，然后在中把用表示后，再由正弦定理得的等式，從而可求出.詳解：(Ⅱ)設(shè)，在中，由正弦定理得，,即，所以.在中，，則，即，即，整理得.聯(lián)立，解得，即.例5.【2017課標(biāo)1，理17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng).【答案】(1)；(2).【解析】例6.【2017課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，（1）求；（2）若，的面積為，求.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：利用三角形內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合求出；利用（1）中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出.學(xué)-科+-網(wǎng)例7.【2018屆吉林省梅河口市第五中學(xué)高三下學(xué)期二?！吭谥校堑膶?duì)邊分別為，已知，，.（1）求角的大??；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由條件及三角變換可得，從而，解得，于是可得．（2）由正弦定理可得，又，于是得，然后根據(jù)余弦定理求得，于是可得結(jié)論．詳解：（1）∵，∴，∴，∴，在中，由根據(jù)余弦定理得，∴.點(diǎn)睛：（1）在三角形中根據(jù)已知條件求未知的邊或角時(shí)，要靈活選擇正弦、余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求解的目的．（2）求角的大小時(shí)，在得到角的某一個(gè)三角函數(shù)值后，還要根據(jù)角的范圍才能確定角的大小，這點(diǎn)容易被忽視，解題時(shí)要注意．例8．【2018屆四川省南充市高三第三次聯(lián)合診斷】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（Ⅰ）若，，求邊；（Ⅱ）若，求角.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理代入可得邊；（Ⅱ）由正弦定理得，將代入，結(jié)合可得的方程，解方程即可得解.詳解：（Ⅰ）由及余弦定理，得，所以，所以，解得.（Ⅱ）因?yàn)橐驗(yàn)椋?點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.例9.【2018屆廣東省佛山市高三檢測(cè)（二）】如圖，在平面四邊形中，.(Ⅰ)若,求；(Ⅱ)若,求.學(xué)-科-*網(wǎng)【答案】（1）（2）3【解析】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理直接可得；（2）設(shè)，根據(jù)得，由余弦定理可得，在直角三角形中求得，最后解方程得.整理得，解得或（舍去），即例10.【2018屆齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)沖刺卷（三）】在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角；(2)若，點(diǎn)在線段上，，,求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用正弦定理邊化角可得，利用和角公式可得，進(jìn)而得角；（2）將平方可得，進(jìn)而利用面積公式求面積即可.詳解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫狐c(diǎn)睛：平面向量與三角函數(shù)交匯點(diǎn)較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識(shí)都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.不論是哪類向量知識(shí)與三角函數(shù)的交匯試題，其解法都差不多，首先都是利用向量的知識(shí)將條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．【精選精練】1．【2018屆貴州省凱里市第一中學(xué)高三下學(xué)期《黃金卷》第三套】已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，則該三角形為（）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.直角三角形【答案】D【解析】由，即，化簡(jiǎn)得，所以為直角三角形．學(xué)&科&網(wǎng)故選：．2．【2018屆山東省濰坊市高三二?！吭谥校?,分別是角，，的對(duì)邊，且，則=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由已知及正弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得，由余弦定理解得，結(jié)合的范圍，即可求得的值.詳解：∵∴由正弦定理可得，即.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意分析角的范圍.對(duì)于余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2）.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還要記住，，等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.3．【2018屆河北省衡水金卷一模】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，點(diǎn)是的重心，且，則的外接圓的半徑為（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】分析：由正弦定理?xiàng)l件可簡(jiǎn)化為，從而得到A值，再結(jié)合重心的向量公式可得，進(jìn)而利用余弦定理得，從而由正弦定理得到的外接圓的半徑.詳解：由正弦定理，得又∴∴.由，得，∴.故選：A4．【2018屆湖南省益陽市高三4月調(diào)研】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，且的面積為，則的周長(zhǎng)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意，根據(jù)三角形面積公式，得，即，解得，根據(jù)余弦定理得，即，，所以的周長(zhǎng)為.故選B.5．【2018屆重慶市（非市直屬校）高三第二次調(diào)研】在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別是，若，則角等于A.B.C.D.【答案】D6．【2018屆百校聯(lián)盟高三TOP20四月聯(lián)考全國(guó)一卷】如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，，若，則______.【答案】【解析】分析：由正弦定理可得，結(jié)合向量垂直的充要條件和向量的線性運(yùn)算法則可得，據(jù)此結(jié)合余弦定理可得.學(xué)/科？網(wǎng)詳解：設(shè)，由可得：，由可得：，整理可得：，即，即，，，據(jù)此可得：.7．【2018年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三模擬】在中，角所對(duì)的邊分別為.若，，若，則角的大小為__________．【答案】【解析】分析：由，兩邊平方可求的值，進(jìn)而可求角的值，然后利用正弦定理，可求，進(jìn)而可求.在中，由正弦定理得，，解得，又。，故答案為.8．【2018屆安徽省“皖南八?！备呷谌危?月）聯(lián)考】四邊形中，,當(dāng)邊最短時(shí)，四邊形的面積為__________．【答案】的面積，故答案是.點(diǎn)睛：解決該題的關(guān)鍵是先確定邊最短時(shí)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，之后將四邊形分成兩個(gè)三角形，利用余弦定理求得對(duì)角線，利用差角余弦公式將直角三角形中的一個(gè)銳角確定，之后應(yīng)用相應(yīng)的公式求得結(jié)果.9．【2018屆廣東省高三下學(xué)期模擬考試（二）】在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，.（1）若點(diǎn)，是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，求的值；（2）若，求的面積.學(xué)/科/-網(wǎng)【答案】（1）（2）.【解析】分析：第一問根據(jù)題意得出兩個(gè)點(diǎn)的位置，從而設(shè)出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，在三角形中，應(yīng)用余弦定理求得所滿足的等量關(guān)系式，求得對(duì)應(yīng)的值，再放在三角形中應(yīng)用余弦定理求得對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，第二問根據(jù)正弦定理找出角所滿足的條件，最后利用面積公式求得三角形的面積.詳解：（1）由題意得，是線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)，則，，又，，在中，由余弦定理得，又，所以，則為銳角，所以.則，所以的面積.10．【2018年天津市十二校高三二?！吭阡J角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┮阎?，的面積為，求邊長(zhǎng)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)由，利用正弦定理得，結(jié)合兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得，進(jìn)而可得結(jié)果；（２）利用（1），由已知及正弦定理可得，結(jié)合的面積為，可得，由余弦定理可得結(jié)果詳解：（1）由已知得，由正弦定理得，∴，又在中，，∴點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.11．【2018屆山西省孝義市高三下學(xué)期一?！吭谥?，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，為邊上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，即得A的值.（2）先利用已知條件和余弦定理得到，，，再利用余弦定理求AD的值.學(xué)*科*網(wǎng)∴，∴.（2）∵，，∴.由，得，∴，又，∴.則為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，∴.在中，，，