空間自同構(gòu)的刻畫

空間自同構(gòu)的刻畫

算子代表的自同構(gòu)研究是近年來算子代表研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一。大量研究結(jié)果表明，算子代表的零積的映射是自同構(gòu)或反同構(gòu)。例如，semr在文獻(xiàn)中證明，（h）保護(hù)單位的線性雙射如果是零，那么它是一個(gè)自同構(gòu)。在文獻(xiàn)中，作者證實(shí)，在hilbert空間中的原子襯蓋的迭代迭代和自我保護(hù)單位的有邊界性雙射，如果是零，那么它是一個(gè)空間的自同構(gòu)。此外，朱軍等人在文獻(xiàn)中證明，具有共同等算子等稱的各個(gè)方面的線性算子的連續(xù)性，這意味著映射點(diǎn)的可執(zhí)行性內(nèi)聯(lián)子。是算子a和自身的線性排列，當(dāng)s，ta和s，tz時(shí)，如果s，t=s，t=s，t）（t），則稱可以在z點(diǎn)發(fā)生乘法。在這項(xiàng)工作中，主要討論映射點(diǎn)的可執(zhí)行角是否與空間的自同構(gòu)有關(guān)。本文中,H總表示無限維的復(fù)Hilbert空間,<·,·>表示H上的內(nèi)積,對(duì)x,y∈Η,x?y表示秩一算子<·,y>x.Β(H)和F(H)分別表示H上全體有界線性算子的集合和H上全體有限秩線性算子的集合.ran(T)和N(T)表示T(T∈B(H))的值域空間和核空間.T*表示T的共軛算子.B(H)上由半范數(shù)族{Px:Px(T)=‖T(x)‖,x∈H}生成的局部凸拓?fù)浞Q為強(qiáng)算子拓?fù)?如果存在可逆算子A∈Β(H),使得對(duì)任意的T∈A有φ(T)=ATA-1,則稱φ是空間自同構(gòu).1i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i23i2引理1在文章中起著重要的作用,其中X,Y是Banach空間,F(X)表示B(X)中有限秩算子的集合,X*表示X的對(duì)偶空間.引理1設(shè)φ:F(X)→F(Y)是線性映射,則φ保秩不增當(dāng)且僅當(dāng)下列性質(zhì)之一成立:(ⅰ)存在線性映射A:X→Y和C:X*→Y*使得φ(x?f)=Ax?Cf對(duì)所有的x∈X及f∈X*都成立;(ⅱ)存在線性映射A:X*→Y和C:X→Y*使得φ(x?f)=Ax?Cf對(duì)所有的x∈X及f∈X*都成立;(ⅲ)存在線性映射φ:F(X)→Y和線性泛函0f∈Y*使得對(duì)任意的T∈F(X)有φ(T)=φ(Τ)?0f;(ⅳ)存在向量x0∈Y和線性映射ψ:F(X)→Y*使得對(duì)任意的T∈F(X)有φ(T)=x0?ψ(Τ).引理2設(shè)φ:Β(H)→Β(H)是強(qiáng)算子拓?fù)溥B續(xù)的線性滿射,如果φ在I處可乘,則φ(I)=I.證明對(duì)任意的冪等算子P∈B(H),因?yàn)棣?(Ρ-1+√3i2Ι)(Ρ-1-√3i2Ι)I=(P?1+3√i2I)(P?1?3√i2I),于是由φ在I處可乘知φ(Ι)=φ(Ρ-1+√3i2Ι)φ(Ρ-1-√3i2Ι)=φ(Ρ)2-1+√3i2φ(Ι)φ(Ρ)-(1)1-√3i2φ(Ρ)φ(Ι)+φ(Ι)2.φ(I)=φ(P?1+3√i2I)φ(P?1?3√i2I)=φ(P)2?1+3√i2φ(I)φ(P)?(1)1?3√i2φ(P)φ(I)+φ(I)2.同理有φ(Ι)=φ(Ρ-1-√3i2Ι)φ(Ρ-1+√3i2Ι)=φ(Ρ)2-1-√3i2φ(Ι)φ(Ρ)-(2)1+√3i2φ(Ρ)φ(Ι)+φ(Ι)2.φ(I)=φ(P?1?3√i2I)φ(P?1+3√i2I)=φ(P)2?1?3√i2φ(I)φ(P)?(2)1+3√i2φ(P)φ(I)+φ(I)2.由(1)和(2)得由文獻(xiàn)中的結(jié)果知Β(H)上的每個(gè)算子都可表示為Β(H)中最多5個(gè)冪等算子的和,又因?yàn)棣帐菨M射,故對(duì)任意的T∈B(H),φ(I)T=Tφ(I).這說明φ(I)∈?I,即存在λ∈?,φ(I)=λI,由φ(I)=φ(I)2知λ=0或λ=1.若φ(I)=0,則由(1)式知對(duì)任意冪等算子P∈B(H),φ(P)2=0.設(shè)S∈F(H)是自伴算子,則S=n∑i=1αiΡiS=∑i=1nαiPi,其中Pi∈Β(H),(i=1,2,…,n)是一族正交的投影算子且αι∈R.因?yàn)镻i+Pj(i≠j)還是投影算子,所以由φ(Pi+Pj)2=0知φ(Pi)φ(Pj)+φ(Pj)φ(Pi)=0,從而有φ(S)=n∑i=1αi2φ(Ρi)2=0φ(S)=∑i=1nαi2φ(Pi)2=0.對(duì)任意F∈Β(H),總可表示為F=S1+iS2,其中S1,S2∈F(H)是自伴算子.因?yàn)棣?S1+S2)2=0,于是φ(S1)φ(S2)+φ(S2)φ(S1)=0.由文獻(xiàn)中的結(jié)果知F(H)在B(H)中是強(qiáng)算子拓?fù)涑砻艿?于是對(duì)任意的T∈B(H)有φ(T)2=0.這說明φ的像是由一些平方為零的算子組成的.因?yàn)镮∈Β(H)且平方不為零,這與φ的滿射性矛盾,于是φ(I)=I.引理3設(shè)φ:B(H)→B(H)是強(qiáng)算子拓?fù)溥B續(xù)的線性滿射,如果φ在I處可乘,則:(ⅰ)對(duì)任意的冪等算子P∈B(H),φ(P)2=φ(P);(ⅱ)對(duì)任意的冪零算子P∈Β(H),φ(P)2=0.證明(ⅰ)設(shè)P∈Β(H)是冪等算子,則由φ在I處可乘知及引理2知由(3)式得φ(P)2=φ(P).(ⅱ)設(shè)P∈Β(H)且P2=0,則(I-P)(I+P)=I.由φ在I處可乘及引理2知I=φ(I)=φ(I-P)φ(I+P).(4)由(4)式即得φ(P)2=0.2p定理1設(shè)φ:Β(H)→Β(H)是強(qiáng)算子拓?fù)溥B續(xù)的線性滿射,如果φ在I處可乘,則φ是空間自同構(gòu).證明首先證明φ保持冪等算子的秩一性,設(shè)P∈Β(H)是秩一冪等算子,令和則對(duì)任意的T∈X2有(T+P)2=T+P且T2=0,由引理3知有φ(T+P)2=φ(T+P)和φ(T)2=0成立.即由(5)式得φ(P)φ(T)φ(P)=0.于是這說明φ(X2)?Y2+Y3.同理可證φ(X3)?Y2+Y3.由P是秩一冪等算子知X1=瓘P.顯然φ(X1)?Y1,下證φ(X4)?Y4.事實(shí)上,H按分解H=ranP⊕ran(I-P),有X4=B(ran(I-P))且ran(I-P)是無限維的復(fù)Hilbert空間.由文獻(xiàn)中的結(jié)果知,X4中的每個(gè)算子都可以表示成X4中至多5個(gè)冪等算子之和.我們只需證對(duì)任意的冪等算子Q∈X4有φ(Q)∈X4.設(shè)Q∈X4是任意一個(gè)冪等算子,因?yàn)镻Q=QP=0,所以(P+Q)2=P+Q.由引理3知由(6)、(7)兩式得φ(Q)=φ(Q)(I-φ(P)).進(jìn)而有另外,由X1=?P知φ(X1)=?φ(P),所以φ(B(H))??φ(P)⊕Y2⊕Y3⊕Y3.又由φ是滿射知?φ(P)=Y1=φ(P)B(H)φ(P),所以φ(P)是秩一算子.其次證明φ是保持秩一算子的秩不增.對(duì)任意的秩一算子x?y∈Β(H),若<x,y>≠0,則x?y是秩一冪等算子x?y<x,y>x?y<x,y>的倍數(shù),因而φ(x?y)是秩一算子.若<x,y>=0,對(duì)x∈H,由Hahn-Banach定理知,存在y1∈H,使得<x,y1>=1,令y2=y1-y則<x,y2>=1.x?y1和x?y2都是秩一冪等算子且x?y=x?y1-x?y2.由前面的證明知φ(x?yi)=si?ti且<si,ti>=1,i=1,2.對(duì)任意的m∈有φ(mx?y1+(1-m)x?y2)=sm?tm,即ms1?t1+(1-m)s2?t2=sm?tm.這說明一定有s1,s2線性相關(guān),或者t1,t2線性相關(guān).于是有φ(x?y)=s1?t1-s2?t2的秩一定不大于1.由上面的證明知φ滿足引理1的條件.由于φ是滿射,于是存在T0∈B(H)使得φ(T0)的秩大于1.這說明φ只具有引理1中的形式(1)或(2).若φ有情形(1),即對(duì)任意的x?y∈Β(H),存在線性映射A,C使得φ(x?y)=Ax?Cy.可以有下式成立<x,y>=<Ax,Cy>(?x,y∈H).(8)事實(shí)上,結(jié)合引理3,當(dāng)<x,y>≠0時(shí),由(8)是冪等算子知有(8)式成立.當(dāng)<x,y>=0時(shí),由φ2(x?y)=<Ax,Cy>Ax?Cy=0知(12)式也成立.由φ是滿射知A是滿射.又因?yàn)槿舸嬖趚0∈H,使得Ax0=0.則由Hahn-Banach定理知,存在z∈H,使得<x0,z>=1,由前面的證明知φ(x0?z)是秩一算子,這與φ(x0?z)=Ax0?Cz=0矛盾,即A是單射.取點(diǎn)列{xn}∞n=1?H,設(shè)xn→x0(n→∞),Axn→y0(n→∞),結(jié)合(8)式得這說明Axn=y0.由閉圖像定理知A是有界線性算子,即A∈Β(H).由(8)式及A的單射性知C=(A*)-1,于是對(duì)任意的x,y,z∈H有即φ(x?y)=A(x?y)A-1.若φ具有引理1中的形式(2),同理可證明存在可逆的共軛線性算子A∈B(H)使得φ(x?y)=A(x?y)*A-1.下面證明φ是空間自同構(gòu).由文獻(xiàn)中的結(jié)果知,Β(H)中有限秩算子集合是強(qiáng)算子拓?fù)涑砻艿?而且Β(H)中的每個(gè)有限秩算子又可以表示成它中一些秩一算子之和.于是由φ是強(qiáng)算子拓?fù)溥B續(xù)的知,對(duì)任意的T∈Β(H),要么