一類線性微分方程的解在角域內(nèi)的增長(zhǎng)性和borel方向

一類線性微分方程的解在角域內(nèi)的增長(zhǎng)性和borel方向

0級(jí)borel在這項(xiàng)工作中，我們使用了標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)來分布角域中的值分布和角域中的值分布，并討論了二次線性微分方程。f″+Af′+Bf=0(1)的非零解在角域Ω(α,β)內(nèi)的增長(zhǎng)性與Borel方向,這里A,B都是整函數(shù).在敘述本文的主要結(jié)果之前,先引入有關(guān)概念和符號(hào).設(shè)f(z)是復(fù)平面上的整函數(shù),σ(f),μ(f)分別表示f(z)在全平面上的增長(zhǎng)級(jí)和下級(jí),即σ(f)=limr→∞suploglogΜ(r,f)σ(f)=limr→∞suploglogM(r,f)logr,μ(f)=limr→∞infloglogΜ(r,f)μ(f)=limr→∞infloglogM(r,f)logr,其中M(r,f)=sup{f(z):z≤r}.定義1設(shè)0≤α<β<2π,復(fù)平面上的角域定義為Ω(α,β)={zα<argz<β};ˉΩ(α,β,r)={zΩˉˉˉ(α,β,r)={zα≤argz≤β,z≤r}.若f為整函數(shù),記Μ(r,ˉΩ(α,β),f)=sup{|f(teiθ)|M(r,Ωˉˉˉ(α,β),f)=sup{∣∣f(teiθ)∣∣:α≤θ≤β,0<t≤r},則f在角域上、徑向上的增長(zhǎng)級(jí)分別定義為σθ,ε(f)=limr→∞suploglogΜ(r,ˉΩ(θ-ε,θ+ε),f)logr;σθ,ε(f)=limr→∞suploglogM(r,Ωˉˉˉ(θ?ε,θ+ε),f)logr;σθ(f)=limε→0σθ,ε(f).σθ(f)=limε→0σθ,ε(f).定義2設(shè)f(z)是開平面z<∞上的一個(gè)σ(σ≥0)級(jí)亞純函數(shù),如果對(duì)任意小的ε>0和任意復(fù)數(shù)a,都有l(wèi)imr→∞suplogn(r,Ω(θ-ε,θ+ε),f=a)logr=σ,limr→∞suplogn(r,Ω(θ?ε,θ+ε),f=a)logr=σ,但可能至多除去2個(gè)值a例外,則稱從原點(diǎn)發(fā)出的半直線argz=θ是整函數(shù)f(z)的1條σ(σ>0)級(jí)Borel方向.眾所周知,在全平面里研究方程(1)的非零解的性質(zhì)已經(jīng)有很多重要的結(jié)果,例如,1988年G.Gundersen,1991年S.Hellerstein等證明了:若A(z),B(z)為整函數(shù)且滿足σ(A)<σ(B);或A(z)為多項(xiàng)式,B(z)是超越的;或σ(B)<σ(A)<1/2,則方程(1)的每一非零解的級(jí)均為無窮.2012年,文獻(xiàn)在假設(shè)方程的某個(gè)系數(shù)具有虧值、并假設(shè)系數(shù)的增長(zhǎng)級(jí)滿足一定條件時(shí),證明了高階線性微分方程的非零解具有無窮增長(zhǎng)級(jí).隨著角域概念的引入,以及函數(shù)在角域里相關(guān)性質(zhì)的深入研究,自然會(huì)問A,B滿足什么條件時(shí)方程(1)的任意非零解在角域里的增長(zhǎng)級(jí)能達(dá)到無窮1994年,伍勝健在文獻(xiàn)中首次研究了2階線性微分方程(1)的非零解在角域上的增長(zhǎng)性,得到了如下結(jié)果.定理A設(shè)A(z)和B(z)在角域ˉΩ(α,β)(0<β-α≤2π)Ωˉˉˉ(α,β)(0<β?α≤2π)內(nèi)解析,如果?K>0及滿足α<θ<β和limr→∞inf(A(reiθ)+1)rΚlimr→∞inf(A(reiθ)+1)rKB(reiθ)=0的θ具有一正測(cè)度,則方程(1)的任一非零解都有σα,β(f)=∞,其中σα,β(f)=limr→∞suploglogΜ(r,Ω(α,β),f)logr.早在1928年,G.Valiron在文獻(xiàn)中提出任意σ>0級(jí)亞純函數(shù)至少存在1條σ級(jí)Borel方向.研究表明,若函數(shù)的增長(zhǎng)級(jí)為σ,則它在σ級(jí)Borel方向附近的增長(zhǎng)速度可以達(dá)到它在全平面上的增長(zhǎng)速度.自然就會(huì)考慮:假如B在某個(gè)角域內(nèi)含有1條λ級(jí)Borel方向,而A在該角域內(nèi)的增長(zhǎng)級(jí)小于λ,那么方程(1)的非零解在該角域內(nèi)的增長(zhǎng)性如何?再則,若非零解在該角域內(nèi)的增長(zhǎng)級(jí)為無窮,那么解的無窮級(jí)Borel方向和B的σ(B)級(jí)Borel方向是否一致呢?本文在系數(shù)函數(shù)含有Borel方向的角域內(nèi),討論了2階線性微分方程(1)解的增長(zhǎng)性及Borel方向的分布,并得到以下結(jié)果.定理1設(shè)A,B為有限級(jí)整函數(shù),Ω(α,β)(0<β-α≤2π)為某一角域;若A,B在Ω(α,β)內(nèi)滿足條件:?θ∈(α,β),使得argz=θ為B的1條λ(0<λ≤σ(B))級(jí)Borel方向,且σαβ(A)<λ,則對(duì)方程(1)的任一非平凡解f,有σαβ(f)=∞且argz=θ為f的1條∞級(jí)Borel方向.例如:考慮2階線性微分方程f″-f′-e2zf=0,argz=π/2為B=-e2z的1條Borel方向,在以argz=π/2為角平分線的任意角域內(nèi),上述方程滿足定理1的條件.易知,上述方程有2個(gè)線性無關(guān)的解f1=exp{expz},f2=exp{-expz},均以argz=π/2為其1條無窮級(jí)Borel方向.由定理1不難得到以下結(jié)論.推論1設(shè)A,B為有限級(jí)整函數(shù),Ω(α,β)(0<β-α≤2π)為某一角域,設(shè)σαβ(A)<σ(B),f為方程(1)的任一非平凡解,則f在角域Ω(α,β)內(nèi)的∞級(jí)Borel方向的總數(shù)不少于B在Ω(α,β)內(nèi)的λ(σαβ(A)<λ≤σ(B))級(jí)Borel方向的總數(shù).定理2設(shè)A,B為有限級(jí)整函數(shù),B的下級(jí)滿足0<μ(B)<1/2,Ω(α,β)(0<β-α≤2π)為一角域;若A在Ω(α,β)內(nèi)滿足σαβ(A)<μ(B),則方程(1)的任一非平凡解f,都有σαβ(f)=∞且?θ∈(α,β),argz=θ為f的1條∞級(jí)Borel方向.注1從定理2容易看出,若σ(A)<μ(B)<1/2,則復(fù)平面內(nèi)從原點(diǎn)出發(fā)的任意方向都是方程(1)的非平凡解f的∞級(jí)Borel方向.1角域上的增長(zhǎng)級(jí)定理的證明需要用到角域上特征函數(shù)的性質(zhì)).假設(shè)f(z)是角域Ω(α,β)上的亞純函數(shù),其中0<β-α≤2π,k=π/(β-α).記Aαβ(r,f)=kπ∫r1(1tk-tkr2k)log+f(teiα)+log+f(teiβ)dtt,Bαβ(r,f)=2kπrk∫βαlog+f(reiθ)sink(θ-α)dθ,Cαβ(r,f)=2∑1<|bv|<r(1|bv|k-|bv|kr2k)sink(βv-α),Dαβ(r,f)=Aαβ(r,f)+Bαβ(r,f),Sαβ(r,f)=Aαβ(r,f)+Bαβ(r,f)+Cαβ(r,f),其中bv=bveiβv(v=1,2,…)為f(z)在角域Ω(α,β)內(nèi)的所有極點(diǎn),重級(jí)極點(diǎn)按重?cái)?shù)計(jì)算.亞純函數(shù)f(z)在角域Ω(α,β)上的級(jí)和下級(jí)分別定義為σαβ(f)=limr→∞suplog+Sαβ(r,f)logr,μαβ(f)=limr→∞inflog+Sαβ(r,f)logr.還定義了角域上的Ahlfors-Shimizu特征函數(shù).令Ω(r)={z:α<argz<β,0<z<r}.定義S(r,Ω,f)=1π?Ω(r)(|f′(z)|1+|f(z)|2)2dσ,Τ0(r,Ω,f)=∫r1S(t,Ω,f)tdt,并運(yùn)用Ahlfors-Shimizu特征函數(shù)定義了f(z)在角域Ω(α,β)上的級(jí)和下級(jí)ˉσαβ(f)=limr→∞suplog+Τ0(r,Ω,f)logr,ˉμαβ(f)=limr→∞inflog+Τ0(r,Ω,f)logr.然而,這兩種不同定義的增長(zhǎng)級(jí)存在一定的聯(lián)系,鄭建華在文獻(xiàn)中證明了不等式:Sαβ(r,f)≤2k2Τ0(r,Ω,f)rk+k3∫r1Τ0(t,Ω,f)tk+1dt+Ο(1),(2)其中Ω=Ω(α,β),k=π(β-α).從上述不等式容易知道,若ˉσαβ(f)<∞,則σαβ(f)<∞.2解析安定函數(shù)及相應(yīng)的安氏歸因引理1設(shè)f(z)是一個(gè)在角域ˉΩ(α,β)內(nèi)具有有限級(jí)σ的亞純函數(shù),令Γ={(n1,m1),(n2,m2),…,(nj,mj)}表示滿足ni>mi≥0(i=1,2,…,j)的不同整數(shù)對(duì)的有限集.設(shè)ε>0及δ>0為給定的正常數(shù),則存在只與f,ε和δ有關(guān)的常數(shù)K>0,使得|f(n)(z)/f(m)(z)|<Kz(n-m)(kδ+2σ+1+ε)(sinkδ(φ-α-δ))-2(n-m)成立,其中(n,m)∈Γ,z=reiφ∈Ω(α+δ,β-δ),z?D,D為由可數(shù)個(gè)半徑之和為有限的圓盤并構(gòu)成的一個(gè)R-值集,kδ=π(β-α-2δ).引理2設(shè)f(z)是級(jí)0<σ≤∞的亞純函數(shù),假定B:argz=θ0(0≤θ0≤2π)為f(z)的1條σ級(jí)Borel方向,則在以原點(diǎn)為頂點(diǎn),以argz=θ0為角平分線的任意小角域Ω(θ0-ε,θ0+ε)內(nèi),存在1列σ級(jí)充滿圓Γm:|z-zm|<εm|zm|,argzm=θ0,limm→∞zm=∞,limm→∞εm=0(m=1,2,?).使得在每個(gè)Γm內(nèi),f(z)可取任意復(fù)數(shù)至少nm次,至多可能除去一些復(fù)數(shù)含于球面半徑為e-nm的2個(gè)圓內(nèi),其中nm≥zmρm,ρm→σ.引理3設(shè)f(z)在角域Ω(α,β)內(nèi)亞純,則對(duì)任意小的ε>0,在全平面內(nèi)對(duì)任意3個(gè)相互判別的復(fù)數(shù)av(v=1,2,3),當(dāng)r>1時(shí),有Τ0(r,Ω(α+ε,β-ε),f)≤33∑v=1ˉΝ(2r,Ω(α,β),f=av)+Ο(log2r).引理4設(shè)f(z)在角域ˉΩ(α,β)內(nèi)解析,0<α<β<2π,則有l(wèi)ogΜ(r,Ω,f)≤Κrk{Sαβ(2r,f)+1},Sαβ(r,f)≤2kπ∫r1log+Μ(r,Ω,f)tk+1dt+4πΜ(r,Ω,f)tk,其中M(r,Ω,f)=supf(teiθ):α≤θ≤β,1≤t≤r,k=π(β-α),K為一正常數(shù).引理5設(shè)f(z)是整函數(shù),滿足0<μ(f)<1,則?ζ∈(μ(f),1),存在集合E?[0,∞),滿足ˉlogdensE≥1-μ(f)ζ,其中E={r∈[0,∞):m(r)>Μ(r)cosπζ},m(r)=inf|z|=rlog|f(z)|,Μ(r)=sup|z|=rlog|f(z)|.3,0,0.2.20.2e-nm定理1的證明設(shè)f為方程(1)的任一非零解,由方程(1)得B(z)≤|f″(z)/f(z)|+A(z)|f′(z)/f(z)|.(3)假設(shè)σαβ(f)=ρ<∞,argz=θ0(θ0∈(α,β))為B的1條λ級(jí)Borel方向,由引理1,取δ0>0,使得θ0∈(α+δ0,β-δ0).對(duì)所有z=reiφ∈Ω(α+δ0,β-δ0)且z=reiφ?D,有|f(l)(z)/f(z)|<Κzl(kδ0+2ρ+1+ε)(sinkδ0(φ-α-δ0))-2l(l=1,2),(4)其中D為由引理1給出的R-值集.因?yàn)閍rgz=θ0為B的1條λ級(jí)Borel方向,選取適當(dāng)?shù)摩?使得Ω(θ0-η,θ0+η)?Ω(α+δ0,β-δ0).由引理2,存在1組λ級(jí)Borel充滿圓:Γm:z-zm<εmzm,其中argzm=θ0,limm→∞zm=∞,limm→∞εm=0,Γm?Ω(θ0-η,θ0+η).由于B是整函數(shù),∞為其一個(gè)Picard例外值,故由充滿圓的性質(zhì)知,在充滿圓定義中的2個(gè)除外球面小圓中必有1個(gè)包含∞.定義z1,z2的球面距離為|z1,z2|,從而當(dāng)m充分大時(shí),存在復(fù)數(shù)am∈Γm,使得下式成立B(am),∞=11+B(am)21/2=2e-nm.這樣就可以找到與m無關(guān)的正常數(shù)C,使得對(duì)充分大的m,有B(am)>Cenm≥Ce|zm|ρm,ρm→λ.注意到am=(1+o(1))zm.由簡(jiǎn)單的計(jì)算可以證明limr→∞suploglogΜ(r,ˉΩ(θ0-η,θ0+η),B)logr≥λ>0.由Phragmen-Lindel?f定理,容易知道存在區(qū)間[θ1,θ2]?(θ0-η,θ0+η),使得?θ∈[θ1,θ2],有l(wèi)imr→∞suploglogB(reiθ)logr≥λ.(5)因?yàn)镈是由半徑之和為有限的可數(shù)個(gè)圓盤并構(gòu)成的1個(gè)R-值集,所以滿足條件“射線argz=θ與D中無窮個(gè)圓盤相交”的θ的測(cè)度為0.故由(4)式,可取θ*∈[θ1,θ2],使得?R0>0,當(dāng)r>R0時(shí),有|f(l)(reiθ*)/f(reiθ*)|<Κrl(kδ0+2ρ+1+ε)(sinkδ0(θ*-α-δ0))-2l≤ΜrΝ,l=1,2(6)成立,其中M=K(sinkδ0(θ*-α-δ0))-4,N=2(kδ0+2ρ+2).由(5)式,取0<ε*<(λ-λ0)2,其中λ0=σαβ(A)<λ.當(dāng)n充分大時(shí),有|B(rneiθ*)|>erλ-ε*n(7)成立.又因?yàn)棣姚力?A)<λ,由整函數(shù)在角域內(nèi)的增長(zhǎng)級(jí)的定義,有|A(rneiθ*)|<exp{rλ0+εn}.(8)取zn=rneiθ*,將(6)～(8)式分別代入(3)式,當(dāng)n→∞時(shí),便導(dǎo)出矛盾!所以σαβ(f)=ρ<∞的假定不成立.故σαβ(f)=∞.由于在上述證明過程中,只用到了Ω(α,β)是包含argz=θ0的任意角域,故?ε>0,當(dāng)α=θ0-ε,β=θ0+ε時(shí),同樣有σαβ(f)=σθ0-ε,θ0+ε(f)=∞.(9)下證argz=θ0為f的1條∞級(jí)Borel方向.若不然,由Borel方向的定義知,存在適當(dāng)小的任意ε0,τ<∞以及3個(gè)相互判別的有窮復(fù)數(shù)av(v=1,2,3),其中有1個(gè)av為∞,使得3∑v=1n(Ω(θ0-2ε0,θ0+2ε0,r),f=av)<rτ成立,其中Ω(θ0-2ε0,θ0+2ε0,r)?Ω(α,β,r).從而Ν(r,Ω(θ0-2ε0,θ0+2ε0),f=av)=∫r0n(Ω(θ0-2ε0,θ0+2ε0,t),f=av)-n(0,f=av)tdt+n(0,f=av)logr≤rτ+c1,其中c1為一正常數(shù).由引理3,知Τ0(r,Ω(θ0-ε0,θ0+ε0),f)≤33∑v=1ˉΝ(2r,Ω(θ0-2ε0,θ0+2ε0),f=av)+Ο(log2r)≤33∑v=1Ν(2r,Ω(θ0-2ε0,θ0+2ε0),f=av)+Ο(log2r)≤rτ+c2,其中c2為一正常數(shù).由不等式(2)得Sθ0-ε0,θ0+ε0(r,f)≤2k2Τ0(r,Ω(θ0-ε0,θ0+ε0),f)rk+k3∫r1Τ0(t,Ω(θ0-ε0,θ0+ε0),f)tk+1dt+Ο(1),其中k=π2ε0,易知,?M′>0,N′>0,使得Sθ0-ε0,θ0+ε0(r,f)≤M′rN′成立.再由引理4,知logM(r,Ω(θ0-ε0,θ0+ε0),f)≤Krπ/(2ε0){Sθ0-ε0,θ0+ε0(2r,f)+1}≤M″rN″.(10)由(10)式,根據(jù)整函數(shù)在角域內(nèi)增長(zhǎng)級(jí)的定義,容易知道σθ0-ε0,θ0+ε0(f)<∞,這便與(9)式導(dǎo)出矛盾!所以argz=θ0為f的1條∞級(jí)Borel方向.定理2的證明設(shè)f為方程(1)的任一非零解,若σαβ(f)=ρ<∞,下面將導(dǎo)出矛盾.任取θ∈(α,β),取0<