利用b值orlicz群體的嵌入關(guān)系刻畫b值空間

利用b值orlicz群體的嵌入關(guān)系刻畫b值空間

定義（，，p）是一個完整的概率空間，x是一個banach空間，f=（fn）n0是的一個隨機(jī)數(shù)，記錄為nf=fn-fn-1，n0，f-1。Vp={v=(vn)∶|v|Vp=|Μv|p＜∞},0＜p＜∞?式中Μv=supn≥0|vn|.對v∈Vp,f=(fn)n≥0是X值鞅,定義gn=∞∑k=1vk-1Δkf,n≥1,稱g=(gn)n≥0是f經(jīng)過v的鞅變換,記為g=Tvf.設(shè)Φ是R+上不減的凸函數(shù),Φ(0)=0.LΦ={f是可測函數(shù)∶|f|Φ=inf{λ＞0|EΦ(|f(ω)|λ)≤1}＜∞}是Orlicz空間,|f|Φ是其中的范數(shù),對一般的Φ函數(shù)構(gòu)成的Orlicz空間及Φ不等式的進(jìn)一步理論可見文獻(xiàn).若對于任意的f,g∈LΦ,0≤s,t<∞有|fsgt|Φ=|f|sΦ|g|tΦ,則稱Φ是可乘的.與可乘Φ函數(shù)有關(guān)的不等式稱為可乘Φ不等式.眾所周知,鞅變換是鞅空間理論的重要一部分.文獻(xiàn)等詳細(xì)討論了鞅變換及有關(guān)的不等式.文獻(xiàn)利用B值鞅空間的嵌入關(guān)系,討論了B值鞅變換算子的有界性.而對于B值Orilcz鞅空間的嵌入關(guān)系在文獻(xiàn)中也有詳細(xì)的討論.本文主要利用B值Orlicz鞅空間的嵌入關(guān)系和可乘Φ函數(shù)的性質(zhì),用B值鞅變換刻畫了B值空間的幾何性質(zhì),這是對文獻(xiàn)的有意義補(bǔ)充.1u3000e—引理下面給出B值鞅的極大函數(shù)Mf,p-均方函數(shù)S(p)(f),p-條件均方函數(shù)σ(p)(f)的定義:Μnf(ω)=supk≤n|fk(ω)|,Μf(ω)=supn≥1Μnf(ω),S(p)n(f)(ω)=(n∑k=0|Δkf(ω)|p)1/p,S(p)(f)(ω)=supn≥1S(p)n(f)(ω),σ(p)n(f)(ω)=(n∑k=0E(|Δkf(ω)|p|Σk-1))1/p,σ(p)(f)(ω)=supn≥1σ(p)n(f)(ω).相應(yīng)的Orlicz鞅空間定義如下(其中1≤p<∞):pLΦ={f是實可測函數(shù)∶|f|pLΦ=||f|p|1/pΦ＜∞},pHΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶|f|pΗΦ=|Μf|pLΦ＜∞},p?ΗΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶|f|p?ΗΦ=|S(p)(f)|pLΦ＜∞},pΣΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶|f|pΣΦ=|σ(p)(f)|pLΦ＜∞},pΚΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶?r≥0,r∈pLΦ,E(|fm-fn-1|p|Σn)≤E(rp|Σn),?0≤n≤m},pκΦ={f=(fn)n≥0是X值鞅∶?r≥0,r∈pLΦ,E(|fm-fn|p|Σn)≤E(rp|Σn),?0≤n≤m},|f|pκΦ=infr|r|pLΦ,|f|pΚΦ=infr|r|pLΦ.引理1設(shè)2≤q<∞,Young函數(shù)Φ滿足1<qΦ≤pΦ<∞,則以下條件等價:1)X是q可凸的;2)qKΦ?qΗ?Φ,即存在c=cqΦ>0,使得|f|qΗ?Φ≤c|f|qΚΦ,?f∈qΚΦ.注1在引理1中分別用qΣΦ,qκΦ代替qΗ?Φ,qKΦ,結(jié)論仍然成立.引理2設(shè)1<p≤2,Young函數(shù)Φ滿足1<qΦ≤pΦ<∞,則以下條件等價:1)X是p可光滑的;2)pΗ?Φ?pKΦ,即存在c=cpΦ>0,使得|f|pΚΦ≤c|f|pΗ?Φ,?f∈pΗ?Φ.注2在引理2分別用pΣΦ,pκΦ,代替pΗ?Φ,pKΦ,結(jié)論仍然成立.引理3設(shè)2≤q<∞,Young函數(shù)Φ滿足1<qΦ≤pΦ<∞,則以下條件等價:1)X是q可凸的;2)?cΦ>0,使得對任何X值鞅f均有|S(q)(f)|Φ≤cΦ|Μf|Φ.引理4設(shè)1<p≤2,Young函數(shù)Φ滿足1<qΦ≤pΦ<∞,則以下條件等價:1)X是p可光滑的;2)?cΦ>0,使得對任何X值鞅f有|(Μf)2|Φ≤cΦ|S(p)(f)|Φ.在下面的討論中總假定Φ是可乘的,且對于鞅變換乘子v∈Vp,若|Μv|pLΦ＜∞也簡記為v∈pHΦ,c總表示一個常數(shù),在不同地方取值可以不同.2tv是p,pk、p,q定理1設(shè)2≤q<∞,Φ是可乘的Young函數(shù),滿足1<qΦ≤pΦ<∞,v∈qHΦ,則Tv是(qKΦ,qΗ?Φ)型的充要條件為X是q可凸的.證明設(shè)X是q可凸的.因為v∈qHΦ,記c=|v|qΗΦ,則?f∈qHΦ,有|Τvf|qΗ?Φ=|g|qΗ?Φ=|S(q)(g)|pLΦ=|∑n=1∞|Δng|q|Φ1/q=|∑n=1∞|vn-1|q|Δkf|q|Φ1/q≤|(Μv)q∑n=1∞|Δnf|q|Φ1/q=|(Μv)q|Φ1/q|∑n=1∞|Δnf|q|Φ1/q=c|(S(q)(f))q|Φ1/q=c|f|qΗ?Φ.因為X是q可凸的,由引理1知|Τvf|qΗ?Φ≤c|f|qΚΦ.反之,若Tv是(qKΦ,qΗ?Φ)型的,則|Τvf|qΗ?Φ≤c|f|qΚΦ.特別地取v≡1,顯然v≡1∈qHΦ,因此|Τvf|qΗ?Φ=|f|qΗ?Φ≤c|f|qΚΦ,?f∈qΚΦ.再由引理1易知X是q可凸的.定理2設(shè)1<p≤2,v∈pHΦ即|(Μv)p|Φ1/p＜∞?Φ是可乘的Young函數(shù),滿足1<qΦ≤pΦ<∞,則Tv是(pΗ?Φ,pKΦ)型的充要條件為X是p可光滑的.證明設(shè)c=|v|pΗΦ??f∈pΗ?Φ,因為X是p可光滑的,由引理2知|Τvf|pΚΦ≤c|Τvf|pΗ?Φ=|∑n=1∞|vn-1|p|Δnf|p|Φ1/p≤|(Μv)p|Φ1/p|∑n=1∞|Δnf|p|Φ1/p=c|(S(p)(f))p|Φ1/p=c|(S(p)(f))|pLΦ=c|f|pΗ?Φ,即Tv是(pΗ?Φ,pKΦ)型的.反之,若Tv是(pΗ?Φ,pKΦ)型的,則|Τvf|pΚΦ≤c|f|pΗ?Φ.取v≡1,則?f∈pΗ?Φ,|f|pΚΦ≤c|f|pΗ?Φ.再由引理2知X是p可光滑的.注3在定理1和定理2中用qκΦ和pκΦ分別代替qKΦ和pKΦ,結(jié)論仍然成立.仿照定理1和定理2的證明可得如下結(jié)論.定理3設(shè)2≤q<∞,Φ是可乘的Young函數(shù),滿足1<qΦ≤pΦ<∞,v∈qHΦ,則Tv是(qKΦ,qΣΦ)型的充要條件為X是q可凸的.定理4設(shè)1<p≤2,v∈pHΦ,Φ是可乘的Young函數(shù),滿足1<qΦ≤pΦ<∞,則Tv是(pΣΦ,pKΦ)型的充要條件為X是p可光滑的.注4在定理3和定理4中將qKΦ和pKΦ分別替換為qκΦ和pκΦ,結(jié)論仍然成立.定理5設(shè)q≥2,Φ是可乘的Young函數(shù),滿足1<qΦ≤pΦ<∞,則Tv是(qHΦ,qΗ?Φ)型的充要條件為X是q可凸的.證明設(shè)X是q可凸的,由引理3知|S(q)(f)|Φ≤c|Μf|Φ.從而|Τvf|qΗ?Φ=|Sq(g)q|Φ1/q≤|(Μv)q|Φ1/q|f|qΗΦ=c|S(q)(f)q|Φ1/q=c|S(q)(f)|Φ≤c|Μf|Φ=c|(Μf)q|Φ1/q=c|f|qΗΦ,即Tv是(qHΦ,qΗ?Φ)型的.反之,若|Τvf|qΗ?Φ≤c|f|qΗΦ,令v≡1,則|f|qΗ?Φ=|Τvf|qΗ?Φ≤c|f|qΗΦ,即|(Sq(f))q|Φ1/q≤|(Μf)q|Φ1/q,從而對任何X值鞅有|Sq(f)|Φ≤|Μf|Φ.再由引理3知X是q可凸的.定理6設(shè)1<p≤2,Φ是可乘的Young函數(shù),滿足1<qΦ≤pΦ<∞,則Tv是(pΗ?Φ,pHΦ)型的充要條件為X是p可光滑的.證明設(shè)X是p可光滑的,由引理4知對任何X值鞅有|Μf|Φ≤|Sp(f)|Φ,從而|Τvf|pΗΦ=|Μ(Τvf)p|Φ1/p=|Μ(Τvf)|Φ≤|Sp(Τvf)|Φ=|(Sp(Τvf))p|Φ1/p=|∑n=1∞|vn-1|p|Δnf|p|Φ1/p≤|(Μv)p∑n=0∞|Δnf|p|Φ1/p=|(Μv)p|Φ1/p|S(p)