2023-2024學年安徽宿州市汴北三校聯(lián)考數(shù)學高二上期末綜合測試試題含解析

2023-2024學年安徽宿州市汴北三校聯(lián)考數(shù)學高二上期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在某次海軍演習中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測得乙護衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護衛(wèi)艦的距離為（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里2．已知空間三點，，在一條直線上，則實數(shù)的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-23．魏晉時期數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術》方田章圓田術中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.4．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.35．直線與圓相交與A，B兩點，則AB的長等于（）A3 B.4C.6 D.16．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項為（）A.99 B.131C.139 D.1417．函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.為的極大值點B.為的極大值點C.為的極大值點D.為的極小值點8．某中學的校友會為感謝學校的教育之恩，準備在學校修建一座四角攢尖的思源亭如圖它的上半部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐，已知此正四棱錐的側面與底面所成的二面角為30°，側棱長為米，則以下說法不正確（）A.底面邊長為6米 B.體積為立方米C.側面積為平方米 D.側棱與底面所成角的正弦值為9．等比數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.410．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.211．以原點為對稱中心的橢圓焦點分別在軸，軸，離心率分別為，直線交所得的弦中點分別為，，若，，則直線的斜率為()A. B.C. D.12．如圖，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，設直線的斜率為，直線(其中為坐標原點)的斜率為，則______.14．設與是定義在同一區(qū)間上的兩個函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則稱與在上是“關聯(lián)函數(shù)”.若與在上是“關聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是____________.15．以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是____________16．若函數(shù)恰有兩個極值點，則k的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且，，數(shù)列滿足：，，，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)k的取值范圍18．（12分）已知橢圓：的一個焦點與曲線的焦點重合，且離心率為.（1）求橢圓的方程（2）設直線：交橢圓于M，N兩點.①若且的面積為，求的值.②若軸上的任意一點到直線與直線（為橢圓的右焦點）的距離相等，求證：直線恒過定點，并求出該定點坐標19．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束，設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結束的概率；（2）求甲獲勝的概率20．（12分）已知橢圓上頂點與橢圓的左，右頂點連線的斜率之積為（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點，，求橢圓C的標準方程21．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值22．（10分）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的左頂點為，過點的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點，直線交直線于點，若直線上存在另一點，使.求證：三點共線.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用正弦定理可求解.【詳解】設甲驅(qū)逐艦、乙護衛(wèi)艦、航母所在位置分別為A，B，C，則，，.在△ABC中，由正弦定理得，即，解得，即甲驅(qū)逐艦與乙護衛(wèi)艦的距離為海里故選：A2、C【解析】根據(jù)三點在一條直線上，利用向量共線原理，解出實數(shù)的值.【詳解】解：因為空間三點，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎題.3、A【解析】設，則，解方程可得結果.【詳解】設，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：設是解題關鍵.4、D【解析】根據(jù)空間向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】.故選：D.5、C【解析】根據(jù)弦長公式即可求出【詳解】因為圓心到直線的距離為，所以AB的長等于故選：C6、D【解析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設該高階等差數(shù)列的第8項為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項減去前一項得到一個數(shù)列，即得到了一個等差數(shù)列，如圖：由圖可得，則.故選：D7、A【解析】由導函數(shù)的圖像可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值【詳解】由的圖像可知，在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以為的極大值點，和為的極小值點，不是函數(shù)的極值點，故選：A8、D【解析】連接底面正方形的對角線交于點，連接，則為該正四棱錐的高，即平面，取的中點，連接，則的大小為側面與底面所成，設正方形的邊長為，求出該正四棱錐的底面邊長，斜高和高，然后對選項進行逐一判斷即可.【詳解】連接底面正方形的對角線交于點，連接則為該正四棱錐的高，即平面取的中點，連接，由正四棱錐的性質(zhì)，可得由分別為的中點，所以，則所以為二面角的平面角，由條件可得設正方形的邊長為，則,又則,解得故選項A正確.所以,則該正四棱錐的體積為，故選項B正確.該正四棱錐的側面積為，故選項C正確.由題意為側棱與底面所成角，則，故選項D不正確.故選：D9、D【解析】利用等比數(shù)列的下標特點，即可得到結果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D10、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.11、A【解析】分類討論直線的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線與曲線方程，再根據(jù)，求解.【詳解】設橢圓的方程分別為，，由可知，直線的斜率一定存在，故設直線的方程為.聯(lián)立得，故，；聯(lián)立得，則，.因為，所以，所以.又，所以，所以，所以，.故選：A.【點睛】此題利用設而不求的方法，找出、、、之間的關系，化簡即可得到的值.此題的難點在于計算量較大，且容易計算出錯.12、A【解析】利用空間向量的三角形法則可得，結合平行六面體的性質(zhì)分析解答【詳解】平行六面體中，M為與的交點，，，，則有：，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##-0.0625【解析】使用點差法即可求解﹒【詳解】設，，則①－②得：，即，即.故答案為：.14、【解析】令得，設函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結合思想可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】令得，設函數(shù)，則直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，，令，可得，列表如下：極小值，，如圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15、【解析】根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線距離等于半徑，由點到直線的距離公式求出半徑，然后可得.【詳解】圓心到直線的距離，又圓與直線相切，所以，所以圓的方程為.故答案為：16、【解析】求導得有兩個極值點等價于函數(shù)有一個不等于1的零點，分離參數(shù)得，令，利用導數(shù)研究的單調(diào)性并作出的圖象，根據(jù)圖象即可得出k的取值范圍【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，解得或，若函數(shù)有2個極值點，則函數(shù)與圖象在上恰有1個橫坐標不為1的交點，而，令，令或，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，如圖所示，由圖可得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）；（3）.【解析】(1)由可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可求得，由得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得.(2)由(1)可得，再利用錯位相減法求和即得.(3)將問題等價轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，構造數(shù)列并判斷其單調(diào)性，即可求解作答.【小問1詳解】數(shù)列的前項和為，，，當時，，則，而當時，，即得，因此，數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，數(shù)列中，，，則數(shù)列是等差數(shù)列，而，，即有公差，則，所以數(shù)列，的通項公式分別是：，.【小問2詳解】由(1)知，，則，則有，兩式相減得：，從而得，所以數(shù)列的前n項和.【小問3詳解】由(1)知，，依題意得對任意恒成立，設，則，當，，為單調(diào)遞減數(shù)列，當，，為單調(diào)遞增數(shù)列，顯然有，則當時，取得最大值，即最大值是，因此，，所以實數(shù)k取值范圍是.【點睛】思路點睛：一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解18、（1）（2）①；②證明見解析，定點的坐標為【解析】（1）由所給條件確定基本量即可.（2）①代入消元，韋達定理整體思想，列出關于的方程從而得解；②由已知可知，得到關于、的一次關系式可得證.【小問1詳解】由已知橢圓的右焦點坐標為，，所以，橢圓的方程：【小問2詳解】①將與橢圓方程聯(lián)立得.設，，則，解得，∴，，點到直線的距離為，∴，解得（舍去負值），∴.②設，，將與橢圓方程聯(lián)立，得，當時，∴，，，若軸上任意一點到直線與的距離均相等，則軸為直線與的夾角的平分線，∴，即，∴.∴，解得.∴.∴直線恒過一定點，該定點的坐標為.19、（1）（2）【解析】（1）設事件“甲在第次投籃投中”，設事件“乙在第次投籃投中”，記“甲乙各投球一次，比賽結束”為事件，則，利用獨立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）記“甲獲勝”為事件，由題意，根據(jù)概率的加法公式和獨立事件的概率公式，即得解【小問1詳解】設事件“甲在第次投籃投中”，其中設事件“乙在第次投籃投中”，其中則，，其中記“甲乙各投球一次，比賽結束”為事件，，事件與事件相互獨立根據(jù)事件獨立性定義得：甲乙各投球一次，比賽結束的概率為【小問2詳解】記“甲獲勝”為事件，事件、事件、事件彼此互斥根據(jù)概率加法公式和事件獨立性定義得：甲獲勝的概率為20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意，可知，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，由此即可求出離心率；（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理得到，，再根據(jù)弦長公式，建立方程，即可求出的值，進而求出橢圓方程.【小問1詳解】解：由題意可知，橢圓上頂點坐標為，左右頂點的坐標分別為、，∴，即，則又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】解：設，，由得：，∴，，，∴，解得，∴，滿足，∴，∴橢圓C的方程為21、（1）證明過程見解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量進行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因為M，N是DA，PD的中點，所以MN//AP，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因為四邊形ABCD為正方形，且Q為BC中點，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因為平面PAQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因為，所以面PAQ//面MNC【小問2詳解】因為PD⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，設平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則22、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)給定條件利用橢圓的定義求出軸長即可計算作答.(2)根據(jù)給定條件設出的