2023-2024學(xué)年山東省單縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年山東省單縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．已知圓，過點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度與最短弦的長(zhǎng)度比值為5∶4，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則最大值為（）A.3 B.4C.5 D.63．若向量，，則（）A. B.C. D.4．19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，且該圓的半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的平方和的算術(shù)平方根．若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（）A. B.C. D.5．已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，則（）A. B.C. D.6．已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.7．如圖，雙曲線，是圓的一條直徑，若雙曲線過，兩點(diǎn)，且離心率為，則直線的方程為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值，無極小值C.若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)9．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.10．為推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育各項(xiàng)工作扎實(shí)開展，營(yíng)造“學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計(jì)劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報(bào)告會(huì)、黨員活動(dòng)日、主題班會(huì)、主題團(tuán)日這五種活動(dòng)分5個(gè)階段安排，以推動(dòng)黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會(huì)、主題團(tuán)日這兩個(gè)階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動(dòng)日不相鄰，則不同的安排方案共有（）A.10種 B.12種C.16種 D.24種11．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.812．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡(jiǎn)稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列滿足，，則___________.14．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為___________.15．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________16．設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，，且它的圓心C在直線上.（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求三角形PMN的面積.18．（12分）已知函數(shù)，其中，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）某市對(duì)新形勢(shì)下的中考改革工作進(jìn)行了全面的部署安排.中考錄取科目設(shè)置分為固定賦分科目和非固定賦分科目，固定賦分科目（語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、體育與健康）按卷面分計(jì)算；非固定賦分科目（化學(xué)、生物、道德與法治、歷史、地理）按學(xué)生在該學(xué)科中的排名進(jìn)行等級(jí)賦分，即根據(jù)改革方案，將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為A，，，，，，，共個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為，，，，，，，.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到，，，，，，，八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).該市學(xué)生的中考化學(xué)原始成績(jī)制成頻率分布直方圖如圖所示：（1）求圖中的值；（2）估計(jì)該市學(xué)生中考化學(xué)原始成績(jī)不少于多少分才能達(dá)到等級(jí)及以上（含等級(jí)）？（3）由于中考改革后學(xué)生各科原始成績(jī)不再返回學(xué)校，只告知各校參考學(xué)生的各科平均成績(jī)及方差.已知某校初三共有名學(xué)生參加中考，為了估計(jì)該校學(xué)生的化學(xué)原始成績(jī)達(dá)到等級(jí)及以上（含等級(jí)）的人數(shù)，將該校學(xué)生的化學(xué)原始成績(jī)看作服從正態(tài)分布，并用這名學(xué)生的化學(xué)平均成績(jī)作為的估計(jì)值，用這名學(xué)生化學(xué)成績(jī)的方差作為的估計(jì)值，計(jì)算人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）附：，，.20．（12分）自我國(guó)爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車間工人的生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時(shí)）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且（1）證明：；（2）求22．（10分）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2（1）求直線l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求證：始終被x軸平分

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關(guān)系，再結(jié)合a，b，c關(guān)系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B2、C【解析】由題意，點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度為直徑長(zhǎng)10，則最短弦的長(zhǎng)度為8，進(jìn)而可得，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，從而即可求解.【詳解】解：由題意，圓，所以圓C是以為圓心，半徑為5的圓，因?yàn)檫^點(diǎn)P的直線l被圓C所截，且截得最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度與最短弦的長(zhǎng)度比值為5∶4，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，且最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度為直徑長(zhǎng)10，則最短弦的長(zhǎng)度為8，所以由弦長(zhǎng)公式有，所以點(diǎn)P的軌跡為以C為圓心，半徑為3的圓，所以，故選：C.3、D【解析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得數(shù)量積，模，結(jié)合向量的共線定義判斷【詳解】由已知，，，與不垂直，若，則，，但是，，因此與不共線故選：D4、B【解析】由題意求出蒙日?qǐng)A方程，再由兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，所以蒙日?qǐng)A方程為，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B5、D【解析】令，代入可得，即得，再由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，判斷得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，則化簡(jiǎn)可得，即函數(shù)的周期為，從而代入求解.【詳解】令，得，即，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，所以，即，可得，則，故選：D.第II卷（非選擇題6、A【解析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，利用直線的斜率公式模型進(jìn)行求解即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：，代數(shù)式表示不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知：直線的斜率最大，由，即，即的最大值為：，因此的最大值為，故選：A7、D【解析】由離心率求得，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減求得直線斜率與的關(guān)系得結(jié)論【詳解】由題意，則，即，由圓方程知，設(shè)，，則，，又，兩式相減得，所以，直線方程為，即故選：D8、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).【詳解】，，令，得，所以，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，存在使，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即有極小值，無極大值，故B錯(cuò)誤；設(shè)為的極值點(diǎn)，則，且，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C正確，D錯(cuò)誤.9、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數(shù)逆向變換，第一步，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A10、A【解析】對(duì)中心組學(xué)習(xí)所在的階段分兩種情況討論得解.【詳解】解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動(dòng)有2種方法；主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動(dòng)有1種方法；主題班會(huì)、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動(dòng)有1種方法，則此時(shí)共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個(gè)階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.故選：C.12、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因?yàn)殡p曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題中所給的遞推式得到數(shù)列具有周期性，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題中遞推式知，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，因?yàn)楣使蚀鸢笧椋?4、【解析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再求出圓心到定點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】由題得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為.圓心到定點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：815、①②【解析】先根據(jù)圖像的對(duì)稱性找出整點(diǎn)，再判斷是否還有其他的整點(diǎn)在曲線上；找出曲線上離原點(diǎn)距離最大的點(diǎn)的區(qū)域，再由基本不等式得到最大值不超過；在心形區(qū)域內(nèi)找到一個(gè)內(nèi)接多邊形，該多邊形的面積等于3，從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由于圖形的對(duì)稱性可知，沒有其他的整點(diǎn)在曲線上，故曲線恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)：,,,,,,所以①正確；②:由圖知，到原點(diǎn)距離的最大值是在時(shí)，由基本不等式，當(dāng)時(shí)，，所以即，所以②正確；③:由①知長(zhǎng)方形CDFE的面積為2，三角形BCE的面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】找準(zhǔn)圖形的關(guān)鍵信息，比如對(duì)稱性，整點(diǎn)，內(nèi)接多邊形是解決本題的關(guān)鍵.16、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡(jiǎn)，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，將代入中得，，化簡(jiǎn)整理得，令，化簡(jiǎn)整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)知，設(shè)圓心，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式列方程求參數(shù)a，進(jìn)而確定圓心坐標(biāo)、半徑，寫出圓C的方程；（2）利用兩點(diǎn)距離公式、切線的性質(zhì)可得、，再應(yīng)用三角形面積公式求三角形PMN的面積.【小問1詳解】由已知，可設(shè)圓心，且，從而有，解得.所以圓心，半徑.所以，圓C的方程為.【小問2詳解】連接PC，CM，CN，MN，由（1）知：圓心，半徑.所以.又PM，PN是圓C的切線，所以，，則，，所以，所以.18、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)參數(shù)分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以切線方程為：，即：（2）函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）85（3）23【解析】（1）根據(jù)所有矩形面積之和等于1可得；（2）先根據(jù)矩形面積之和判斷達(dá)到等級(jí)的最低分?jǐn)?shù)為x所在區(qū)間，然后根據(jù)矩形面積之和等于0.9可得；（3）由題知，所以由可得.【小問1詳解】由得【小問2詳解】由題意可知，要使等級(jí)達(dá)到等級(jí)及以上，則成績(jī)需超過的學(xué)生.因?yàn)?，記達(dá)到等級(jí)的最低分?jǐn)?shù)為x，則，則由，解得所以該市學(xué)生中考化學(xué)原始成績(jī)不少于85分才能達(dá)到等級(jí)及以上.【小問3詳解】由題知，因?yàn)樗怨试撔W(xué)生的化學(xué)原始成績(jī)達(dá)到等級(jí)及以上的人數(shù)大約為人.20、（1）（2）80件/小時(shí)【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進(jìn)行預(yù)測(cè)其生產(chǎn)速度.【小問1詳解】解：設(shè)前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)