2023-2024學年江西省新余市渝水區(qū)第一中學高二上數(shù)學期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2023-2024學年江西省新余市渝水區(qū)第一中學高二上數(shù)學期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設m，n是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列說法錯誤的是（）A.若，，則； B.若，，則；C.若，，則； D.若，，則2．函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.3．已知橢圓是橢圓上關于原點對稱的兩點，設以為對角線的橢圓內(nèi)接平行四邊形的一組鄰邊斜率分別為，則（）A.1 B.C. D.4．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程（）A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x1) D.－x2＝15．如圖，已知多面體，其中是邊長為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.6．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.157．某公司有1000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者．要對這個公司員工的收入情況進行調(diào)查，欲抽取100名員工，應當抽取的一般員工人數(shù)為（）A.100 B.15C.80 D.508．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.99．已知橢圓，則它的短軸長為（）A.2 B.4C.6 D.810．已知直線和互相平行，則實數(shù)的取值為（）A或3 B.C. D.1或11．在平面上給定相異兩點，設點在同一平面上且滿足，當且時，點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點，為雙曲線的虛軸端點，動點滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．直線的傾斜角為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B的距離之比為常數(shù)的點的軌跡是—個圓心在直線上的圓.該圓被稱為阿氏圓，如圖，在長方體中，，點E在棱上，，動點P滿足，若點P在平面內(nèi)運動，則點P對應的軌跡的面積是___________；F為的中點，則三棱錐體積的最小值為___________.14．已知一個樣本數(shù)據(jù)為3，3，5，5，5，7，7，現(xiàn)在新加入一個3，一個5，一個7得到一個新樣本，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)______，方差______.（“變大”、“變小”、“不變”）15．設有下列命題：①當，時，不等式恒成立；②函數(shù)在上的最小值為2；③函數(shù)在上的最大值為；④若，，且，則的最小值為其中真命題為________________．（填寫所有真命題的序號）16．已知命題恒成立；，若p，均為真，則實數(shù)a的取值范圍__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求b的值.18．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為,且,,數(shù)列滿足，.(1)求和的通項公式；(2)求數(shù)列{}的前n項和.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，為正三角形，且側面底面ABCD，（1）求證：平面ACM；（2）求平面MBC與平面DBC的夾角的大小21．（12分）已知圓：，過圓外一點作圓的兩條切線，，，為切點，設為圓上的一個動點.（1）求的取值范圍；（2）求直線的方程.22．（10分）已知橢圓長軸長為4，A，B分別為左、右頂點，P為橢圓上不同于A，B的動點，且點在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標準方程；（2）直線AP與直線（m為常數(shù)）交于點Q，①當時，設直線OQ的斜率為，直線BP的斜率為．求證：為定值；②過Q與PB垂直的直線l是否過定點？如果是，請求出定點坐標；如果不是，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】直接由直線平面的定理得到選項正確；對于選項，m，n可能平行、相交或異面，所以該選項錯誤；對于選項，與內(nèi)一直線l，所以，因為l為內(nèi)一直線，所以．所以該選項正確.【詳解】對于選項，若，，則，所以該選項正確；對于選項，若，，則，所以該選項正確；對于選項，若，，則m，n可能平行、相交或異面，所以該選項錯誤；對于選項，若，，則與內(nèi)一直線l，所以，因為l為內(nèi)一直線，所以．所以該選項正確.故選：C【點睛】本題主要考查空間直線平面位置關系判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.2、A【解析】,所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的最大值為時，y==故選A點睛：研究函數(shù)最值主要根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最值，分式求導公式要記熟3、C【解析】根據(jù)橢圓的對稱性和平行四邊形的性質進行求解即可.【詳解】是橢圓上關于原點對稱兩點，所以不妨設，即，因為平行四邊形也是中心對稱圖形，所以也是橢圓上關于原點對稱的兩點，所以不妨設，即，，得：，即，故選：C4、A【解析】根據(jù)雙曲線定義求解【詳解】,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A第II卷（非選擇題5、C【解析】利用面面垂直性質結合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標系，用向量法可解.【詳解】取的中點O，連接OB，過O在平面ACDE面內(nèi)作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O為原點，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系則，，，設平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點C到平面ABD的距離.故選：C6、D【解析】設該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質可得，進而求出結果.【詳解】設該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D7、C【解析】按照比例關系，分層抽取.【詳解】由題意可知，所以應當抽取的一般員工人數(shù)為.故選：C8、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質求解.【詳解】解：由題得.故選：B9、B【解析】根據(jù)橢圓短軸長的定義進行求解即可.【詳解】由橢圓的標準方程可知：，所以該橢圓的短軸長為，故選：B10、B【解析】利用兩直線平行的等價條件求得實數(shù)m的值.【詳解】∵兩條直線x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故選B【點睛】已知兩直線的一般方程判定兩直線平行或垂直時，記住以下結論，可避免討論：已知，，則，11、C【解析】先求動點的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設，，,依題意得,即,兩邊平方化簡得,所以動點的軌跡是圓心為,半徑的圓，當位于圓的最高點時的面積最大，所以,解得；當位于圓的最左端時的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.12、C【解析】設直線傾斜角為，則，再結合直線的斜率與傾斜角的關系求解即可.【詳解】設直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】建立空間直角坐標系，根據(jù)，可得對應的軌跡方程；先求的面積，其是固定值，要使體積最小，只需求點到平面的距離的最小值即可.【詳解】分別以為軸建系，設，而,,，,.由,有，化簡得對應的軌跡方程為.所以點P對應的軌跡的面積是.易得的三個邊即是邊長為為的等邊三角形，其面積為，，設平面的一個法向量為，則有，可取平面的一個法向量為，根據(jù)點的軌跡，可設，，所以點到平面的距離，所以故答案為：；14、①.不變②.變大【解析】通過計算平均數(shù)和方差來確定正確答案.【詳解】原樣本平均數(shù)為，原樣本方差為，新樣本平均數(shù)為，新樣本方差為.所以平均數(shù)不變，方差變大.故答案為：不變；變大15、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可；②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判斷；④設，，利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于，，故恒成立，當且僅當時取等號，所以①正確；，當且僅當，即時取等號，由于，所以②不正確；因為，所以，當且僅當時取等號，而，即函數(shù)的最大值為，所以③正確；設，，則，，，，，所以，當且僅當，時取等號，故的最小值為，所以④正確.故答案為：①③④【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16、【解析】根據(jù)題意得到命題為真命題，為假命題，結合二次函數(shù)的圖象與性質，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，命題，均為真命題，可得命題為真命題，為假命題，由命題恒成立，可得，解得；又由命題為假命題，可得，解得，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理，將邊化角轉化，即可求得；（2）利用余弦定理，結合（1）中所求，即可求得.【小問1詳解】在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，又因為，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得，所以18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）令，分和去掉絕對值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，∵，，所以，所以，則.【小問2詳解】令，解得，當時，，，當時，.19、（1）；；（2）【解析】（1）求數(shù)列的通項公式主要利用求解，分情況求解后要驗證是否滿足的通項公式，將求得的代入整理即可得到的通項公式；（2）整理數(shù)列的通項公式得，依據(jù)特點采用錯位相減法求和試題解析：（1）∵，∴當時，.當時，.∵時，滿足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考點：1.數(shù)列通項公式求解；2.錯位相減法求和【方法點睛】求數(shù)列的通項公式主要利用，分情況求解后，驗證的值是否滿足關系式，解決非等差等比數(shù)列求和問題，主要有兩種思路：其一，轉化的思想，即將一般數(shù)列設法轉化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解（即分組求和）或錯位相減來完成，其二，不能轉化為等差等比數(shù)列的，往往通過裂項相消法，倒序相加法來求和，本題中，根據(jù)特點采用錯位相減法求和20、（1）證明見解析（2）30°【解析】（1）連接BD，借助三角形中位線可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法直接可求.【小問1詳解】連接BD，與AC交于點O，在中，因為O，M分別為BD，PD的中點，則，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.【小問2詳解】設E是AB的中點，連接PE，因為為正三角形，則，又因為平面底面ABCD，平面平面，則平面ABCD，過點E作EF平行于CB，與CD交于點F，以E為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，所以，，設平面CBM的法向量為，則，令，則，因為平面ABCD，則平面ABCD的一個法向量為，所以，所以平面MBC與平面DBC所成角大小為30°21、（1）（2）【解析】(1)求出PM，就可以求PQ的范圍；(2)使用待定系數(shù)法求出切線的方程，再求求切點的坐標，從而可以求切點的連線的方程.【小問1詳解】如下圖所示，因為圓的方程可化為，所以圓心，半徑，且，所以，故取值范圍為.【小問2詳解】可知切線，中至少一條的斜率存在，設為，則此切線為即，由圓心到此切線的距離等于半徑，即，得所以兩條切線的方程為和，于是由聯(lián)立方程組得兩切點的坐標為和所以故直線的方程為即22、（1）