2023-2024學年遼寧省沈陽二中、撫順二中高二上數學期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2023-2024學年遼寧省沈陽二中、撫順二中高二上數學期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.2．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點A是橢圓短軸的一個頂點，且，則橢圓的離心率（）A. B.C. D.3．已知集合，則（）A. B.C. D.4．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結論中正確的為（）A.與互為對立事件 B.與互斥C.與相等 D.5．將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.6．一輛汽車做直線運動，位移與時間的關系為，若汽車在時的瞬時速度為12，則（）A. B.C.2 D.37．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（）A.－23 B.－3C.－12 D.－138．定義“等方差數列”：如果一個數列從第二項起，每一項的平方與它的前一項的平方的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫作等方差數列，這個常數叫作該數列的方公差．設是由正數組成的等方差數列，且方公差為4，，則數列的前24項和為（）A. B.3C. D.69．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.10．七巧板是中國古代勞動人民發(fā)明的一種傳統智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.11．已知拋物線上一點到焦點的距離為3，準線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.C. D.12．拋物線的焦點為F，點為該拋物線上的動點，點A是拋物線的準線與坐標軸的交點，則的最大值是（）A.2 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線上任意一點，為拋物線的焦點，為平面內一定點，則的最小值為__________.14．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實數a的取值范圍是________.15．容積為V圓柱形密封金屬飲料罐，它的高與底面半徑比值為___________時用料最省.16．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.18．（12分）已知函數（1）若在上單調遞減，求實數a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實數根，證明：19．（12分）已知圓，直線.（1）當為何值時，直線與圓相切；（2）當直線與圓相交于、兩點，且時，求直線的方程.20．（12分）已知拋物線上的點到其焦點F的距離為5.（1）求C的方程；（2）過點的直線l交C于A，B兩點，且N為線段的中點，求直線l的方程.21．（12分）已知函數（1）證明；（2）設，證明：若一定有零點，并判斷零點的個數22．（10分）已知函數.（1）求的單調區(qū)間；（2）求函數在區(qū)間上的最大值與最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據不等式的性質及反例判斷各個選項.【詳解】因為c>d，所以，所以，所以B正確；時，不滿足選項A；時，，且，所以不滿足選項CD；故選：B2、D【解析】依題意，不妨設點A的坐標為，在中，由余弦定理得，再根據離心率公式計算即可.【詳解】設橢圓的焦距為，則橢圓的左焦點的坐標為，右焦點的坐標為，依題意，不妨設點A的坐標為，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故選：D.【點睛】本題考查橢圓幾何性質，在中，利用余弦定理求得是關鍵，屬于中檔題.3、B【解析】先求得集合A，再根據集合的交集運算可得選項.【詳解】解：因為，所以故選：B.4、D【解析】利用互斥事件和對立事件的定義分析判斷即可【詳解】因為拋擲兩枚質地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對立，也不相等，，所以ABC錯誤，D正確，故選：D5、B【解析】由題意知直線的斜率為，設其傾斜角為，將直線繞著原點逆時針旋轉，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設其傾斜角為，則，將直線繞著原點逆時針旋轉，則故新直線的斜率是.故選：B.6、D【解析】首先求出函數的導函數，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因為，所以又汽車在時的瞬時速度為12，即即，解得故選：D【點睛】本題考查導數在物理中的應用，屬于基礎題.7、A【解析】根據兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內切，從而可求出結果.【詳解】因為圓，圓心為，半徑為；圓可化為，圓心為，半徑，又圓與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內切，因此，即，解得.故選：A.8、C【解析】根據等方差數列的定義，結合等差數列的通項公式，運用裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為是方公差為4的等方差數列，所以，，∴，∴，∴，故選：C9、C【解析】根據題意得，進而根據投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C10、D【解析】設正方形的邊長為，計算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計算出所求事件的概率.【詳解】設大正方形的邊長為，則面積為，陰影部分由一個大等腰直角三角形和一個梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.11、C【解析】先由已知結合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準線方程，則可求出準線l與兩條漸近線的交點分別為，然后由題意可得，進而可求出雙曲線的離心率詳解】依題意，拋物線準線，由拋物線定義知，解得，則準線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準線l與兩條漸近線的交點分別為，原點為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C12、B【解析】設直線的傾斜角為，設垂直于準線于，由拋物線的性質可得，則，當直線PA與拋物線相切時，最小，取得最大值，設出直線方程得到直線和拋物線相切時的點P的坐標，然后進行計算得到結果.【詳解】設直線的傾斜角為，設垂直于準線于，由拋物線的性質可得，所以則，當最小時，則值最大，所以當直線PA與拋物線相切時，θ最大，即最小，由題意可得，設切線PA的方程為：，，整理可得，，可得，將代入，可得，所以，即P的橫坐標為1，即P的坐標，所以，，所以的最大值為：，故選：B【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質．解題的關鍵是利用了拋物線的定義．一般和拋物線有關的小題，很多時可以應用結論來處理的；平時練習時應多注意拋物線的結論的總結和應用．尤其和焦半徑聯系的題目，一般都和定義有關，實現點點距和點線距的轉化二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】利用拋物線的定義，再結合圖形即求.【詳解】由題可得拋物線的準線為，設點在準線上的射影為，則根據拋物線的定義可知，∴要求取得最小值，即求取得最小，當三點共線時最小，為.故答案為：3.14、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因為，不等式恒成立，只要即可，因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以，所以.故答案為：.15、【解析】設圓柱的底面半徑為，高為，容積為，由，得到，進而求得表面積，結合不等式，即可求解.【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，容積為，則，即有，可得圓柱的表面積為，當且僅當時，即時最小，即用料最省，此時，可得.故答案為：.16、【解析】計算出的值，利用空間向量的數量積可得出的值，即可得解.【詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）根據分式不等式的解法求得不等式的解集.【小問1詳解】不等式等價于，解得.∴不等式的解集為.【小問2詳解】不等式等價于，解得或.∴不等式的解集為.18、（1）；（2）詳見解析【解析】（1）首先求函數的導數，結合函數的導數與函數單調性的關系，參變分離后，轉化為求函數的最值，即可求得實數的取值范圍；（2）將方程的實數根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉化為證明，通過換元，構造函數，轉化為利用導數證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調遞減，在上恒成立，即，即在，設，，，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以函數的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實數根，即又2個不同實數根，且，，得，即，所以，不妨設，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數，所以，所以函數在上單調遞減，當時，，所以，，所以，即，即得【點睛】本題考查利用導數的單調性求參數的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導數中的雙變量問題，往往采用分析法，轉化為函數與不等式的關系，通過構造函數，結合函數的導數，即可證明.19、（1）；（2）或.【解析】（1）將圓的方程表示為標準方程，確定圓心坐標與半徑，利用圓心到直線的距離可求得實數的值；（2）求出圓心到直線的距離，利用、、三者滿足勾股定理可求得的方程，解出的值，即可得出直線的方程.【詳解】將圓C的方程配方得標準方程為，則此圓的圓心為，半徑為.（1）若直線與圓相切，則有，解得；（2）圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，可得，整理得，解得或，故所求直線方程為或.【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數方法：運用根與系數的關系及弦長公式.20、（1）（2）【解析】（1）根據拋物線的定義可得，求得，即可得出答案；（2）設，利用點差法求出直線l的斜率，再利用直線的點斜式方程即可得出答案.【小問1詳解】解：由拋物線定義可知：，解得：，∴C的方程為；【小問2詳解】解：設，則，兩式作差得，∴直線l的斜率，∵為的中點，∴，∴，∴直線l的方程為，即（經檢驗，所求直線符合條件）.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析，1個零點.【解析】(1)求導同分化簡，構造新函數判斷導數正負即可；(2)令g(x)＝0，化簡方程，將問題轉化為討論方程解的個數問題.【小問1詳解】,設，則，時，遞減，時，遞增，而，所以時，，所以；小問2詳解】有零點，則有解，即有解，又，則只要，因為，方程可以化為，現在證明有解，令，則，可知在遞減，在遞增，所以，因為，所以，在內恒有，而在遞增，當x＝時，h()＝，故根據