2023-2024學年廈門市重點中學高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題含解析

2023-2024學年廈門市重點中學高二數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．以下命題是真命題的是（）A.方差和標準差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量B.若m為數(shù)據(jù)（i=1，2，3，····，2021）的中位數(shù)，則C.回歸直線可能不經(jīng)過樣本點的中心D.若“”為假命題，則均為假命題3．已知三角形三個頂點為、、，則邊上的高所在直線的方程為（）A. B.C. D.4．若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（）A.5 B.C. D.5．已知雙曲線，點F為其左焦點，點B，若BF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．設雙曲線：的左、右焦點分別為、，P為C上一點，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．如圖，在正方體中，點，分別是面對角線與的中點，若，，，則（）A. B.C. D.8．如圖①所示，將一邊長為1的正方形沿對角線折起，形成三棱錐，其主視圖與俯視圖如圖②所示，則左視圖的面積為（）A. B.C. D.9．函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點的個數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.510．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C.1 D.211．若圓上恰有2個點到直線的距離為1，則實數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.12．函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為（）A. B.0C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，若，則_________.14．某地區(qū)有3個疫苗接種定點醫(yī)院，現(xiàn)有10名志愿者將被派往這3個醫(yī)院協(xié)助新冠疫苗接種工作，每個醫(yī)院至少需要2名至多需要4名志愿者，則不同的安排方法共有___________種.15．已知函數(shù)（1）若時函數(shù)有三個互不相同的零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若對任意的，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍16．已知球的表面積是，則該球的體積為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，.（1）求數(shù)列{an}通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和，求使不等式成立的最大整數(shù)m的值.18．（12分）已知命題p：直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，命題q：直線與直線平行.（1）若，判斷命題“”的真假；（2）若命題“”為真命題，求實數(shù)k的取值范圍.19．（12分）已知為數(shù)列的前項和，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和（3）設，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)取值范圍20．（12分）已知橢圓E：的離心率，且右焦點到直線的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）四邊形的頂點在橢圓上，且對角線，過原點，若，證明：四邊形的面積為定值.21．（12分）某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數(shù)量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數(shù)量的平均值和中位數(shù)；（2）該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該公司每天的利潤有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費為45元的概率.22．（10分）在銳角中，角的對邊分別為，滿足.（1）求;（2）若的面積為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】解：，設F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D2、A【解析】A：根據(jù)方差和標準差的定義進行判斷；B：根據(jù)中位數(shù)的定義判斷；C：根據(jù)回歸直線必過樣本中心點進行判斷；D：根據(jù)“且”命題真假關系進行判斷.【詳解】對于A，方差和標準差都是刻畫樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量，故A正確；對于B，若為數(shù)據(jù)，2，3，，的中位數(shù)，需先將數(shù)據(jù)從小到大排列，此時數(shù)據(jù)里面之間的數(shù)順序可能發(fā)生變化，則為排序后的第1010個數(shù)據(jù)的值，這個數(shù)不一定是原來的，故B錯誤；對于C，回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，，故C錯誤；對于D，若“”為假命題，則、中至少有一個是假命題，故D錯誤；故選：A3、A【解析】求出直線的斜率，可求得邊上的高所在直線的斜率，利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，因此，邊上的高所在直線的方程為.故選：A.4、C【解析】先求的平方后再求解即可.【詳解】，故，故選：C5、C【解析】設出雙曲線半焦距c，利用斜率坐標公式結合垂直關系列式計算作答.【詳解】設雙曲線半焦距為c，則，直線BF的斜率為，雙曲線的漸近線為：，因直線BF與雙曲線的一條漸近線垂直，則有，即，于是得，而，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C6、B【解析】根據(jù)雙曲線定義結合，求得，在中，利用余弦定理求得之間的關系，即可得出答案.【詳解】解：因為在雙曲線中，因為，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.7、D【解析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結果.【詳解】因為點，分別是面對角線與的中點，，，，所以故選:D.8、A【解析】由視圖確定該幾何體的特征，即可得解.【詳解】由主視圖可以看出，A點在面上的投影為的中點，由俯視圖可以看出C點在面上的投影為的中點，所以其左視圖為如圖所示的等腰直角三角形，直角邊長為，于是左視圖的面積為故選：A.9、C【解析】根據(jù)給定的導函數(shù)的圖象，結合函數(shù)的極值的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，設導函數(shù)的圖象與軸的交點分別為，根據(jù)函數(shù)的極值的定義可知在該點處的左右兩側的導數(shù)符號相反，可得為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，所以函數(shù)極值點的個數(shù)為4個.故選：C.10、C【解析】結合遞推關系式依次求得的值.【詳解】因為，，所以，得由，得.故選：C11、A【解析】求得圓心到直線的距離，根據(jù)題意列出的不等關系式，即可求得的范圍.【詳解】因為圓心到直線的距離，故要滿足題意，只需，解得.故選：A.12、A【解析】求出導函數(shù)，計算得切線斜率，由斜率求得傾斜角【詳解】，設傾斜角為，則，，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，，利用向量數(shù)量積的坐標運算可得，然后利用定積分性質可得，原式，最后利用微積分基本定理計算，，利用定積分的幾何意義計算，即可得答案.【詳解】解：因為，，且，所以，解得，所以====.故答案為：.14、22050【解析】先分組，再排列，注意部分平均分組問題，需要除以平均組數(shù)的全排列.【詳解】根據(jù)題意，這10名志愿者的安排方法共有兩類：第一類是2，4，4，第二類是3，3，4.故不同的安排方法共有種.故答案為：2205015、（1）（2）【解析】（1）將函數(shù)有三個互不相同的零點轉化為有三個互不相等的實數(shù)根，令，求導確定單調性求出極值即可求解；（2）求導確定單調性，結合以及得，由得，結合二次函數(shù)單調性求出最小值即可求解.【小問1詳解】當時，．函數(shù)有三個互不相同的零點，即有三個互不相等的實數(shù)根令，則，令得或，在和上均減函數(shù)，在上為增函數(shù)，極小值為，極大值為，的取值范圍是；【小問2詳解】，且，當或時，；當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和，單調遞減區(qū)間為當時，，又，，又，又在上恒成立，即，即當時，恒成立在上單減，故最小值為，的取值范圍是16、【解析】設球的半徑為r，代入表面積公式，可解得，代入體積公式，即可得答案.【詳解】設球的半徑為r，則表面積，解得，所以體積，故答案為：【點睛】本題考查已知球的表面積求體積，關鍵是求出半徑，再進行求解，考查基礎知識掌握程度，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)給定的遞推公式變形，再構造常數(shù)列求解作答.（2）利用（1）的結論求出，再利用裂項相消法求和，由單調性求出最大整數(shù)m值作答.【小問1詳解】依題意，，當時，，兩式相減得：，即，整理得：，于是得，所以數(shù)列{an}的通項公式是.【小問2詳解】由（1）得，，數(shù)列是遞增數(shù)列，因此，，于是有，則，不等式成立，則，，于是得，所以使不等式成立的最大整數(shù)m的值是505.【點睛】思路點睛：使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的18、（1）命題“”為真命題（2）【解析】（1）先判斷命題p，命題q的真假，再利用復合命題的真假判斷；（2）根據(jù)命題“”真命題，由p為真命題，q為假命題求解.【小問1詳解】解：對于命題p，易知直線與雙曲線的左、右支各有一個交點，∴命題p為假命題；對于命題q，時，有與，顯然兩條直線垂直，∴命題q為假命題.∴命題“”為真命題.【小問2詳解】∵命題“”為真命題，∴p為真命題，q為假命題.對于命題p，由得，直線與雙曲線的右支有兩個不同的交點，即此方程有兩個不同的正根，∴得.對于命題q，要使命題q為真，則，解得，∴命題q為假命題，即.∴實數(shù)k的取值范圍為.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的關系，根據(jù)等比數(shù)列的定義求通項公式.（2）由（1）可得，應用裂項相消法求.（3）應用錯位相減法求得，由題設有，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求的取值范圍【小問1詳解】當時，，可得，當時，，可得，∴是首項、公比都為的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1），，∴.【小問3詳解】由題設，，∴，則，∴，由對一切恒成立，令，則，∴數(shù)列單調遞減，∴當為奇數(shù)，恒成立且在上遞減，則，當為偶數(shù)，恒成立且在上遞增，則，綜上，.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據(jù)已知條件列出關于a、b、c的方程組求解即可；(2)設，代入，利用韋達定理，通過，結合，轉化求解即可【小問1詳解】【小問2詳解】設，設，代入，得，∵，∴，，∵，得，即，解得，∵，且，又，，整理得，∴為定值21、(1)公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.(2)該公司平均每天的利潤有1000元．(3).【解析】（1）對于平均數(shù)，運用平均數(shù)的公式即可；由于中位數(shù)將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數(shù)位于哪一組，然后建立關于中位數(shù)的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤.（3）該為古典概型，根據(jù)題意分別確定總的基本事件個數(shù)，以及事件“快遞費為45元”包括的基本事件個數(shù)，即可求出概率.【詳解】（1）每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數(shù)分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數(shù)量的平均數(shù)為設中位數(shù)為x，易知，則，解得x=260.所以公司每天包裹的平均數(shù)和中位數(shù)都為260件.（2）由（1）可知平均每天的攬件數(shù)為260，利潤為(元)，所以該公司平均每天的利潤有1000元（3）設四件禮物分為二個包