2023-2024學(xué)年江西省宜春市高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2023-2024學(xué)年江西省宜春市高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時認(rèn)識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若，對，且．總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列滿足，且，則的值為（）A.3 B.C. D.3．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4．已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.5．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.相離6．在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.或C. D.或7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)A是橢圓短軸的一個頂點(diǎn)，且，則橢圓的離心率（）A. B.C. D.8．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.9．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足，若，則（）A. B.C. D.a，b的大小無法判斷10．已知空間三點(diǎn)，，在一條直線上，則實(shí)數(shù)的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-211．工業(yè)生產(chǎn)者出廠價格指數(shù)（PRoduceRPRiceIndexfoRIndustRialPRoducts，簡稱PPI）是反映工業(yè)企業(yè)產(chǎn)品第一次出售時的出廠價格的變化趨勢和變動幅度，是反映某一時期生產(chǎn)領(lǐng)域價格變動情況的重要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，也是制定有關(guān)經(jīng)濟(jì)政策和國民經(jīng)濟(jì)核算的重要依據(jù)．根據(jù)下面提供的我國2020年1月—2021年11月的工業(yè)生產(chǎn)者出廠價格指數(shù)的月度同比（將上一年同月作為基期進(jìn)行對比的價格指數(shù)）和月度環(huán)比（將上月作為基期進(jìn)行對比的價格指數(shù)）漲跌情況的折線圖判斷，以下結(jié)論正確的（）A.2020年各月的PPI在逐月增大B.2020年各月的PPI均高于2019年同期水平C.2021年1月—11月各月的PPI在逐月減小D.2021年1月—11月各月的PPI均高于2020年同期水平12．已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，若2是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為___________.14．某高中高二年級學(xué)生在學(xué)習(xí)完成數(shù)學(xué)選擇性必修一后進(jìn)行了一次測試，總分為100分.現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣方法從學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取一個樣本量為40的樣本，再將40個成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）從所給的頻率分布直方圖中估計(jì)成績樣本數(shù)據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的兩組學(xué)生成績樣本數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取兩個進(jìn)調(diào)查，求調(diào)查對象來自不同分組的概率.15．展開式中的系數(shù)是___________.16．已知函數(shù)，，則曲線在處的切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率，過橢圓C的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線截橢圓所得到的線段的長度為1（1）求橢圓C的方程；（2）直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若y軸上存在點(diǎn)P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍18．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：19．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.20．（12分）某高中招聘教師，首先要對應(yīng)聘者的簡歷進(jìn)行篩選，簡歷達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)應(yīng)聘者要回答3道題，第一題為教育心理學(xué)知識，答對得4分，答錯得0分，后兩題為學(xué)科專業(yè)知識，每道題答對得3分，答錯得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊來應(yīng)聘，他們中僅有3人的簡歷達(dá)標(biāo)，若從這5人中隨機(jī)抽取3人，求這3人中恰有2人簡歷達(dá)標(biāo)的概率；（2）某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題答對與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績X的分布列及數(shù)學(xué)期望21．（12分）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上點(diǎn)數(shù).（1）試表示“出現(xiàn)兩個1點(diǎn)”這個事件相應(yīng)的樣本空間的子集；（2）求出現(xiàn)兩個1點(diǎn)”的概率；（3）求“點(diǎn)數(shù)之和為7”的概率.22．（10分）已知是函數(shù)的一個極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C2、B【解析】根據(jù)題意，依次求出，觀察規(guī)律，進(jìn)而求出數(shù)列的周期，然后通過周期性求得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，所以，，，可知數(shù)列具有周期性，周期為3，，所以.故選：B3、A【解析】由三角函數(shù)的單調(diào)性直接判斷是否能推出，反過來判斷時，是否能推出.【詳解】當(dāng)時，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性知；當(dāng)時，或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查判斷充分必要條件，三角函數(shù)性質(zhì)，意在考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.4、B【解析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意，結(jié)合中點(diǎn)弦的問題得，進(jìn)而再求解準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因?yàn)橹本€AB的斜率為1，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，所以，即，所以拋物線，準(zhǔn)線方程為.故選：B5、A【解析】根據(jù)兩圓半徑和、差、圓心距之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】由，該圓的圓心為，半徑為.圓圓心為，半徑為，因?yàn)閮蓤A的圓心距為，兩圓的半徑和為，所以兩圓的半徑和等于兩圓的圓心距，因此兩圓相外切，故選：A6、C【解析】計(jì)算出等比數(shù)列的公比，即可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，.故選：C.7、D【解析】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在中，由余弦定理得，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓幾何性質(zhì)，在中，利用余弦定理求得是關(guān)鍵，屬于中檔題.8、B【解析】由空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B9、A【解析】首先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，即，所以，那么，即.故選：A10、C【解析】根據(jù)三點(diǎn)在一條直線上，利用向量共線原理，解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)榭臻g三點(diǎn)，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】根據(jù)折線圖中同比、環(huán)比的正負(fù)情況，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤.【詳解】A：2020年前5個月PPI在逐月減小，錯誤；B：2020年各月同比為負(fù)值，即低于2019年同期水平，錯誤；C：2021年1月—11月各月的PPI環(huán)比為正值，即逐月增大，錯誤；D：2021年1月—11月各月的PPI同比為正值，即高于2020年同期水平，正確.故選：D.12、D【解析】設(shè)橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實(shí)軸長a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實(shí)軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)列方程，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】由題可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：14、（1）眾數(shù)；平均數(shù)，中位數(shù).（2）.【解析】（1）按“眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)”的公式求解.（2）由頻率分布直方圖得到各區(qū)間的頻率，再用古典概型求解.【小問1詳解】眾數(shù)取頻率分布直方圖中最高矩形對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)75；平均數(shù)；因?yàn)?，所以中位?shù)在區(qū)間上，且中位數(shù)【小問2詳解】由頻率分布直方圖得出在區(qū)間40，50）和90，100內(nèi)的成績樣本數(shù)據(jù)分別有4個和2個，從6個樣本選2個共有個結(jié)果，記事件A=“調(diào)查對象來自不同分組”，結(jié)果有所以.15、【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可知展開式中含的項(xiàng)，以及展開式中含的項(xiàng)，再根據(jù)組合數(shù)的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意可得，展開式中含的項(xiàng)為，而展開式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)處的切線方程.【詳解】由，求導(dǎo)，知，又，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面積可得答案.小問1詳解】令，得，所以，解得，，所以橢圓C的方程：【小問2詳解】設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，因?yàn)闉橐訟B為斜邊的等腰直角三角形，所以且，聯(lián)立得，則∴又∵，∴，且，，∴，由得，∴∴18、（1），（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)可得，從而可得；（2）利用錯位相減法可得，從而可得，又，即可證明不等式成立.【小問1詳解】解：∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，經(jīng)檢驗(yàn)，也符合，∴，；【小問2詳解】證明：因?yàn)椋?，∴∴，又∵，∴，所?9、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）由三角形的中位線定理可證得MN∥AB，再由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得VC⊥平面ABC，從而有AB⊥VC，然后由線面垂直的判定定理可證得結(jié)論【小問1詳解】證明：∵M(jìn)，N分別為VA，VB的中點(diǎn)，∴MN∥AB，∵AB?平面CMN，MN?平面CMN，∴AB∥平面CMN【小問2詳解】證明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，∴VC⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥VC，又VC∩BC＝C，∴AB⊥平面VBC20、（1）（2）分布列見解析；期望為【解析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，再利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出對應(yīng)的概率，列出分布列即可求出數(shù)學(xué)期望【小問1詳解】從這5人中隨機(jī)抽取3人，恰有2人簡歷達(dá)標(biāo)的概率為【小問2詳解】由題可知，X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，則，，，，，.故X的分布列為：X0346710P所以21、（1）（2）（3）【解析】（1）由題意直接寫出基本事件即可得出答案.（2）樣本空間一共有個基本事件,由（1）可得答案.（3）列出“點(diǎn)數(shù)之和為7”的基本事件，從而可得答案.【小問1詳解】“同時拋擲兩顆骰子”的樣本空間是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分別是拋擲第一顆與第二顆骰子所得的點(diǎn)數(shù).將“出現(xiàn)兩個1點(diǎn)”這個事