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2023-2024學(xué)年鶴壁市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角,、分別為、的中點(diǎn),是正方形的中心,則的大小為()A. B.C. D.2.曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是()A.3 B.C.2 D.3.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在上且,則的面積為()A. B.3C. D.24.在下列函數(shù)中,求導(dǎo)錯(cuò)誤的是()A., B.,C., D.,5.已知平面向量,且,向量滿足,則的最小值為()A. B.C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值可能為()A.96 B.97C.98 D.997.在空間四邊形中,,,,且,則()A. B.C. D.8.圓()上點(diǎn)到直線的最小距離為1,則A.4 B.3C.2 D.19.設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是,若,則的通項(xiàng)公式可以是()A. B.C. D.10.已知拋物線的方程為,則此拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.11.已知的周長(zhǎng)等于10,,通過建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,頂點(diǎn)的軌跡方程可以是()A. B.C. D.12.已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若的零點(diǎn)為,極值點(diǎn)為,則()A. B.0C.1 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知球的表面積為,則該球的體積為______.14.直線的傾斜角為______15.已知雙曲線:的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線引垂線,垂足為,交另一條漸近線于,若,則雙曲線的漸近線方程為__________16.若雙曲線的漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為___________;若,則雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是拋物線的焦點(diǎn),直線交拋物線于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)且,求;(2)若平分線段,求直線的方程.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線,分別過曲線上的兩點(diǎn),做曲線的兩條切線,且交于點(diǎn),與直線交于兩點(diǎn)(1)求曲線的方程;(2)求面積的最小值.19.(12分)某品牌餐飲公司準(zhǔn)備在10個(gè)規(guī)模相當(dāng)?shù)牡貐^(qū)開設(shè)加盟店,為合理安排各地區(qū)加盟店的個(gè)數(shù),先在其中5個(gè)地區(qū)試點(diǎn),得到試點(diǎn)地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)分別為1,2,3,4,5時(shí),單店日平均營(yíng)業(yè)額(萬元)的數(shù)據(jù)如下:加盟店個(gè)數(shù)(個(gè))12345單店日平均營(yíng)業(yè)額(萬元)10.910.297.871(參考數(shù)據(jù)及公式:,,線性回歸方程,其中,.)(1)求單店日平均營(yíng)業(yè)額(萬元)與所在地區(qū)加盟店個(gè)數(shù)(個(gè))的線性回歸方程;(2)根據(jù)試點(diǎn)調(diào)研結(jié)果,為保證規(guī)模和效益,在其他5個(gè)地區(qū),該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)值總和不低于35萬元,求一個(gè)地區(qū)開設(shè)加盟店個(gè)數(shù)的所有可能取值;(3)小趙與小王都準(zhǔn)備加入該公司的加盟店,根據(jù)公司規(guī)定,他們只能分別從其他五個(gè)地區(qū)(加盟店都不少于2個(gè))中隨機(jī)選一個(gè)地區(qū)加入,求他們選取的地區(qū)相同的概率.20.(12分)某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗過敏藥物,服用后需要檢驗(yàn)血液抗體是否為陽性,現(xiàn)有n(n∈N*)份血液樣本,每個(gè)樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗(yàn)方式:①逐份檢驗(yàn),需要檢驗(yàn)n次;②混合檢驗(yàn),將其中k(k∈N*,2≤k≤n)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn),若結(jié)果為陰性,則這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了,若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性,為了明確這k份血液究竟哪份為陽性,就需要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為k+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨(dú)立的,且每份樣本是陽性的概率為p(0<p<1).(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有兩份樣本為陽性,若采取逐份檢驗(yàn)的方式,求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率.(2)現(xiàn)取其中的k(k∈N*,2≤k≤n)份血液樣本,采用逐份檢驗(yàn)的方式,樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)記為ξ1;采用混合檢驗(yàn)的方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)記為ξ2.(i)若k=4,且,試運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí),求p的值;(ii)若,證明:.21.(12分)已知在數(shù)列中,,且.(1)求,,并證明數(shù)列是等比數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.22.(10分)如圖,已知直三棱柱中,,,E,F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn),D為棱上的一點(diǎn).(1)證明:;(2)當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時(shí),求點(diǎn)B到平面DFE距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,以向量法去求的大小即可解決.【詳解】由題意可得平面,,則兩兩垂直以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B、OA、OC所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系則,,,,又,則故選:B2、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點(diǎn)為,依題意即過切點(diǎn)的切線恰好與直線平行,此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離最小,求出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,所以切點(diǎn)為,點(diǎn)到直線的距離,所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是;故選:D3、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到,再利用雙曲線的定義得到,聯(lián)立即可得到,代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知,不妨設(shè),則,因?yàn)?,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上,即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形,故,即,又,所以,解得,所以故選:B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問題,涉及到雙曲線的定義,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道中檔題.4、B【解析】分別求得每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷.詳解】;;;.故求導(dǎo)錯(cuò)誤的是B.故選:B.5、B【解析】由題設(shè)可得,又,易知,,將問題轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)線距離關(guān)系:向量的終點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓上的點(diǎn)到向量所在射線的距離最短,即可求的最小值.【詳解】解:∵,而,∴,又,即,又,,∴,若,則,∴在以為圓心,1為半徑的圓上,若,則,∴問題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點(diǎn)時(shí),使最小,又,∴當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí),最小為.故選:B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:由已知確定,,構(gòu)成等邊三角形,即可將問題轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到射線的距離最短問題.6、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4,而,故時(shí),輸出的值為,故選:D7、A【解析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】..故選:A.8、A【解析】根據(jù)題意可得,圓心到直線的距離等于,即,求得,所以A選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法:(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交.上述方法中常用的是幾何法,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題9、D【解析】根據(jù)題意可得公差的范圍,再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,得,所以,故AB錯(cuò)誤;若,則,與題意矛盾,故C錯(cuò)誤;若,則,符合題意.故選:D.10、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為,則其準(zhǔn)線方程為:故選:A11、A【解析】根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)等于10,,所以,因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,且不在直線上,因此有,所以頂點(diǎn)的軌跡方程可以是,故選:A12、C【解析】令可求得其零點(diǎn),即的值,再利用導(dǎo)數(shù)可求得其極值點(diǎn),即的值,從而可得答案【詳解】解:,當(dāng)時(shí),,即,解得;當(dāng)時(shí),恒成立,的零點(diǎn)為又當(dāng)時(shí),為增函數(shù),故在,上無極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,時(shí),取到極小值,即的極值點(diǎn),故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查函數(shù)的零點(diǎn),考查分段函數(shù)的應(yīng)用,突出分析運(yùn)算能力的考查,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】設(shè)球半徑為,由球表面積求出,然后可得球的體積【詳解】設(shè)球半徑為,∵球的表面積為,∴,∴,∴該球的體積為故答案為【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式,解題時(shí)由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果14、【解析】把直線方程化為斜截式,再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出【詳解】設(shè)直線的傾斜角為由直線化為,故,又,故,故答案為【點(diǎn)睛】一般地,如果直線方程的一般式為,那么直線的斜率為,且,其中為直線的傾斜角,注意它的范圍是15、【解析】由題意得雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0),設(shè)一漸近線OM的方程為,則另一漸近線ON的方程為.設(shè),∵,∴,∴,解得∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為,又,∴,整理得,∴雙曲線的漸近線方程為答案:點(diǎn)睛:(1)已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí),只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程,即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程(2)求雙曲線的漸進(jìn)線方程的關(guān)鍵是求出的關(guān)系,并根據(jù)焦點(diǎn)的位置確定出漸近線的形式,并進(jìn)一步得到其方程16、①.②.3【解析】由漸近線方程知,結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系及離心率的定義求雙曲線的離心率,由已知可得右焦點(diǎn)為,應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求距離.【詳解】由題設(shè),,則,當(dāng)時(shí),,則雙曲線為,故右焦點(diǎn)為,所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故答案為:,3.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)分析可知直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,求出點(diǎn)的坐標(biāo),利用拋物線的定義可求得;(2)利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率,利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解:設(shè)點(diǎn)、,則直線的傾斜角為,易知點(diǎn),直線的方程為,聯(lián)立,可得,由題意可知,則,,因此,.【小問2詳解】解:設(shè)、,若軸,則線段的中點(diǎn)在軸上,不合乎題意,所以直線的斜率存在,因?yàn)椤⒃趻佄锞€上,則,兩式相減得,又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),則,所以,直線的斜率為,此時(shí),直線的方程為,即.18、(1)(2)【解析】(1)由題意可得化簡(jiǎn)可得答案;(2)求出、方程并得到、點(diǎn)坐標(biāo),再聯(lián)立,方程求出交點(diǎn)和、點(diǎn)到的距離,可得,設(shè),與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到,設(shè),記,利用導(dǎo)數(shù)可得答案..【小問1詳解】由題意可知:,即:化簡(jiǎn)得:;【小問2詳解】由題意可知:,,,過點(diǎn)的切線斜率為,方程為:①,令,,則,同理:方程為:②,,聯(lián)立①②得:,的交點(diǎn),,點(diǎn)到的距離,所以③,設(shè):,則,整理得,所以,由韋達(dá)定理得:,,代入③式得:,設(shè),記,則,令得(舍負(fù)),時(shí),單調(diào)遞減:時(shí),單調(diào)遞增,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)的最小值為.19、(1);(2)5,6,7;(3).【解析】(1)先求得,,進(jìn)而得到b,a求解;(2)根據(jù)題意,由求解;(3)利用古典概型的概率求解.【詳解】(1)由題可得,,,設(shè)所求線性回歸方程為,則,將,代入,得,故所求線性回歸方程為.(2)根據(jù)題意,,解得:,又,所以的所有可能取值為5,6,7.(3)設(shè)其他5個(gè)地區(qū)分別為,他們選擇結(jié)果共有25種,具體如下:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,其中他們?cè)谕粋€(gè)地區(qū)的有5種,所以他們選取地區(qū)相同的概率.20、(1);(2)(i);(ii)證明見解析.【解析】(1)設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來為事件A,由古典概型概率計(jì)算公式可得答案;(2)(i)由已知,可能取值分別為1,,求解概率然后求期望推出關(guān)于的關(guān)系式;(ii)由,計(jì)算出,再由,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值可得答案..【詳解】(1)設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來為事件A,所以前2次檢驗(yàn)中有一陽性有一陰性樣本第三次為陽性樣本,或者前3次均為陰性樣本,則.(2)(i),所以,可能取值分別為1,,,,因?yàn)榈?,因?yàn)椋裕?(ii)因?yàn)?,由(i)知,所以,設(shè),,所以在單調(diào)遞增,所以由于,所以,即,得證.【(4)(5)選做】21、(1),,證明見解析(2),【解析】(1)根據(jù)遞推關(guān)系求出,,對(duì)遞推公式變形,即可得證;(2)結(jié)合(1)求得通項(xiàng)公式,
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