線性矩法在枯水研究中的應(yīng)用

線性矩法在枯水研究中的應(yīng)用

對床差流量的頻率分析通過概率分布來闡明交通流量與產(chǎn)生頻率之間的關(guān)系。由于每條河流其枯水徑流的概率分布是未知的,因此大多采用實(shí)測資料去擬合理論頻率曲線,并采用一定的統(tǒng)計(jì)特征量來尋求最佳的理論曲線。能用于枯水頻率分析的理論分布主要有LN3、W3、P3以及LP3分布等。在判定頻率分布線型的研究工作中,概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法(probabilityplotcorrelationcoefficient,PPCC)已經(jīng)得到了一定的應(yīng)用,但這些學(xué)者在利用PPCC法進(jìn)行頻率分析時(shí),均是利用矩法進(jìn)行分布函數(shù)的參數(shù)確定。近年來,線性矩法(L-moments)已經(jīng)被證明是一種非常有效的分布函數(shù)參數(shù)確定方法,且被廣泛地應(yīng)用于洪水和枯水的頻率分析中。本文將PPCC法的應(yīng)用范疇加以拓寬,以6種常見的三參數(shù)分布函數(shù)作為假設(shè)分布線型,利用線性矩法較為深入地分析東江流域的年最小七日平均流量序列,用以解決東江流域的枯水頻率分析。1基本方法1.1ppcc檢驗(yàn)法的原理概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法,概念明確,便于使用。設(shè)一個待檢驗(yàn)樣本xi(i=1,2,…,n),則概率點(diǎn)據(jù)是指xi排序后第i項(xiàng)樣本值x(i)的圖形表示。大量研究表明,概率點(diǎn)據(jù)應(yīng)采用無偏點(diǎn)據(jù)來表達(dá),它再現(xiàn)了假設(shè)分布的第i項(xiàng)實(shí)測值的數(shù)學(xué)期望E[x(i)]。基于上述基本觀點(diǎn),若一個待檢驗(yàn)樣本的實(shí)際分布服從某個假設(shè)分布,則排序后的實(shí)測值x(i)與假設(shè)分布的理論值yi的概率點(diǎn)據(jù)存在著近似的線性關(guān)系。因此,可用概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計(jì)特征量來描述序列x(i)與yi之間的相關(guān)程度,即R=n∑i=1(x(i)-ˉx)(yi-ˉy)√n∑i=1(x(i)-ˉx)2?n∑i=1(yi-ˉy)2.(1)式中:R為相關(guān)系數(shù);n為樣本數(shù)目;x(i)和ˉx分別為樣本xi排序后的實(shí)測值和均值;yi和ˉy分別為假設(shè)分布相應(yīng)于x(i)的理論值和均值,即yi=E[x(i)]。實(shí)際上,PPCC檢驗(yàn)法就是根據(jù)實(shí)測樣本序列排序后各實(shí)測值x(i)及其相對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率Pi,推求出某個假設(shè)分布F上經(jīng)驗(yàn)頻率Pi所對應(yīng)的理論值yi=F-1(Pi),然后求兩序列x(i)和yi的相關(guān)系數(shù),用以判斷選擇何種分布函數(shù)線型。各個站點(diǎn)排序后的實(shí)測值x(i)的經(jīng)驗(yàn)頻率采用Gringorten無偏估計(jì)公式進(jìn)行計(jì)算Ρ(i)=i-0.44n+0.12?(2)式中:i為從小到大排列的序號,n為樣本總數(shù)。為了得到假設(shè)分布的概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)R,本文采用線性矩法推求分布函數(shù)的參數(shù)及其反函數(shù)。1.2線性組合的一般方法線性矩來源于Greenwood等人提出的概率權(quán)重矩(PWM)。對于隨機(jī)變量X,第r階概率權(quán)重矩定義如下βr=∫10x(F)FrdF?r=1,2,3,?.(3)式中:F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),x為概率為F時(shí)的反函數(shù)值。隨機(jī)變量X的第r+1階線性矩為λr+1=∫10x(F)Ρ*r(F)dF.(4)式中:Ρ*r(F)=r∑k=0(-1)r-k(r+k)!(k!)2(r-k)!Fk,利用該多項(xiàng)式和式(3),式(4)可化為λr+1=r∑k=0(-1)r-k(r+k)!(k!)2(r-k)!βk?r=0,1,?,n-1.(5)從式(5)可以看出,隨機(jī)變量X的線性矩是概率權(quán)重矩的線性組合。一般在實(shí)際應(yīng)用中,需利用有限的樣本數(shù)來計(jì)算樣本線性矩。假設(shè)隨機(jī)變量X有n個樣本,把這n個值按照從小到大的順序排列起來,即x1∶n≤x2∶n≤…≤xn∶n,xi∶n(i=1,2,…,n)為在n個值中第i小的值。與隨機(jī)變量X的線性矩類似,前r+1階樣本線性矩定義為:lr+1=r∑k=0(-1)r-k(r+k)!(k!)2(r-k)!bk?r=0,1,?,n-1?(6)bk=n-1n∑i=k+1(i-1)(i-2)?(i-k)(n-1)(n-2)?(n-k)xi∶n.k=0,1,?,n-1.式中bk為概率權(quán)重矩βk的無偏估計(jì)值。樣本離差系數(shù)定義為t=l2/l1.(7)樣本線性矩系數(shù)定義為tr=lr/l2?r=3,4,5,?,n.(8)2干水頻率分析2.1枯水徑流特征東江流域?yàn)橹榻饔虻闹Я?發(fā)源于江西省尋鄔縣的椏髻體。東江流域地處亞熱帶,氣候溫和,多年平均雨量為1750mm,年徑流量較為豐沛。由于受亞熱帶季風(fēng)氣候的影響,年徑流量在年內(nèi)的變化較大,流域70%～80%的年降雨量和年徑流量集中在每年5月—8月,剩余的時(shí)間基本上屬于枯水季節(jié)。選取其中13個子流域作為研究對象,流域面積大約為37.2～2091km2,且這些子流域基本上不受人類活動的影響。這些子流域日平均流量資料的長度為9～45a,各子流域的平均資料長度約為22a。在枯水徑流的頻率分析中,由于最小七日平均流量可以更好地反映枯水徑流的特性,大多數(shù)研究者以它作為枯水徑流的統(tǒng)計(jì)特征量。本文結(jié)合東江流域的具體特點(diǎn),利用滑動平均法得到每個水文年(每年的4月—次年的3月)內(nèi)的七日平均流量,以每個水文年的最小值組成年最小七日平均流量序列,對這些序列進(jìn)行枯水徑流的頻率分析研究。2.2頻率分布線型枯水徑流的頻率分布究竟服從何種分布,至今尚無統(tǒng)一定論。本文利用基于線性矩法的PPCC檢驗(yàn)法和四階線性矩(τ4)檢驗(yàn)法來判別本研究區(qū)域的枯水流量的頻率分布。所要探討的理論分布為常見的6種三參數(shù)分布:Generalizedextreme-value分布(GEV)、Generalizedlogistic分布(GLO)、三參數(shù)對數(shù)正態(tài)分布(LN3)、Generalizedpareto分布(GPA)、PearsontypeIII分布(P3)和LogPearson分布(LP3)。利用線性矩法求解各種分布函數(shù)的參數(shù)及其反函數(shù)的方法詳見文。為了深入比較的需要,除了得到概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)R外,還增加了確定性系數(shù)QD、均方根誤差RMSE和平均絕對誤差MAE作為統(tǒng)計(jì)特征量來分析頻率分布線型,這3個統(tǒng)計(jì)特征量描述了兩序列x(i)和yi的擬合程度,分別定義為:QD=1-n∑i=1(x(i)-yi)2n∑i=1(x(i)-ˉx)2?(9)RΜSE=1n√n∑i=1(x(i)-yi)2?(10)ΜAE=1nn∑i=1|x(i)-yi|.(11)利用式(1)和式(9—11)分別得到各個子流域在6種假設(shè)分布情況下的統(tǒng)計(jì)特征量R、QD、RMSE和MAE的數(shù)值。另外,Pandey等人于2001年從理論上導(dǎo)出了利用四階線性矩系數(shù)τ4作為選擇分布函數(shù)的準(zhǔn)則,并用實(shí)例加以驗(yàn)證。該方法簡捷方便,只要分別求出某個假設(shè)分布函數(shù)和樣本的四階線性矩,這兩個線性矩之差的絕對值最小的分布線型就為最優(yōu)的分布線型。本文在利用PPCC檢驗(yàn)法的基礎(chǔ)上,也利用了該檢驗(yàn)系數(shù)作為統(tǒng)計(jì)特征量。為了分析這6個假設(shè)分布線型在整個研究區(qū)域上的特征,將以上5種統(tǒng)計(jì)特征量在13個子流域上的數(shù)值取平均,其結(jié)果見表1。從中可看出,在所有5個統(tǒng)計(jì)特征量中,LN3分布皆為最優(yōu)。采用經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算式(2)計(jì)算出13個站點(diǎn)實(shí)測枯水流量序列所對應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率,用所得到的經(jīng)驗(yàn)頻率基于LN3分布分別求得各個站點(diǎn)的模擬值,比較同頻率下的實(shí)測值和模擬值。圖1為整個研究區(qū)域內(nèi)13個子流域的七日最小平均流量qv序列的實(shí)測值與模擬值比較圖,從中可看出,除了少數(shù)點(diǎn)據(jù)外,實(shí)測值和模擬值基本接近。基于LN3分布得到研究區(qū)域內(nèi)各站十年一遇的七日設(shè)計(jì)枯水流量qv(7,10),計(jì)算值和實(shí)測值對比見圖2,實(shí)測值利用式(2)內(nèi)插得到。從圖2看出,除了少數(shù)站點(diǎn)外(例如第10個站),設(shè)計(jì)枯水流量和實(shí)測枯水流量的數(shù)值非常接近。整個研究區(qū)域中13個站的相對誤差范圍為0.01%～28.95%,平均相對誤差為6.59%。因此,LN3分布較好地描述了研究區(qū)域的年最小七日平均流量的概率分布,可以被用來作為該研究區(qū)域的枯水分布線型。3枯水徑流分布函數(shù)線性矩法具有優(yōu)良的穩(wěn)健性,被廣泛地應(yīng)用于水文特征值的頻率分析中。利用概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法(PPCC)來選擇描述東江流域枯