高中數(shù)學(xué)《基本不等式》(2課時(shí))教學(xué)設(shè)計(jì)

基本不等式（2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容：基本不等式的定義、幾何解釋、證明方法與應(yīng)用.2.內(nèi)容解析：相等關(guān)系、不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程、不等式的基礎(chǔ).基本不等式是一種重要而基本的不等式類型，在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中也是一個(gè)非常重要的、基礎(chǔ)的內(nèi)容.基本不等式與很多重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān).從數(shù)與運(yùn)算的角度，

是兩個(gè)正數(shù)a，b的“算術(shù)平均數(shù)”，

是兩個(gè)正數(shù)a,b，的“幾何平均數(shù)”.因此，不等式中涉及的是代數(shù)中的“基本量”和最基本的運(yùn)算.從幾何圖形的角度，“周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大”，“等圓中，弦長(zhǎng)不大于直徑”，等等，都是基本不等式的直觀理解.其次，基本不等式的證明或推導(dǎo)方法很多，上面的分析也是基本不等式證明方法的來(lái)源.利用分析法，從數(shù)量關(guān)系的角度，利用不等式的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)基本不等式；從平面幾何圖形的角度，借助幾何直觀，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)探究不等式的幾何解釋；從函數(shù)的角度，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)證明基本不等式；等等.這些方法也是代數(shù)證明和推導(dǎo)的典型方法.此外，基本不等式是幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù)的最基本和最簡(jiǎn)單的情形，可以推廣至n個(gè)正數(shù)的幾何平均值不大于算術(shù)平均值.基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)也是數(shù)學(xué)模型思想的一個(gè)范例，借助這個(gè)模型可以求最大值和最小值.同時(shí)，在理解和應(yīng)用基本不等式的過(guò)程中涉及變與不變、變量與常量，以及數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型等思想方法.因此，基本不等式的內(nèi)容可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的定義、幾何解釋和證明方法，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.

本單元教學(xué)建議課時(shí)數(shù)：2課時(shí).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)：（1）理解基本不等式

，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).（2）結(jié)合具體實(shí)例，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).2.目標(biāo)解析：達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）知道基本不等式的內(nèi)容，明確基本不等式就是“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；會(huì)利用不等式的性質(zhì)證明基本不等式，能說(shuō)明基本不等式的幾何意義.（2）能結(jié)合具體實(shí)例，明確基本不等式的使用條件和注意事項(xiàng)，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型識(shí)別和理解實(shí)際問(wèn)題，能用基本不等式求最大值或最小值；在解決具體問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)基本不等式的作用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析由于學(xué)生缺少代數(shù)式證明的經(jīng)驗(yàn)，所以基本不等式的證明是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).基本不等式的幾何解釋也是學(xué)生不容易想到的，需要數(shù)形結(jié)合地去理解，所以這也是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).此外，在利用基本不等式研究最值問(wèn)題時(shí)，學(xué)生容易出現(xiàn)忽視使用條件，不驗(yàn)證等號(hào)是否成立，甚至出現(xiàn)沒(méi)有確認(rèn)和或積為定值就求“最值”等問(wèn)題，這也是學(xué)生思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋憩F(xiàn)，因此基本不等式的證明和利用基本不等式求最值也是本節(jié)課的難點(diǎn).四、教學(xué)支持條件分析在進(jìn)行基本不等式的幾何解釋的教學(xué)時(shí)，為了幫助學(xué)生直觀地觀察圖形中幾何元素之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，并將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示，可以利用信息技術(shù)制作一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形，以幫助學(xué)生直觀理解.五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)第一課時(shí)（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容有：基本不等式的定義；基本不等式的證明；基本不等式的幾何解釋；運(yùn)用基本不等式求最值；基本不等式求最值的兩種模型.（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.理解基本不等式

，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)；2.了解基本不等式的幾何解釋；3.結(jié)合具體實(shí)例，用基本不等式解決簡(jiǎn)單的求最大值或最小值的問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的定義及運(yùn)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)為：基本不等式的證明和運(yùn)用基本不等式求最值.（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.基本不等式的定義導(dǎo)入語(yǔ)：我們知道，乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它們?cè)诮鉀Q不等式問(wèn)題時(shí)有著與乘法公式類似的作用呢？下面就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.問(wèn)題1：提到兩個(gè)數(shù)的乘法，在上一節(jié)我們利用完全平方差公式得出了一類重要不等式中含有ab乘法，是什么不等式？

2.基本不等式的證明問(wèn)題2：上節(jié)課我們看到，證明不等關(guān)系，還可以運(yùn)用不等式性質(zhì)，你能否利用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出基本不等式呢？預(yù)設(shè)方案一：學(xué)生根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，用作差比較證明.教師給予肯定，是否還有其它證法？預(yù)設(shè)方案二：由于沒(méi)有已知條件，學(xué)生不知從何入手.追問(wèn)2：上述證明中，每一步推理的依據(jù)是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生分別回答由⑤→④，由④→③，由③→②，由②→①的依據(jù).追問(wèn)3：上述證明叫做“分析法”.你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答.教師總結(jié)：分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.追問(wèn)4：你能說(shuō)說(shuō)分析法的證明格式是怎樣的嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答.教師總結(jié)：由于分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法在書寫過(guò)程中必須有相應(yīng)的文字說(shuō)明：一般每一步的推理都用“要證……只要證……”的格式，當(dāng)推導(dǎo)到一個(gè)明顯成立的條件之后，指出“顯然×××成立”.追問(wèn)5：基本不等式成立的條件是什么？如果a<0或b<0基本不等式是否成立？師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)證明發(fā)現(xiàn)，a,b均為非負(fù)數(shù)，如果a,b存在負(fù)數(shù)時(shí)，該不等式不成立.教師指出基本不等式的定義要求a,b均為正數(shù).設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)不等式的性質(zhì)，用分析法證明基本不等式，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分析法的證明過(guò)程和證明格式，為學(xué)生高中階段的推理和證明提供了更豐富的策略.

追問(wèn)4：通過(guò)本例的解答，你能說(shuō)說(shuō)滿足什么條件的代數(shù)式能夠利用基本不等式求最值嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生討論后回答.教師總結(jié)：代數(shù)式能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正數(shù)的和或積的形式，它們的和或者積是一個(gè)定值，不等式中的等號(hào)能取到，通俗的說(shuō)，就是“一正、二定、三相等”.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所求代數(shù)式的形式，判斷是否能利用基本不等式解決問(wèn)題，同時(shí)強(qiáng)調(diào)代數(shù)式的最值必須是代數(shù)式能取到的值，為學(xué)生求解代數(shù)式的最值問(wèn)題提供示范.同時(shí)，在本題之后，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)能應(yīng)用基本不等式求最值的代數(shù)式滿足的條件.例2已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值

；（2）如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值

.師生活動(dòng)：師生一起分析后，由學(xué)生思考并書寫證明過(guò)程后展示，師生共同補(bǔ)充完善.追問(wèn)：通過(guò)本題，你能說(shuō)說(shuō)用基本不等式能夠解決什么樣的問(wèn)題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師總結(jié)：滿足“兩個(gè)正數(shù)的積為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，求它們的和的最小值”，或者“兩個(gè)正數(shù)的和為定值，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，求它們的積的最大值”的問(wèn)題，能夠用基本不等式解決.設(shè)計(jì)意圖：在例1的基礎(chǔ)上，再利用一道例題示范如何直接利用基本不等式解決問(wèn)題，同時(shí)借此題的題干指出用基本不等式能夠解決的兩類問(wèn)題，為用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題創(chuàng)造了條件.（五）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，及運(yùn)用“分析法”證明問(wèn)題的能力.第二課時(shí)（一）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題中最值問(wèn)題.（二）課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.運(yùn)用基本不等式解決生活中的最值問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；2.理解基本不等式的數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生模型思想解決問(wèn)題的能力.（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用基本不等式的模型思想解決生活中的最值問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.復(fù)習(xí)引入問(wèn)題1：基本不等式的內(nèi)容是什么？它有何作用？如何利用基本不等式求最值？需要注意什么？師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)教師提出的問(wèn)題梳理上節(jié)課的知識(shí)，教師對(duì)學(xué)生遇到的困難給予幫助.特別是強(qiáng)調(diào)利用基本不等式求最值的方法，即兩個(gè)變量均為正數(shù)是前提，發(fā)現(xiàn)“定值”是關(guān)鍵，驗(yàn)證等號(hào)成立是求最值的必要條件，即運(yùn)用“一正、二定、三相等”的方法可以解決最值問(wèn)題.2.利用基本不等式解決生活問(wèn)題導(dǎo)入語(yǔ)：運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的最值問(wèn)題，也就是最優(yōu)化的問(wèn)題，特別能體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值.基本不等式是求最值的工具，特別是對(duì)求代數(shù)式的最值問(wèn)題有重要的意義.問(wèn)題2：

（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長(zhǎng)度是多少？（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？追問(wèn)1：前面我們總結(jié)了能用基本不等式解決的兩類最值問(wèn)題，本例的兩個(gè)問(wèn)題分別屬于哪類問(wèn)題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答：屬于。第（1）題可以轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之積為定值，邊長(zhǎng)多大時(shí)周長(zhǎng)最短，實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)的積為定值，求當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的和有最小值的問(wèn)題；第（2）題可以轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長(zhǎng)多大時(shí)面積最大，實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)的和為定值，求當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的積有最大值的問(wèn)題.追問(wèn)2：例2給出了用基本不等式解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：（1）如果正數(shù)x，y的積xy等于定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值

；（2）如果正數(shù)x，y的和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值

.怎樣把本例轉(zhuǎn)化為基本不等式的數(shù)學(xué)模型求解？師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答：第（1）題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（1）求解，第（2）題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（2）求解.學(xué)生進(jìn)一步回答解答過(guò)程，教師予以規(guī)范，并板書.設(shè)計(jì)意圖：本例是典型而較簡(jiǎn)單的能夠用基本不等式求解的問(wèn)題.通過(guò)本例的教學(xué)，可以幫助學(xué)生理解如何用基本不等式模型理解和識(shí)別實(shí)際問(wèn)題，從而用基本不等式解決問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的模型思想.問(wèn)題3：某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，其容積為，深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立閱讀題目，理解題意，教師提出問(wèn)題：

（1）水池的總造價(jià)由什么來(lái)確定？（答案：由池底的邊長(zhǎng)確定）（2）如何求水池的總造價(jià)？（答案：設(shè)貯水池池底相鄰兩條邊的邊長(zhǎng)分別為xm，ym，水池的總造價(jià)為z元，則

.（3）此問(wèn)題可以用基本不等式的數(shù)學(xué)模型求解嗎？為什么？（答案：本例實(shí)際上是已知兩個(gè)正數(shù)的積為定值，求當(dāng)這兩個(gè)數(shù)取什么值時(shí)，它們的和有最小值，以及最小值是多少.可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（1）解決.）學(xué)生回答解答過(guò)程，教師板書.設(shè)計(jì)意圖：本題的背景更加復(fù)雜，需引導(dǎo)學(xué)生簡(jiǎn)化問(wèn)題，再用基本不等式模型求解.問(wèn)題3在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題的能力，提升他們的數(shù)學(xué)模型素養(yǎng).3.歸納小結(jié)、布置作業(yè)問(wèn)題4：運(yùn)用基本不等式解決生活中實(shí)際問(wèn)題要經(jīng)歷哪些步驟？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試總結(jié)，教師幫助梳理.首先，要從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系，列出代數(shù)式；接著，思考問(wèn)題是否與基本不等式的數(shù)學(xué)模型相匹配；然后，根據(jù)